当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学新人教A版必修5学案 3.4基本不等式(第1课时)

第 1 课时 基本不等式 1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值. 1.重要不等式 2 2 当 a,b 是任意实数时,有 a +b ≥____,当且仅当______时,等号成立. (1)公式中 a,b 的取值是任意的,a 和 b 代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也 可以是比较复杂的代数式, 因此其应用范围比较广泛. 今后有不少不等式的证明就是根据条 件进行转化,使之可以利用该公式来证明. a2+b2 2 2 2 2 2 2 2 (2)公式中 a +b ≥2ab 常变形为 ab≤ 或 a +b +2ab≥4ab 或 2( a +b )≥(a+b) 2 等形式,要注意灵活掌握. 2 2 【做一做 1】 x +y =4,则 xy 的最大值是( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 2.基本不等式 (1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把____叫做正数 a,b 的算术平均数,把____叫做 正数 a,b 的几何平均数. (2)不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数, 即 ab≤____,当且仅当______时,等号成立. (3)几何意义: 半弦不大于半径. 如图所示, AC=a, CB=b, 则 OD=_______, DC= ab = 则 DC≤OD. (4)变形: ab ≤ ? 立). 2 1 DE, 2 ? a?b? ? ,a+b≥ 2 ab (其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时等号成 ? 2 ? 从数列的角度看,a,b 的算术平均数是 a,b 的等差中项,几何平均数是 a,b 的正的 等比中项,则基本不等式可表示为:a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项. 【做一做 2】 已知 ab=16,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为__________. 答案:1.2ab a=b 【做一做 1】 C a+b a+b 2.(1) ab (2) a=b 2 2 【做一做 2】 8 (3) a+b 2 1 1.应用基本不等式 ab≤ a+b 2 求最值的条件 求最值的条件是一正二定三相等,具体如下: 2 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出 1 1 错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥2 x× =2,所以函数 f(x)的最小值 剖析:应用基本不等式 ab≤ a+b x x 1 5 是 2.由于 f(-2)=-2+ =- <2,那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x<0 -2 2 1 时,不能直接用基本不等式求 f(x)=x+ 的最值.因此,利用基本不等式求最值时,首先 x 确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=- ? 1 ? ? 1 ? x+? ?≥2 (-x)×? ?=2,此时有 f(x)≤-2.由此看,所求最值的代数式中的各项 ?-x? ?-x? 不都是正数时,要利用变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值. 二定:ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最值;当 a+b 是 定值时,可以求 ab 的最值.如果 ab 和 a+b 都不是定值,那么就会得出错误的答案,陷入 1 x x 困境. 例如, 当 x>1 时, 函数 f(x)=x+ ≥2 , 所以函数 f(x)的最小值是 2 . x-1 x-1 x-1 由于 2 x x-1 是一个与 x 有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是没有掌握基 本不等式求最值的条件,ab 与 a+b 有一个是定值.其实, 当 x>1 时,有 x-1>0,则函 1 ? 1 1 ? 数 f(x)=x+ =?(x-1)+ +1≥2 (x-1)× + 1=3.由此看,当 ab 与 a+b ? x-1? x-1 ? x-1 没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值 的形式. 三相等:等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等.也就是存在正数 a, a+b b,使得 ab= .如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当 x≥2 时,函数 f(x) 2 1 =x+ ≥2 x x× =2,所以函数 f(x)的最小值是 2.很明显 x+ 中的各项都是正数,积也 x x x 1 1 1 是定值,但是等号成立的条件是当且仅当 x= 即 x=1,而函数的定义域是 x≥2,所以这是 一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情 况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的 1 单调性求得最值. 利用函数单调性的定义可以证明, 当 x≥2 时, 函数 f(x)=x+ 是增函数, x 1 5 所以函数 f(x)的最小值是 f(2)=2+ = . 2 2 2.与基本不等式有关的常用结论 剖析:(1)已知 x,y∈R, ①若 x +y =S(平方和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 2 2 2 2 2 2 ②若 xy=P(积为定值),则 x +y ≥2P,当且仅当 x=y 时,平方和 x +y 取得最小值 2P. (2)已知 x>0,y>0, ①若 x+y=S(和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 4 4 ②若 xy=P(积为定值),则 x+y≥2 P,当 且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 P. 2 2 S S S2 S2 2 题型一 比较大小 【例题 1】 当 a,b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是( ) a+b a2+b2 2ab A. B. ab C. D. 2 2 a+b 反思:在比较 n 个数的大小时,若从中确定一个最小(大)

相关文章:
2012高中数学 3.4基本不等式(第1课时)教案 新人教...
2012高中数学 3.4基本不等式(第1课时)教案 新人教A版必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.4 基本不等式(1)【教学目标】 1 学会推导并掌握基本不等式,...
高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(1)
高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(1) - 3.4 基本不等式(学案) (第 1 课时) 【知识要点】 1.基本不等式及其成立的条件; 2.利用基本不等式求最值. ...
高中数学 3.4基本不等式教案1 新人教A版必修5
高中数学 3.4基本不等式教案1 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。高中数学 必修五 第三章 不等式 基本不等式课时 (1)教学目标 (a)知识与技能:...
高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(2)
高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(2) - 必修 5 3.4 基本不等式(学案) (第 2 课时) 【知识要点】 1.基本不等式及其成立的条件; 2.利用基本不等式...
多晓燕高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(1) 2
多晓燕高中数学必修5新教学案:3.4基本不等式(1) 2_数学_高中教育_教育专区。制作人:多晓燕 制作时间:2014.3.22 审核人: 马秀梅 3.4 基本不等式(学案) 【...
数学学案:3.4《基本不等式》(新人教A版必修5)
数学学案:3.4《基本不等式》(新人教A版必修5) - 基本不等式(二) 一、 自主学习 预习与反馈 1.已知 x,y 都是整数, (1)若 x ? y ? s (和为定值)...
高中数学 3.4基本不等式教案2 新人教A版必修5
高中数学 3.4基本不等式教案2 新人教A版必修5 高中数学 必修五 第三章 不等式高中数学 必修五 第三章 不等式隐藏>> §3.4 基本不等式第 1 课时 ab ? ...
2014人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第2课时...
2014人教A版数学必修五§3.4《基本不等式》第2课时教案 - 河北省武邑中学高中数学 §3.4 基本不等式第 2 课时教案 新人教 A 版 必修 5 备课人 课题 §3...
2011年高二数学学案:3.4《基本不等式》(新人教A版...
2011年高二数学学案:3.4《基本不等式》(新人教A版必修5) 隐藏>> 上教考资源网 助你教考无忧基本不等式( 基本不等式(二)一、 自主学习预习与反馈 1.已知 ...
高中数学 3.4基本不等式教案四 新人教A版必修5
高中数学 3.4基本不等式教案四 新人教A版必修5 高中数学 必修五 第三章 不等式高中数学 必修五 第三章 不等式隐藏>> 基本不等式 第一课时(1)教学目标 (a...
更多相关标签: