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数学:第二章《圆锥曲线与方程》测试(1)(新人教A版选修1-1)


圆锥曲线与方程 单元测试
A 组题
一.选择题 1.已知椭圆 (
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x2 y2 + = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 25 16

) A 2 B 3 C 5 D 7 2 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦点的坐标是(3,0) ,则椭 圆的标准方程为( )
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A

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x2 y2 + =1 9 16

B

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x2 y2 + =1 25 16

C

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x2 y2 + =1 D 16 25

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x2 y2 + =1 16 9


3

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动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )

4 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于
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3 ,则椭圆的方程是( 5
x2 y2 D. + =1 25 9

x2 y2 A. + =1 100 36

x2 y2 B. + =1 100 64

x2 y2 C. + =1 25 16


5

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抛物线 y 2 = 10 x 的焦点到准线的距离是( A
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5 2

B

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5

C

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15 2

D

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10

二.填空(每题 6 分) 6. 抛物线 y 2 = 6 x 的准线方程为_____
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7.双曲线的渐近线方程为 x ± 2 y = 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________

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8. 若曲线

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 k 1+ k

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9.若椭圆 x 2 + my 2 = 1 的离心率为 三.解答题

3 ,则它的半长轴长为_______________ 2

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10. k 为何值时,直线 y = kx + 2 和曲线 2 x 2 + 3 y 2 = 6 有两个公共点?有一个公共点? 没有公共点?

-1-

11. 已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y = 2 x + 1 交于 P、Q 两点,|PQ|= 15 , 求抛物线的方程
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12.椭圆的焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0, 5) ,点 P (3, 4) 是椭圆上的一个点,求椭圆的方程

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x2 y2 + = 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程 13 双曲线与椭圆 27 36
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14 k 代表实数,讨论方程 kx 2 + 2 y 2 ? 8 = 0 所表示的曲线.

-2-

B 组题(共 100 分)
一.选择题(每题 7 分) 1
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以椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16
B



A

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x2 y2 ? =1 16 48 x2 y2 x2 y2 ? = 1或 ? =1 16 48 9 27

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x2 y2 ? =1 9 27
以上都不对

C

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D

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2

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过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于 P、Q, F1 是另一焦点,若

∠ PF1Q = A
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π
2

,则双曲线的离心率 e 等于( B

) C

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2 ?1

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2

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2 +1

D

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2+2

3

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F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 + = 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF1 F2 = 45 0 ,则 9 7


Δ AF1 F2 的面积为(

A

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7

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7 4

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7 2

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7 5 2

4

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以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 6 y + 9 = 0 的圆心的抛物线的方 )

程是( A C 5
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y = 3 x 2 或 y = ?3 x 2 y 2 = ?9 x 或 y = 3 x 2

B

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y = 3x 2
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y = ?3 x 2 或 y 2 = 9 x


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过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的最小值为( A
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2p

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无法确定

二.填空: (每题 6 分) 6.椭圆 5 x 2 + ky 2 = 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ,那么 k = ________
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7.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 为 . 8.若直线 x ? y = 2 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的中点坐标是_______
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-3-

9. 椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面 49 24

积为________________________. 三.解答题(13+14+14) 10.已知点 P ( x, y ) 在曲线

x2 y 2 + = 1(b > 0) 上,求 x 2 + 2 y 的最大值. 4 b2

11 双曲线与椭圆
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x2 y2 + = 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程 27 36

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2 2 12. k 代表实数,讨论方程 kx + 2 y ? 8 = 0 所表示的曲线.

-4-

圆锥曲线与方程
A 组题(共 100 分)
一.选择题: 1.D 2.B 二.填空: 6. x = ? 3.D 4.C 5.B

3 2

7.

x2 y 2 ? = ±1 20 5

8. k > 0

9. 1, 或2

三.解答题:

10

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解:由 ?

? y = kx + 2
2 2 ?2 x + 3 y = 6

,得 2 x + 3(kx + 2) = 6 ,即 (2 + 3k ) x + 12kx + 6 = 0
2 2 2 2

? = 144k 2 ? 24(2 + 3k 2 ) = 72k 2 ? 48
当 ? = 72k ? 48 > 0 ,即 k >
2

6 6 , 或k < ? 时,直线和曲线有两个公共点; 3 3 6 6 , 或k = ? 时,直线和曲线有一个公共点; 3 3

当 ? = 72k ? 48 = 0 ,即 k =
2

当 ? = 72k ? 48 < 0 ,即 ?
2

6 6 <k< 时,直线和曲线没有公共点 3 3

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11

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? y 2 = 2 px 解:设抛物线的方程为 y = 2 px ,则 ? , 消去 y 得 ? y = 2x +1
2

4 x 2 ? (2 p ? 4) x + 1 = 0, x1 + x2 =

p?2 1 , x1 x2 = 2 4

AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 5 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 5 (


p?2 2 1 ) ? 4 × = 15 , 2 4

p2 ? p = 3, p 2 ? 4 p ? 12 = 0, p = ?2, 或6 4

∴ y 2 = ?4 x,或y 2 = 12 x
12 解:Q 焦点为 F1 (0, ?5), F2 (0, 5) ,可设椭圆方程为

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y2 x2 + 2 = 1; a 2 a ? 25

16 9 y 2 x2 2 点 P (3, 4) 在椭圆上, 2 + 2 = 1, a = 40 ,所以椭圆方程为 + = 1. a a ? 25 40 15

B 组题(共 100 分)
-5-

一.选择题: 1.B 2.C 二.填空: 6.1 7.3 三.解答题: 10.

3.C

4.D

5.C 9.24

8. (4, 2)

解:法一:设点 P (2 cos θ , b sin θ ) , x + 2 y = 4 cos
2 2 2

2

θ + 2b sin θ = ?4sin 2 θ + 2b sin θ + 4
b 4

令 T = x + 2 y,sin θ = t , ( ?1 ≤ t ≤ 1) , T = ?4t + 2bt + 4, (b > 0) ,对称轴 t = 当

b b > 1, 即b > 4 时, Tmax = T |t =1 = 2b ;当 0 < ≤ 1, 即0 < b ≤ 4 时, 4 4 Tmax b2 =T | b= +4 t= 4 4

∴ ( x 2 + 2 y )max

? b2 ? + 4, 0 < b ≤ 4 =? 4 ?2b, b > 4 ?

法 二 : 由

x2 y 2 y2 4 y2 + 2 = 1 得 x 2 = 4(1 ? 2 ) 令 T = x 2 + 2 y 代 入 得 T = 4 ? 2 + 2 y 即 4 b b b

4 b2 2 b2 b2 b2 b2 T = ? 2 (y ? ) + 4 + ( 1 ) 当 ≤ b即0 < b ≤ 4时 x = ymax = 4 + ( 2 ) b 4 4 4 4 4 b2 当 > b时即b > 4时 x = b 4 ymax = 2b ∴ ( x 2 + 2 y )max ? b2 ? + 4, 0 < b ≤ 4 =? 4 ?2b, b > 4 ? y2 x2 ? = 1, a2 9 ? a2

11.解:由题意知双曲线焦点为F1 (0, ?3) F2 (0, 3) ,可设双曲线方程为 点 ( 15, 4) 在曲线上,代入得 a 2 = 4或a 2 = 36(舍)

∴ 双曲线的方程为

y 2 x2 ? =1 4 5
y 2 x2 ? = 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 4 ?8 k

12.解:当 k < 0 时,曲线

当 k = 0 时,曲线 2 y 2 ? 8 = 0 为两条平行于 x 轴的直线 y = 2或y = ?2 ;

x2 y 2 当 0 < k < 2 时,曲线 + = 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k

-6-

当 k = 2 时,曲线 x + y = 4 为一个圆;
2 2

当 k > 2 时,曲线

y 2 x2 + = 1 为焦点在 y 轴的椭圆 8 4 k

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