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高中数学新人教A版必修5学案 3.4基本不等式(第1课时)


第 1 课时 基本不等式

1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值.

1.重要不等式 2 2 当 a,b 是任意实数时,有 a +b ≥____,当且仅当______时,等号成立. (1)公式中 a,b 的取值是任意的,a 和 b 代表的是实数,它们既可以是具体的数字,也 可以是比较复杂的代数式, 因此其应用范围比较广泛. 今后有不少不等式的证明就是根据条 件进行转化,使之可以利用该公式来证明. a2+b2 2 2 2 2 2 2 2 (2)公式中 a +b ≥2ab 常变形为 ab≤ 或 a +b +2ab≥4ab 或 2( a +b )≥(a+b) 2 等形式,要注意灵活掌握. 2 2 【做一做 1】 x +y =4,则 xy 的最大值是( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 2.基本不等式 (1)有关概念:当 a,b 均为正数时,把____叫做正数 a,b 的算术平均数,把____叫做 正数 a,b 的几何平均数. (2)不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数, 即 ab≤____,当且仅当______时,等号成立.

(3)几何意义: 半弦不大于半径. 如图所示, AC=a, CB=b, 则 OD=_______, DC= ab = 则 DC≤OD. (4)变形: ab ≤ ? 立).
2

1 DE, 2

? a?b? ? ,a+b≥ 2 ab (其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时等号成 ? 2 ?

从数列的角度看,a,b 的算术平均数是 a,b 的等差中项,几何平均数是 a,b 的正的 等比中项,则基本不等式可表示为:a 与 b 的正的等比中项不大于它们的等差中项. 【做一做 2】 已知 ab=16,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为__________. 答案:1.2ab a=b 【做一做 1】 C a+b a+b 2.(1) ab (2) a=b 2 2 【做一做 2】 8

(3)

a+b
2

1

1.应用基本不等式 ab≤

a+b
2

求最值的条件

求最值的条件是一正二定三相等,具体如下: 2 一正:a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出 1 1 错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥2 x× =2,所以函数 f(x)的最小值

剖析:应用基本不等式 ab≤

a+b

x

x

1 5 是 2.由于 f(-2)=-2+ =- <2,那么显然这是一个错误的答案.其原因是当 x<0 -2 2 1 时,不能直接用基本不等式求 f(x)=x+ 的最值.因此,利用基本不等式求最值时,首先

x

确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=- ? 1 ? ? 1 ? x+? ?≥2 (-x)×? ?=2,此时有 f(x)≤-2.由此看,所求最值的代数式中的各项 ?-x? ?-x? 不都是正数时,要利用变形,先转化为各项都是正数的代数式,再求最值. 二定:ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最值;当 a+b 是 定值时,可以求 ab 的最值.如果 ab 和 a+b 都不是定值,那么就会得出错误的答案,陷入 1 x x 困境. 例如, 当 x>1 时, 函数 f(x)=x+ ≥2 , 所以函数 f(x)的最小值是 2 . x-1 x-1 x-1 由于 2

x

x-1

是一个与 x 有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是没有掌握基

本不等式求最值的条件,ab 与 a+b 有一个是定值.其实, 当 x>1 时,有 x-1>0,则函 1 ? 1 1 ? 数 f(x)=x+ =?(x-1)+ +1≥2 (x-1)× + 1=3.由此看,当 ab 与 a+b ? x-1? x-1 ? x-1 没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值 的形式. 三相等:等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等.也就是存在正数 a, a+b b,使得 ab= .如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当 x≥2 时,函数 f(x) 2 1 =x+ ≥2

x

x× =2,所以函数 f(x)的最小值是 2.很明显 x+ 中的各项都是正数,积也 x x x

1

1

1 是定值,但是等号成立的条件是当且仅当 x= 即 x=1,而函数的定义域是 x≥2,所以这是 一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验,遇到这种情 况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性是确定的,可以利用函数的 1 单调性求得最值. 利用函数单调性的定义可以证明, 当 x≥2 时, 函数 f(x)=x+ 是增函数,

x

1 5 所以函数 f(x)的最小值是 f(2)=2+ = . 2 2 2.与基本不等式有关的常用结论 剖析:(1)已知 x,y∈R, ①若 x +y =S(平方和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 2 2 2 2 2 2 ②若 xy=P(积为定值),则 x +y ≥2P,当且仅当 x=y 时,平方和 x +y 取得最小值 2P. (2)已知 x>0,y>0, ①若 x+y=S(和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大值 ; 4 4 ②若 xy=P(积为定值),则 x+y≥2 P,当 且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 P.
2 2

S

S

S2

S2

2

题型一 比较大小 【例题 1】 当 a,b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是( ) a+b a2+b2 2ab A. B. ab C. D. 2 2 a+b 反思:在比较 n 个数的大小时,若从中确定一个最小(大)者,则可以把 n 个数分组,在 2ab 每一组中确定一个最小(大)者, 再将这些最小(大)者进行比较. 由此题的讨论可以看到 a+b ≤ ab≤ (a,b 大于 0,当且仅当 a=b 时,等号成立.) 2 2 题型二 利用基本不等式求最值 ≤ 【例题 2】 已知 a>3,求

a+b

a2+b2

4 +a 的最小值. a?3
4

分析:直接使用基本不等式无法约掉字母 a,而

a-3

+a=

4

a-3

+(a-3)+3.这样变形

后,再用基本不等式可得证. 反思:如果要求最值的代数式不符合基本不等式的形式,可先通过适当变形,将其配凑 4 4 成可使用基本不等式的形式,再利用基本不等式求最值.如本题中,将 +a 凑成 + a-3 a-3 (a-3)+3 后就可以用基本不等式求最值. 1 9 【例题 3】 已知 x,y 均为正数,且 + =1,求 x+y 的最小值.

x y

分析:由于已知条件右边是一定值 1,且左边各项均为正数,所以可以用整体换元、代 入消元、“1”的代换等方法求解. 反思:本题易错解为: 1 9 1 9 1 9 6 由 + =1,得 + ≥2 · = ,

x y

x y

x y

xy

∴xy≥36.∴x+y≥2 xy=12. 这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不存在满足题设条件 的 x,y,使(x+y)min=12. 题型三 易错辨析 1 【例题 4】 求函数 y=x+ 的值域.

x

1 错解:∵x+ ≥2

x

x· =2,∴函数值域为[2,+∞). x

1

错因分析: 上述解题过程中应用了基本不等式, 却忽略了应用基本不等式的条件——两 1 个数应大于零,因而导致错误.因为函数 y=x+ 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以

x

需对 x 的符号加以讨论. 答案: 【例题 1】 D ∵a>0,b>0,a≠b,∴ ∵a +b >2ab,∴
2 2

a+b
2

> ab,

a2+b2
2

> ab,

∴选项 A,B,C 中, ab最小. 2 ab 又 a+b>2 ab>0,∴ <1, a+b

3

由于 ab>0,两边同乘以 ab, 2 ab 得 · ab< ab, a+b 2ab 2ab ∴ < ab,∴ 最小. a+b a+b 【例题 2】 解:∵a>3,∴a-3>0. 4 4 由基本不等式,得 +a= +a-3+3 a-3 a-3 ≥2· 当且仅当 ∴ 4 4 4

a-3 a-3

·(a-3)+3=2× 4+3=7.

=a-3,即 a=5 时取等号.

a-3

+a 的最小值是 7.

1 9 【例题 3】 解:∵x,y 均为正数,且 + =1,显然 x>1,

x y

∴y=

9x . x-1

9x x-1 x2+8x (x-1)2+10(x-1)+9 = = x-1 x-1 ∴x+y=x+ =(x-1)+ 9

x-1

+10≥2×3+10=16.

当且仅当 x=4 时取等号,即(x+y) min=16. 【例题 4】 正解:函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 当 x>0 时,由基本不等式,得 y=x+ ≥2,

x

当且仅当 x=1 时,等号 成立; 1 ? 1 ? 当 x<0 时,y=x+ =-?(-x)+ . (-x)? x ? ? 1 ∵-x>0,∴(-x)+ ≥2, (-x) 当且仅当 x=-1 时,等号成立, 1 ∴y=x+ ≤-2.

x

1 综上可知,函数 y=x+ 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).

x

4 的最小值为( ) x A.2 B.3 C. 2 2 D.4 1 1 2 已知 2a+b=1,a>0,b>0,则 ? 的最小值是( ) a b A. 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2
1 (2011·山东济南一模)若 x>0,则 x ?
4

3(2011·安徽合肥一模)若 M= A.(-∞,-4]∪[4,+∞) C.[4,+∞)

a2 ? 4 (a∈R,a≠0),则 M 的取值范围为( a
B.(-∞,-4] D.[-4,4]

)

Q? 4 若 a>b>1, P lg a lg b ,

lg a ? lg b a?b R ? lg , , 则下列结论正确的是( 2 2
) D.9

)

A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q x y 5 设 x+3y-2=0,则函数 z=3 +27 +3 的最小值是(

2 A. 3 3
答案:1.D 2.C

B. 3 ? 2 2 3.A 4.B 5.D

C.6

5


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