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广东省惠州市2012届高三第一次调研考试理科数学试题


广东省惠州市 2012 届高三第一次调研考试

数学试题(理科) 数学试题(理科)
(本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题(共 40 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 选择题: 题目要求. 题目要求
1.已知集合 A =

{( x, y ) | x + y = 0, x, y ∈ R} B = {( x, y ) | x ? y = 0, x, y ∈ R} ,
) B. {0} ) C. i D. ?i ) C. {(0,0)} D. ?

则集合 A I B =( A. (0,0) 2.复数 A.1

1? i 的值是( 1+ i

B. ?1

3.已知向量 a = (1, ?2) , b = ( x, 2) ,若 a ⊥ b ,则| b |=( A. 5 4.已知 f ( x ) = A.奇函数 B. 2 5 C. 5 ) C.非奇非偶函数

D. 20

1 1 ? , 则f ( x)是 ( x 1? 2 2
B.偶函数

D.既奇且偶函数

5.已知直线 l 、 m ,平面 α、β ,则下列命题中: ①.若 α // β , l ? α ,则 l // β ②.若 α ⊥ β , l ⊥ α ,则 l // β ③.若 l // α , m ? α ,则 l // m ④.若 α ⊥ β , α ∩ β = l , m ⊥ l ,则 m ⊥ β ,其中真命题有( A.0 个 6.给出计算 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

1 1 1 1 的值的一个程序框图如右图,其中判断 + + +L+ 2 4 6 20
) . C. i > 20 D. i < 20
(第 6 题图)

框内应填入的条件是( A. i > 10 B. i < 10

数学试题(理科)

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7. lg x, lg y , lg z 成等差数列”是“ y = xz ”成立的( “
2



A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

8.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b = ab + a + b A. ?2 B.1 C. ?2 或 1

(a, b为正实数) ,若 1 ? k = 3 ,则 k =(



D.2

第Ⅱ卷 非选择题(共 110 分)
小题,分为必做题和选做题两部分. 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 填空题( 题为必做题,每道试题考生都必须作答 须作答. (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 必做题: 9. ( x

?

1 6 ) 的展开式中的常数项是 x

. (用数字作答)

10.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积为 .

x2 11.设平面区域 D 是由双曲线 y ? = 1 的两条渐近线和抛物线 y 2 = ?8 x 的准线所围成的 4
2

三角形(含边界与内部) .若点 ( x, y ) ∈ D ,则目标函数 z = x + y 的最大值为



12.一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中 x, y ∈ N * ) 分/组 频 数

[10,20)

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70)

2

x .

3

y

2

4

则样本在区间 [10,50 ) 上的频率

13.已知数列 {an } 满足 a1 = 2 , an +1 = 2an + 1( n ∈ N ) ,则该数列的通项公式 an =
*



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 选做题: 、 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。 14. 坐标系与参数方程选做题)过点 (2, (坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题)

π
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为________.
A P O C

15. 几何证明选讲选做题 (几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , 直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC = 2 , ∠PAB = 120 ,
o

则圆 O 的面积为



B

数学试题(理科)

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题 80 16. (本小题满分 12 分) 设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小; (3)求三角形 ABC 的面积 S 。

17. (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球. (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率; (2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的分布列与期望。

18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,且 AD = 2, AB = 1 , PA ⊥ 平面ABCD , E 为 BC 上的动点. (1) 当 E 为 BC 的中点时,求证: PE ⊥ DE ; (2) 设 PA = 1 ,在线段 BC 上存在这样的点 E,使得二面角
P

P ? ED ? A 的平面角大小为

π
4

. 试确定点 E 的位置.
A

D

B

E 第 18 题图

C

数学试题(理科)

第 3 页,共 4 页

19. (本小题满分 14 分) 已知点 C(1,0) ,点 A、B 是⊙O: x 2 + y 2 = 9 上任意两个不同的点,且满足 AC ? BC = 0 ,设 P 为弦 AB 的 中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x = ?1 的距离恰好等于到点 C 的距离?若存在,求出这样 的点的坐标;若不存在,说明理由. A P · B x O C y

uuur uuu r

20. (本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( x 2 ? 3,1), b = ( x, ? y ) , (其中实数 x 和 y 不同时为零) ,当 | x |< 2 时,有 a ⊥ b ,当 | x |≥ 2 时,

r

r

r

r

r r a // b .
(1)求函数式 y = f ( x) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3)若对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U [ 2, +∞ ) ,都有 mx + x ? 3m ≥ 0 ,求实数 m 的取值范围.
2

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 、 {bn } 满足 a1 = 2, an ? 1 = an (an +1 ? 1) , bn = an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)设 Tn = S 2 n ? S n ,求证: Tn +1 > Tn ; (3)求证:对任意的 n ∈ N 有 1 +
?

n 1 ≤ S 2n ≤ + n 成立. 2 2

数学试题(理科)

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理科数学参考答案与评分标准 理科数学参考答案与评分标准 参考答案
小题, 一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 B 6 A 7 A 8 B

1. 【解析】求 2 条直线的交点为(0,0).注意结论是集合;所以选 C 2. 【解析】

1? i (1 ? i ) 2 ? 2i = = = ?i .选 D. 1 + i (1 + i )(1 ? i ) 2

3. 【解析】∵ a ⊥ b ∴ a b = x ? 4 = 0 ,得 x = 4, b = (4, 2) ,∴| b |= 2 5 ,故选 B

1 1 2x 1 4. 【解析】 f ( ? x) = ? = ? . ?x ?x x 1? 2 2 (1 ? 2 )2 2
= 2x 1 2x ? 1 + 1 1 1 1 ? = x ? = x + = ? f ( x) x 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2
选 A.

5. 【解析】(2)(3)(4)为假命题,选 B 6. 【解析】 当 S =

1 1 1 1 + + +L+ 时, i = 11 .选 A. 2 4 6 20

7. 【解析】当 x, z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A. 8. 【解析】根据运算有 1 ? k

+ 1 + k 2 = 3, k ∈ R * ,∴ k = 1 .选 B.

小题, 题是选做题,考生只能选做一题. 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 填空题: 9.-20 14. ρ sin θ = 10. 4 + 3 . 11.3. 12. 0.7 . 13. 3 ? 2
n?1

?1 .

3

15. 4π
3 3

9. 【解析】常数项为: C 6 x ( ? ) = ?20 .
3

1 x

10. 【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形,下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S = 2 × 2 + 11. 【解析】双曲线 y ?
2 2

1 × 2× 3 = 4 + 3 . 2

y

x 1 = 1 的两条渐近线为 y = ± x , 4 2
A(1,2)

抛物线 y 2 = ?8 x 的准线为 x = 2 , 当直线 y = ? x + z 过点 A(1, 2) 时, zmax = 3 . 12. 【解析】 x + y = 9,∴

x

5 + x + y 14 2+4 = = 0.7 .另解:1 ? = 0.7 20 20 20
第 5 页,共 4 页

数学试题(理科)

13. 【解析】 a n +1 + 1 = 2( a n + 1),∴ a n + 1 = 3 ? 2 14. 【解析】点 (2,

n ?1

, 即a n = 3 ? 2 n ?1 - 1 .

π
3

) 的直角坐标为 (1, 3) ,∴过点 (1, 3) 平行于 x 轴的直线方程为 y = 3
3

即极坐标方程为 ρ sin θ =

15. 【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA = 2 ,∴圆 O 的面积为 4π 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)依正弦定理

a b = 有 b sin A = a sin B …………………………2 分 sin A sin B
…………………………4 分

又 a = 4, sin A = 4sin B ,∴ b = 1 (2)依余弦定理有 cos C =
° °

a 2 + b 2 ? c 2 16 + 1 ? 13 1 = = ………………………6 分 2ab 2 × 4 ×1 2
°

又 0 < C < 180 ,∴ C = 60 (3)三角形 ABC 的面积 S = 17. (本小题满分 12 分)

…………………………8 分

1 1 ab sin C = × 4 × 1× sin 60° = 3 ………………12 分 2 2

解: (1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,两球恰好颜色不同,也就是说从 5 个球中摸出一球,若第一次摸 到白球,则第二次摸到黑球;若第一次摸到黑球,则第二次摸到白球. 因此它的概率 P 是: P =
1 1 1 1 C2 C3 C3 C2 12 ? 1+ 1? 1 = 1 C5 C5 C5 C5 25

……………………4 分

(2)设摸得白球的个数为 ξ,则 ξ=0,1,2。
1 1 C32 3 C2 ? C3 3 C22 1 P(ξ = 0) = 2 = ; P(ξ = 1) = = ; P(ξ = 2) = 2 = ; C5 10 C52 5 C5 10

…………7 分

ξ 的分布列为:
ξ P 0 1 2

3 10

3 5

1 10

……9 分

Eξ = 0 ×

3 3 1 4 + 1× + 2 × = 10 5 10 5

……………………………………………………12 分

18. (本小题满分 14 分) 方法一:(1) 证明:当 E 为 BC 的中点时, EC = CD = 1 ,从而 DCE 为等腰直角三角形, 则 ∠DEC = 45 ,同理可得 ∠AEB = 45 ,∴ ∠AED = 90 ,于是 DE ⊥ AE ,…2 分
o o o

又 PA ⊥ 平面ABCD ,且 DE ? 平面ABCD ,∴ PA ⊥ DE ,

AE I PA = A …………………4 分
数学试题(理科) 第 6 页,共 4 页

∴ DE ⊥ 平面PAE ,又 PE ? 平面PAE ,∴ DE ⊥ PE . …………………………6 分 (也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理) (还可以分别算出 PE,PD,DE 三条边的长度,再利用勾股定理的逆定理得证,也给满分) (2) 如图过 A 作 AQ ⊥ DE 于 Q ,连 AE , PQ ,则 PQ ⊥ DE ,…7 分 ∴ ∠PQA 为二面角 P ? ED ? A 的平面角. 设 BE = x ,则 CE = 2 ? x . ……………9 分
P

在Rt ?PAQ中,Q ∠PQA =

π
4

,∴ AQ = PA = 1. …………11 分
B
2

A Q E C

D

Q 在Rt ?ABE中, AE = 1 + x ,∴ 在Rt ?AQE中, EQ = x,
在Rt ?AQD中DQ = 3, 于是 DE = x + 3

……………………………13 分

在Rt ?DCE中 ,有 ( x + 3) 2 = (2 ? x)2 + 1 解之得 x = 2 ? 3 。
点 E 在线段 BC 上距 B 点的 2 ? 3 处. ………………………………14 分 方法二、向量方法.以 A 为原点, AB, AD, AP 所在直线为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系,如图. …………………………1 分 (1)不妨设 AP = a ,则 P (0, 0, a ), E (1,1, 0), D (0, 2, 0) , 从而 PE = (1,1, ? a ), DE = (1, ?1, 0) ,………………………5 分 于是 PE DE = (1,1, ? a ) (1, ?1, 0) = 1 ? 1 = 0 , 所以 PE ⊥ DE , 所以 PE ⊥ DE

uuu r

uuur

z P

uuu uuur r uuu r

uuur

………………………6 分
B x

A

D y

(2)设 BE = x ,则 P (0, 0,1), E (1, x, 0), D (0, 2, 0) ,

E

C

uuu r uuur 则 PE = (1, x, ?1), DE = (1, x ? 2, 0) .……………………………………10 分 uuu r r 易知向量 AP = (0, 0,1) 为平面 AED 的一个法向量.设平面 PDE 的法向量为 n = ( a, b, c ) , r uuu r ?n ? PE = 0, ? a + bx ? c = 0 ? 则应有 ? r uuur 即? 解之得 c = 2b ,令 b = 1, 则 c = 2 , a = 2 ? x , ?a + b( x ? 2) = 0 ?n ? DE = 0, ?
从而 n = (2 ? x,1, 2) ,…………………………………………………………12 分

r

r n π 依题意 cos = r 4 n

uuu r AP 2 2 2 ,即 , uuu = r = 2 2 2 AP ( x ? 2) + 5

解之得 x1 = 2 + 3 (舍去) x2 = 2 ? 3 ……………………………………13 分 , 所以点 E 在线段 BC 上距 B 点的 2 ? 3 处 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)法一:连结 CP,由 AC ? BC = 0 ,知 AC⊥BC ∴|CP|=|AP|=|BP|= .………………………………14 分

uuur uuu r

y A P · B x O C

1 | AB | ,由垂径定理知 | OP |2 + | AP |2 =| OA |2 2
第 7 页,共 4 页

数学试题(理科)

即 | OP | + | CP | = 9
2 2 2

--------------------------4 分
2 2 2

设点 P(x,y) ,有 ( x + y ) + [( x ? 1) + y ] = 9
2 2 化简,得到 x ? x + y = 4

----------------------8 分

法二:设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,P ( x, y ) , 根据题意,知 x1 + y1 = 9, x2 + y2 = 9 , 2 x = x1 + x2 , 2 y = y1 + y2 ,
2 2 2 2

∴ 4 x = x1 + 2 x1 x2 + x2 , 4 y = y1 + 2 y1 y2 + y2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

故 4 x + 4 y = ( x1 + y1 ) + (2 x1 x2 + 2 y1 y2 ) + ( x2 + y2 ) = 18 + 2( x1 x2 + y1 y2 ) ……①----4 分
2

又 AC ? BC = 0 ,有 (1 ? x1 , ? y1 ) ? (1 ? x2 , ? y2 ) = 0 ∴ (1 ? x1 ) × (1 ? x2 ) + y1 y2 = 0 ,故 x1 x2 + y1 y2 = ( x1 + x2 ) ? 1 = 2 x ? 1 代入①式,得到 4 x 2 + 4 y 2 = 18 + 2(2 x ? 1) 化简,得到 x 2 ? x + y 2 = 4 --------------------------8 分

uuur uuu r

(2)根据抛物线的定义,到直线 x = ?1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线

y 2 = 2 px 上,其中

p = 1 ,∴ p = 2 ,故抛物线方程为 y 2 = 4 x 2

----------------10 分

? y2 = 4x ? 2 由方程组 ? 2 得 x + 3 x ? 4 = 0 ,解得 x1 = 1, x2 = ?4 2 ?x ? x + y = 4 ?
由于 x ≥ 0 ,故取 x = 1 ,此时 y = ±2 故满足条件的点存在的,其坐标为 (1, ?2) 和 (1, 2) 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 | x |< 2 时,由 a ⊥ b

----------------12 分

---------------------14 分

r

r

得 a ? b = ( x 2 ? 3) x ? y = 0 ,

r r

y = x3 ? 3 x ; | x |< 2 且 x ≠ 0 )----------------------------------------------------2 分 (
当 | x |≥ 2 时,由 a // b . 得y=?

r r

x x ?3
2

--------------------------------------------------------------4 分

? x3 ? 3 x, (?2 < x < 2且x ≠ 0) ? ∴ y = f ( x) = ? x -----------------------------------5 分 .( x ≥ 2或x ≤ ?2) ? ? 3 ? x2
(2)当 | x |< 2 且 x ≠ 0 时,

数学试题(理科)

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由 y ' = 3 x ? 3 <0,解得 x ∈ ( ?1, 0) U (0,1) ,-------------------------------------------6 分
2

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 当 | x |≥ 2 时, y ' = = >0 (3 ? x 2 ) 2 (3 ? x 2 ) 2
∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) (3)对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) , 都有 mx + x ? 3m ≥ 0
2

----------------------------8 分

------------------------------9 分

即 m( x ? 3) ≥ ? x ,
2

也就是 m ≥

x 3 ? x2

对 ?x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) 恒成立,----------------------------------------------------11 分 由(2)知当 | x |≥ 2 时,

f '( x) =

(3 ? x 2 ) ? x(?2 x) 3 + x2 = >0 (3 ? x 2 ) 2 (3 ? x 2 )2

∴ 函数 f ( x ) 在 ( ? ∞, ? 2] 和 [2,+∞) 都单调递增-------------------------------12 分 又 f ( ?2) =

?2 2 = 2 , f (2) = = ?2 3? 4 3? 4 x 当 x ≤ ?2 时 f ( x) = >0, 3 ? x2
0 < f ( x) ≤ 2 同理可得,当 x ≥ 2 时, 有 ?2 ≤ f ( x) < 0 ,

∴当 x ∈ ( ?∞, ?2] 时,

综上所述得,对 x ∈ ( ?∞, ?2] U[2, +∞ ) ,

f ( x) 取得最大值 2;∴ 实数 m 的取值范围为 m ≥ 2 . ----------------14 分
21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 bn = an ? 1 得 an = bn + 1 代入 an ? 1 = an ( an +1 ? 1) 得 bn = (bn + 1)bn +1 整理得 bn ? bn +1 = bn bn +1 ,----------------------------------------------------------------1 分 ∵ bn ≠ 0 否则 an = 1 ,与 a1 = 2 矛盾 从而得

1 1 ? = 1 , ---------------------------------------------------------------------3 分 bn +1 bn
∴数列 {

∵ b1 = a1 ? 1 = 1

1 } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 bn



1 1 = n ,即 bn = .---------------------------------------------------------------4 分 bn n
第 9 页,共 4 页

数学试题(理科)

1 1 1 + +L + 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn = S 2 n ? S n = 1 + + + L + + +L + ? (1 + + + L + ) 2 3 n n +1 2n 2 3 n 1 1 1 + +L + ---------------------------------------------------------6 分 = n +1 n + 2 2n 1 1 1 1 1 1 证法 1:∵ Tn +1 ? Tn = + +L+ ?( + +L + ) n+2 n+3 2n + 2 n + 1 n + 2 2n
(2)∵ S n = 1 + =

1 1 1 1 1 1 + ? = ? = >0 2n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 1 2n + 2 (2n + 1)(2n + 2)

∴ Tn +1 > Tn .--------------------------------------------------------------------------8 分 证法 2:∵ 2n + 1 < 2n + 2

1 1 > 2n + 1 2n + 2 1 1 1 ∴ Tn +1 ? Tn > + ? =0 2 n + 2 2n + 2 n + 1
∴ ∴ Tn +1 > Tn .----------------------------------------------------------------------------8 分

(3)用数学归纳法证明: ①当 n = 1 时 1 +

n 1 1 1 1 = 1 + , S 2n = 1 + , + n = + 1 ,不等式成立;-----------9 分 2 2 2 2 2
?

②假设当 n = k ( k ≥ 1 , k ∈ N )时,不等式成立,即

1+

k 1 ≤ S 2k ≤ + k ,那么当 n = k + 1 时 2 2 1 1 1 k 1 1 k 1 1 S 2k +1 = 1 + + L + k + L + k +1 ≥ 1 + + k + L + k +1 > 1 + + k +1 + L + k +1 2 2 2 2 2 +1 2 2 14 244 2 4 23
2k 个

= 1+ S 2k +1

k 1 k +1 + = 1+ ----------------------------------------------------------------------12 分 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + L + k + L + k +1 ≤ + k + k + L + k +1 < + k + k + L + k 2 2 2 2 2 +1 2 2 2 2 14243
2k 个



1 + (k + 1) 2

∴当 n = k + 1 时,不等式成立 由①②知对任意的 n ∈ N ,不等式成立.--------------------------------------------------------14 分
?

数学试题(理科)

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