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(安徽专用)高考数学总复习 第三章第5课时 三角函数的图象和性质课时闯关(含解析)

第三章第 5 课时 三角函数的图象和性质 课时闯关(含答案解析)
π 一、选择题 1.(2012·宜昌调研)已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),则下面结论错误的是 2 ( ) A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 解析:选 D.∵f(x)=sin(x- )=-cosx, 2 ∴A、B、C 均正确,故错误的是 D. 2.函数 y= |sinx+cosx|-1的定义域是( ) π? π? ? ? A.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) B.?2kπ ,2kπ + ?(k∈Z) 2? 2? ? ? ? π ? ? π ? C.?- +kπ ,kπ ?(k∈Z) D.?- +2kπ ,2kπ ?(k∈Z) ? 2 ? ? 2 ? 2 解析:选 A.|sinx+cosx|-1≥0? (sinx+cosx) ≥1? sin2x≥0,∴2kπ ≤2x≤2kπ +π , k∈Z, π? ? 故原函数的定义域是?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? a+b 3. 函数 f(x)=sinx 在区间[a, b]上是增函数, 且 f(a)=-1, f(b)=1, 则 cos =( ) 2 A.0 C.-1 2 2 D.1 B.

π π a+b 解析:选 D.不妨设 a=- ,则 b= ,cos =cos0=1,故选 D. 2 2 2 π π 4.若 <α < ,则( ) 4 2 A.sinα >cosα >tanα B.cosα >tanα >sinα C.sinα >tanα >cosα D.tanα >sinα >cosα 解析:选 D.tanα >1,cosα <sinα <1,∴tanα >sinα >cosα . 2 5.(2012·开封调研)函数 f(x)=1-2sin x+2sinx 的最小值与最大值分别为( A.-3,1 B.-2,2 3 3 C.-2, D.-3, 2 2 2 解析:选 D.由 f(x)=-2sin x+2sinx+1 1?2 3 ? =-2?sinx- ? + . 2? 2 ? 1 3 ∵-1≤sinx≤1,故当 sinx= 时,f(x)max= . 2 2 9 3 当 sinx=-1 时,f(x)min=- + =-3, 2 2 3 故 f(x)max= ,f(x)min=-3. 2 二、填空题

)

6.函数 y= 1-tanx的定义域是________. 解析:由 1-tanx≥0,得 tanx≤1, π π ∴kπ - <x≤kπ + (k∈Z). 2 4 π π? ? 答案:?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 2 4? ? 7.函数 y=sinx+sin|x|的单调递减区间是________.
? ?2sinx,x≥0, 解析:函数 y=? ?0,x<0, ?

π 3π ? ? 所以它的单调递减区间是?2kπ + ,2kπ + ?,k∈N. 2 2 ? ? π 3π ? ? 答案:?2kπ + ,2kπ + ?,k∈N 2 2 ? ? π? ?π 8 .设函数 f(x) = 3sin ? x+ ? ,若存在这样的实数 x1 , x2 ,对任意的 x ∈ R ,都有 2 4? ? f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________. π? 2 ?π 解析:f(x)=3sin? x+ ?的周期 T=2π × =4,f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小 4? π ?2 值和最大值,故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 答案:2 三、解答题 3 1 9.已知 y=a-bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为- ,求函数 y=-4asin(3bx)的周期、 2 2 最值及取得最值时的 x,并判断其奇偶性. 3 ? ?a+b=2 解:依题意得? 1 a-b=- ? ? 2 1 ? ?a= ,∴? 2 ? ?b=1

T



2π ∴y=-4asin(3bx)=-2sin3x,则周期 T= . 3 π 当 3x=2kπ + (k∈Z), 2 2kπ π 即 x= + (k∈Z)时,ymin=-2, 3 6 π 当 3x=2kπ - (k∈Z), 2 2kπ π 即 x= - (k∈Z)时,ymax=2,记 f(x)=-2sin3x, 3 6 ∵f(-x)=-2sin3(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 3 3 ?π ? 1 2 10.已知函数 f(x)=2acos x+bsinxcosx- ,且 f(0)= ,f? ?= . 2 2 ?4? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移能使所得图象对应的函数成为奇函数?

解:(1)由 f(0)= ∴2a= 3,则 a=

3 3 3 ,得 2a- = , 2 2 2 3 . 2

3 b 3 1 ?π ? 1 由 f? ?= ,得 + - = , 2 2 2 2 ?4? 2 ∴b=1, 3 2 ∴f(x)= 3cos x+sinxcosx- 2 3 1 cos2x+ sin2x 2 2 π ? ? =sin?2x+ ?, 3? ? = 2π ∴ 函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π 3 π 7 (2)由 +2kπ ≤2x+ ≤ π +2kπ (k∈Z),得 +kπ ≤x≤ π +kπ (k∈Z), 2 3 2 12 12 π 7 ? ? ∴f(x)的单调递减区间是? +kπ , π +kπ ?(k∈Z). 12 ?12 ? π ? ? ?? (3)∵f(x)=sin?2?x+ ??, 6 ?? ? ? π π ∴奇函数 y=sin 2x 的图象左移 个单位, 即得到 f(x)的图象, 故函数 f(x)的图象右移 个 6 6 单位后对应的函数成为奇函数. 11.已知函数 f(x)=sin2x- 3cos2x+1. ?π π ? (1)当 x∈? , ?时,求 f(x)的最大值和最小值; ?4 2? (2)求 f(x)的单调区间. π? ? 解:(1)f(x)=sin2x- 3cos2x+1=2sin?2x- ?+1. 3? ? π π π π π 2π ∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x≤π ,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 2 6 3 3 π π 1 ? ? ? ? ∴ ≤sin?2x- ?≤1,∴1≤2sin?2x- ?≤2, 3? 3? 2 ? ? π? ? 于是 2≤2sin?2x- ?+1≤3, 3? ? ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2. π π π π 5π (2)由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 得 2kπ - ≤2x≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 6 6 π 5π ∴kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 12 12 π 5π ? ? 即 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z, 12 12 ? ? π π 3π 同 理 由 2kπ + ≤2x - ≤2kπ + , k ∈ Z 得 f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 2 3 2 ?kπ +5π ,kπ +11π ?,k∈Z. ? 12 12 ? ? ?