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平面向量三点共线与等和线妙用


< 数学之友》  

2 0 1 4 年第 4 期 

平面向量三点共线与等和线妙用  
解黪 索  
马海 龙 
( 浙江省越州中学 , 3 1 2 0 7 5)  

根 据平 面向量基 本定 理 , 如果e a , P B 为 同一  平 面内两个不共线 的 向量 , 那么 这个平 面 内任 一  向量P e 都 可 以 由  , P 西唯 . 一线 性 表示 : P e=  P A   + Y P 百 . 特殊 地 , 如果 点 c正好落 在 直线 A B上 ,  
那 么  +Y=1 , 反 之 如 果  +Y=1 , 那 么 点 C一 定 

+ p   , 则  +  的最大值为 

( )  

( A )   ( B ) 寺  ( c )   ( D ) }  

在直线 A B上 ( 证 明略 ) . 于 是 有 三 点共 线 结 论 :   已知  , P   为平 面 内两个不共 线 的向量 , 设尸 c=   P A   +Y   P B   , 则 A,  , C 三 点 共 线 的 充 要 条 件 
为 +y:1 .  

1   三 点 共 线 结 论 应 用 
例1  ( 江 苏徐 州 2 0 1 4届 高三期 中考 试 )   已知 0为 △A B C的外 心 , A B:6 , A C:1 0, _ A O:   + ) ,   , 且2  +1 0 ) , : 5 , 则c o s / _ _ B A C=


.  


相 决 解 一 了   情 一   ~ 如 4 图
题  

解析 : 当 戈= O时 , : l f   y: 一   1
. 

 ̄ - A - 6= 知 ; + y - A d - , 得  =  

.  

所 以AA B C是 以 A C为斜 边 的直 角三角 形 ,  

{ 曼  戡
代 人 ① 式 , 得   + 卢 的 最 大 值 为 南= _ 3   .
2 等和线 
点 

则c 。 8 / _ . B A C=   A B= 了 3
. 

当  ≠ o 时,   :  

+ ) , - A - d  ̄

 

落  

a - 6 = 争(  )  (  ) .  
如 .  图 1 , 设 ÷  、—  =  
—  

以上讨论 了点 C落 在 直 线 A B上 的 特殊 情 况 ,  

A 

得到 了平 面向量 中 的三 点 共 线 结论 , 并 应 用 这 一结 

一  

AE,  

I —_+

c =AF,  

—.+ 

则I   : 1 5 , I   l _ 5 .  

由  坼

+  = 1 ,  
经过 点 P时 , 容 易 得到 戈+ , , = O .   情形 2 : 当直 线 D E不过 点 P时 , 直线 P C与 直  线A B 的交 点记 为 F, 因点 F在 直 线  上 , 由三 点 
. 

所以 E . F. D 三 点共 线  

所以c 。 s / _ _ B A C=   A F= -. 1  

综上所述 c 。 s /B A C: 一   3 或了 1

例2  ( 四川 绵 阳 2 0 1 4届 高 三一诊 理科 )  

已知 0   AA B C的外心 , c 。 s A= 丁 1 若  =  


共线结论可知 , 若P  = A   P A+  朋 ( A,  ∈ R) , 则A   + 肛= 1 . 由AP A B与 AP D E相似 , 必存在一个常数  m∈R, 使 得P C=m   P F , 则P C=m   P F=m A   P A+  
?

6l?  

《 数学之友》  
,   PB.  

2 0 1 4年第 4 期 

又P C=  P A+  P B( x , Y∈R) ,  
所 以  + Y=m A+ m g=m .  



以上 过程 可逆.  

~ 、




 

综 上所 述有如 下结论 :  

等和线结论 : 已知  , 朋 为平 面内两个不共线 


A   西   ?   G  
图 8  


、 

的向量 , 若直线 z ∥A B, 点 C为直线 z 上任一点 , 且 


H’  

P C:  

+ ) , 商, 则  + ) , : m为定值 ( 反之也成  
4所 示 , P隹z 时, m=  

设A — — — P — —   ’ mA — — B - +   +凡 A — — — F, —    

立) . 特别 地 , 娴
I   PE l  

由等 和线 结论 , m+n- -   A G=  

= 2
.  

应用推论 l , 此为 m+  的最小值.  
设A P 2 = mA B+ l Z A F,  

l   PAI  

推论 1 : 如图 5 , 当点 c 与点 P位 于 直 线 A B异  侧时, 有  + y>1 , 且 比值  p r   越大 ,  +) , 越 大.  

由等和线结论 , m+ n = A H=   5
.  

应用推论 1 , 此为 m+ n的最大值.  
综 上可 知 m +n ∈[ 2 , 5 ] .   例4 ( 2 0 1 3年 高考 安徽卷 理 )  
P 


在平 面直 角 坐标 系 中 , 0是 坐 标 原 点 , 两 定 点  B满足 I   I :I — O Bf :   .   :2则 点集 



=A   OA ‘ +   D 

I   A   I +I  I ≤1 , A,   ∈R} 所 表示 的区 

推论 2 : 如 图 6, 当点 C与 点 P位 于 直线 A B 同 

域 的面 积是 
( A) 2   ( B) 2   ( C ) 4   ( D) 4  
解: 由I   O A   I =l   O Bl =O A? O B= 2,  

(   )  

侧时 , 有  + , , < 1 , 且 比值  p , ’ 越小 ,   则 + y 越小.  

3 等和线应用 
应用 等和线结论及其推论解题 , 很多系数的和 
差 问题都 能信 手拈来 .  
例3  ( 资 阳高 中 2 0 1 4届 一诊 向量题 1 0 )   如图 7 , 在边 长 为 2的正 六 

知  与  的夹角 为 
如图 9所示 , A, B关 于 
0的对称点 为 A   , B   .   当 A≥O , l x  ̄O时 > ,   若 A+ t z =1 ,  

边形 A B C DE F中, 动 圆 0的半  径为 1 , 圆心 在 线 段 C D( 含端 点) 上运 动 , P是 圆 Q上 及其 内 
部 的动 点 , 设 向 量A P=mA B+  

则点 P位于线段 A B上 ;   F  
当 A> 10 ,  ≤0时 ,  
若 A一   =1 ,  

贝 4 O P=A   O A+  O B=A   O A十(一  ) 0 B   ,  
图7  

A F( m, n为 实 数 ) , 贝 0   m +n   的取值 范 围是 

知点 P位 于线 段 A B   上;   当 A≤O ,  ≥O时 , 若 一 A+   :1 ,  
则0 P= A   O A+  D B=一A   O A   +  D B,  

( A ) ( 1 , 2 ]   ( C ) [ 2 , 5 ]  

( B ) [ 5 , 6 ]   ( D ) [ 3 , 5 ]  

知点 P位于线 段 A   上;   当 A≤O ,  ≤O时 , 若一 A一   =I ,   则0 户=A   0  +  O 日=一A   D A   +(一  )   知 点 P位于线 段 A   B   上.   又因 I   A   l +I  I ≤I , 应 用 推论 I 及 2 , 可知点 P   位 于矩形 A B A   B   内( 含边界) .  
1   一   一 

解: 随着 动点 圆心 Q在 线段 C D( 含 端点 ) 上 运  动, 点 P的运 动 区域 为 阴影 部 分所 示 , 图 8所 示. 作 

,  

直线 B F的平行线 Z , 使得 f 与阴影区域有公共点 , 离 
B F最 近 的直线 Z 记为 P   G ( P   为Z 与 圆 C的切 点 , G  

为z 与直线 A B的交点 ) , 离B F最远 的直线 z 记 为  P 2 日 ( P 2 为Z 与圆 J D的切点 , 日为 z 与直线 B的交 
点) .  


其 面 积 为S = 4 s   ∞= 4 × 寺x 2   x 2 s i n 号= 4 √ 3 .  

6 2.  


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