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2017—2018学年上学期2015级第二次双周练数学(文)


2017—2018 学年上学期 2015 级 第二次双周练文数试卷
考试时间:2017 年 10 月 26 日 一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.从每小题所给的四个选项中,选出 最佳选项,并存答题卡上将该项涂黑) i. 设全集 U 是实数集 R ,函数 y ?

1 x ?4
2

的定义域为 M ,

N ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1} ,则如图所示阴影部分所表示的集合是
A. {x | ?2 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} ii.下列判断正确的是 A.设 x 是实数,则“ x ? 1 ”是“ | x |? 1 的充分不必要条件” B.已知命题 p 是“ ?x0 ? R, 2x0 ? 0 ” ,则 ?p 是“不存在 x0 ? R, 2x0 ? 0 ” C.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“ x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”
x , 0 (? ?) D. “ ??

B. {x | ?2 ? x ? 2} D. {x | x ? 2}

, ( ) x ? log 1 x ”为真命题
2

1 2

?a x , x ? 1 ? iii.若函数 f ( x) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 2 ?
A. (1, ??)
3

B. [4,8)
7 ? 3t ? 2t 2 5

C. (4,8)

D. (1,8)

iv.已知幂函数 f ( x) ? (t ? t ? 1) x A.1 或 2

是定义域为 R 的偶函数,则实数 t 的值为 C.0 或 2 D.0 或 1

B. ?1 或 1

1 v.若 x ? (e?1 ,1) , a ? ln x , b ? ( )ln x , c ? elnx ,则 a, b, c 的大小关系为 2

A. c ? b ? a

B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

? ? vi.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0,| ? |? )的最小正周期是 ? ,若将其图象向右平移 个 3 2

单位 后得到的图象关于原点对称,则函数 f ( x) 的图象 A.关于直线 x ?

?
12

对称

B.关于直线 x ?

5? 对称 12

? C.关于点 ( ,0) 对称 12

D.关于点 (

?? ,0) 对称 12

vii.已知△ ABC 中, tan A(sin C ? sin B) ? cos B ? cos C ,则△ ABC 为 A.等腰三角形 C.等腰三角形或∠ A ? 60? 的三角形 viii.函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为 B.∠ A ? 60? 的三角形 D.等腰直角三角形

A.

B.

C.

D.

ix.已知正项等比数列 {an } 中 a5 ? a2 n ?5 ? 22n (n ? 3) ,则 log 2 a1 + log 2 a3 +? + log 2 a2n ?1 ? A. n(2n ? 1) B. n 2 C. (n ? 1)2 D. (n ? 1)2

x.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:① f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ;② f (x ? 2) ? f ( ?x) ;③在 [ ?1,1] 上的
? 1 ? x 2 , x ? [ ?1, 0] ?2 x , x ? 0 ? 表达式为 f ( x) ? ? ,则函数 f ( x) 与函数 g ( x) ? ? 的图象在区间 ? ?1 ? x, x ? 0 ?cos( x), x ? (0,1] ? 2
[ ?3, 3] 上

的交点个数为 A.5 B.6 C.7 D.8

xi.若过点 A(m, m) 与曲线 f ( x) ? x ln x 相切的直线有且只有两条,则实数 m 的取值范围是 A. (??, e) B. (e, ??) C. (0, )
1 e

D. (1, ??)

? x ln x ? 2 x, x ? 0 ? f ( x ) ? xii.已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 y ? ?1 的对称 ? 2 3 x ? x, x ? 0 ? ? 2

点在
y ? kx ? 1 的图象上,则实数 k 的取值范围是

1 A. ( ,1) 2

1 3 B. ( , ) 2 4

C. ( ,1)

1 3

1 D. ( , 2) 2

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
?x ? 0 y ? xiii.已知实数 x, y 满足约束条件 ?lg( y ? 1) ? 0 ,若 a ? 恒成立, x ?1 ?2 x ? y ? 2 ?

则实数 a 的取值范围是 xiv.已知 sin(

. .
x , ex?2

12 11 2 ? ? ? ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 0 ,则 tan( ? ? ? ) ? 5 10 5

xv.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2 ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程是 .

xvi.已知数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列,对一切 n ? N * ,都有 则数列 {bn } 的通项公式为 .

a n ?1 ? bn , an

三、解答题: (共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题 为必考题,每个试题考生必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答) xvii. (本小题满分 12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1 , CD ? 2 , AC ? 7 . (1)求 cos ?CAD 的值; (2)若 cos ?BAD ? ?
21 7 , sin ?CBA ? ,求 BC 的长. 6 14

xviii. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴 的非负

? ? 半轴,终边与单位圆 O 交于点 A( x1 , y1 ) , ? ? ( , ) .将角 ? 的终边绕原点按逆时针方 4 2
向旋转

? ,与单位圆交于点 B( x2 , y2 ) . 4

(1)若 x1 ? ,求 x 2 的值; (2)过点 A, B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C , D ,记△ AOC 及△ BOD 的面积分别为 S1 , S2 ,若 S1 ? S2 ,求 tan? 的值.
4 3

3 5

1 xix. (本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1=2, an ? ?2Sn ? Sn ?1 ( n ? 2 ). (1)求数列{ an }的通项公式 an ;
.

(2)令 bn ?

3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . Sn

xx. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? m ln x ? (4 ? 2m) x ? (m ? R) . (1)当 m ? 4 时,求函数 f ( x) 的单调区间;
1 ,3] ,不等式 | f (t ) ? f ( s) | ? (a ? ln 3)(2 ? m) ? 2ln 3 对任意的 m ? (4, 6) 恒成立, (2)设 t , s ?[

1 x

求实数 a 的取值范围.

x xxi. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? 1)e , a ? R .

(1)讨论 f ( x) 的单调区间; (2)当 m ? n ? 0 时,证明: men ? n ? nem ? m .

(二)选考题:共 10 分.请在第 22,23 题中任选一题作答. xxii. (本小题满分 l0 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?
?x ? 3 ? t 2 2 ( t 为参数) ,曲线 C2 : x ? ( y ? 1) ? 1 , y ? 3 ? t ?

以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 , C2 的极坐标方程; (2)若射线 l : ? ? ? ( ? ? 0) 分别交 C1 , C2 于 A, B 两点,求
| OB | 的最大值. | OA |

xxiii. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
1 1 设 a , b 为正实数,且 ? ? 2 2 . a b

(1)求 a 2 ? b 2 的最小值;
2 3 (2)若 (a ? b) ? 4(ab) ,求 ab 的值.

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i.C ii.A iii.B iv.B v.B vi.B vii.C viii.D ix.B x.B xi.B xii.A xiii. (??, ] xiv. 2 xv. y ? ?x xvi. bn ? 1

2 5

xvii.2-17(1) cos ?CAD ?

2 7 ;------------------4 分 7 21 (2) sin ?CAD ? ??????????6分, 7 3 21 sin ?BAD ? ??????????8分, 14
设 ?BAC ? ? ,则 sin ? ? sin(?BAD ? ?CAD) ?

3 ??????????10 2

分 由正弦定理得: BC ? 3 ??????????12 分 xviii.2-19(1)∵ x1 ? , y1 ? 0 ,∴ y1 ?
3 5

4 4 3 ,∴ sin ? ? ,cos? ? ,∴ 5 5 5

2 ??????????5 分 10 1 ? ? ? ? 3 (2) S1 ? sin 2? ,又 ? ? ( , ) ,则 ? ? ? ( , ? ) ??????????7 分 4 4 2 4 2 4 1 ? ? 1 故 S2 ? ? sin(? ? )cos(? ? ) ? ? cos2? ??????????9 分 2 4 4 4 4 1 4 ∵ S1 ? S2 ,∴ tan 2? ? ? ,解得, tan ? ? 2 或 tan ? ? ? ????????11 分 3 3 2 x2 ? cos(? ? 4 )??
∵ ? ? ( , ) ,∴ tan ? ? 2 ????????12 分
xix.1-19 (1)解 ∵ an ? ?2Sn ? Sn ?1 ( n ? 2 ),∴ Sn ? Sn ?1 ? ?2Sn ? Sn ?1 . 两边同除以 S n ? S n ?1 ,得

?

? ?

4 2

1 1 ? ? 2 ( n ? 2 ), ??????????2 分 S n S n ?1

∴数列 ?

?1? 1 1 ? 是以 ? ? 2 为首项,以 d ? 2 为公差的等差数列,???????3 分 S a1 S 1 ? n?



1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ,∴ Sn ? .??????????5 分 Sn S1 2n

?1 , n ?1 ? 1 ?2 将 Sn ? 代入 an ? ?2Sn ? Sn ?1 ,得 an ? ? ???????6 分 1 2n ? , n ? 2 ? ? 2n ? 2n 2
(2) bn ?
3n ? 2n ? 3n ,∴ Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? ? ? 2n ? 3n ① Sn

∴ 3Tn ? 分 ①-②得: ?2Tn ? (1 ? 2n) ? 3 ∴ Tn ?
n ?1

2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n ? 2n ? 3n?1 ② ? ? 8

? 3 ??????????11 分

2n ? 1 n?1 3 ? 3 ? ??????????12 分 2 2

xx.2-20

xxi.1-21

xxii.1-22

xxiii.1-23


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