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期末复习二次函数专题


期末复习
二次函数
无为二中 倪进友

一、已知三点求解析式 1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该 函数的解析式是( D ) A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2 C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+2 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,求 出抛物线的解析式.3 解:将点A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c得 ?a-b+c=0, ?a=1, ? ? ?c=-3, 解得?b=-2, ? ? ?16a+4b+c=5, ?c=-3, 所以抛物线的解析式为 y=x2-2x-3

二、已知顶点或对称轴求解析式 3.在直角坐标平面内,二次函数的图象顶点为A(1,-4),且过 点B(3,0),求该二次函数的解析式. 解:∵二次函数的图象顶点为A(1,-4),∴设y=a(x-1)2-4, 将点B(3,0)代入得a=1,故y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3 4.已知抛物线经过两点A(1,0),B(0,3),且对称轴是直线x= 2,求其解析式. 解:∵抛物线对称轴是直线x=2且经过点A(1,0),由抛物线的 对称性可知:抛物线还经过点(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x-3),把(0,3)代入得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2-4x +3

三、已知抛物线与x轴的交点求解析式 5.已知抛物线与x轴的交点是 A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2, y=2x2+2x- 8),则该抛物线的解析式为________________ .4 6 .如图,抛物线y =-x 2+bx +c与x 轴的两个交点分别为A(1 ,0), B(3,0),求这条抛物线的解析式. 解:∵抛物线与x 轴交于A(1 ,0),B(3 ,0)两点,∴抛物线的解析 式可表示为y=-(x-3)(x-1),即y=-x2+4x-3

四、已知几何图形求解析式 7.如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点 2 2 A,C分别在x轴、 y轴的正半轴上,二次函数y=- x +bx+c的图象 3 经过B,C两点.求该二次函数的解析式.

c=2, ? ? 解:由题意,得C(0,2),B(2,2),? 2 ? ?-3×4+2b+c=2, 4 ? ?b= , 2 2 4 3 解得? 所以该二次函数的解析式为y=- x + x+2 3 3 ? c = 2 , ?

五、已知面积求解析式 8.直线l过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在 9 第一象限内交于点P,若S△AOP= ,求二次函数关系式. 2

解:易求直线AB的解析式为 y=-x+4, 9 1 9 9 9 ∵S△AOP= ,∴ ×4×yp= ,∴yp= ,∴ =-x+4, 2 2 2 4 4 7 7 9 36 36 2 2 解得x= ,把点P的坐标( , )代入y=ax ,解得a= ,∴y= x 4 4 4 49 49

六、已知图形变换求解析式 9.已知抛物线 C1:y=ax2+bx +c经过点A(-1,0),B(3,0), C(0,-3). (1)求抛物线C1的解析式; (2)将抛物线C1向左平移几个单位长度,可使所得的抛物线C2经过 坐标原点,并写出C2的解析式.

解:(1)y=x2-2x-3
(2)抛物线C1向左平移3个单位长度,可 使得到的抛物线C2经过坐标原点,所 求抛物线C2的解析式为y=x(x+4),即 y=x2+4x

七、运用根与系数的关系求解析式 10.已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2. (1)直线l:y=-x+2是否经过抛物线的顶点; (2)设该抛物线与x轴交于M,N两点,当OM·ON=4,且OM≠ON 时,求出这条抛物线的解析式.
解:(1)将y=-x2+2mx-m2-m+2配方得y=-(x-m)2-m+2, 由此可知,抛物线的顶点坐标是(m,-m+2),把x=m代入y=-x +2得y=-m+2,显然直线y=-x+2经过抛物线y=-x2+2mx- m2-m+2的顶点

(2) 设 M , N 两点的横坐标分别为 x 1 , x 2 , 则 x 1 , x 2 是方程- x 2 + 2mx-m2-m+2=0的两个实数根,∴x1x2=m2+m-2,∵OM· ON =4, 即|x1x2|=4,∴m2+m-2=±4.当m2+m-2=4时,解得m1= -3,m2=2,当m=2时,可得OM=ON不合题意,所以m=-3; 当m2+m-2=-4时,方程没有实数根,因此所求的抛物线的解析 式只能是y=-x2-6x-4

一、以利润为背景 1.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,试销时发现:销 售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求出y与x之间的函数关系式; (2)写出每天的利润 W与销售单价x之间的函数关系式;若你是商 场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大 利润是多少? 解:(1)y=-x+180 (2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180), 即W=-(x-140)2+1600,当x=140时, W最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天最 大利润W为1600元

2.随着某市近几年城市建设的快速发展 ,对花木的需求量逐年 提高,某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预 测,种植树木的利润y 1与投资量x成正比例关系,如图①所示;种 植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系,如图②所示.(注:利 润与投资量的单位:万元)

(1)分别求出利润y1 与y2关于投资量x的函数关系式; (2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木 ,他至少获 得多少利润?他能获得的最大利润是多少?

1 2 解:(1)y1=2x, y2= x 2 (2)设种植花卉的资金投入为x万元,那么种植树木的资金投入 为(8-x)万元,两项投入所获得的总利润为y万元,则 y=y1+y2= 1 2 1 2(8-x)+ x = (x-2)2+14,∴当x=2时,y最小=14,这位专业户 2 2 至少获利14万元,又∵0≤x≤8,抛物线的对称轴为x=2,①当 0≤x≤2时,y值随x的增大而减小,∴当x=0时,y最大=16;②当2 <x≤8时,y值随x的增大而增大,∴x=8时,y最大=32,综合①② 可知,最大利润是32万元

二、以桥梁、隧道为背景 3.如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直 角坐标系,左边的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示, 而且左右两条抛物线关于y轴对称. (1)钢缆最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆的最低点之间的距离是多少? (3)写出右边钢缆抛物线的解析式. 解:y=0.0225x2+0.9x+10=0.0225(x+20)2+1, (1)钢缆最低点到桥面的距离是1 m (2)两钢缆的最低点之间的距离是40 m (3)∵右边钢缆的抛物线与左边的关于y轴对称,∴此抛物线的顶点 为(20,1),∴y=0.0225(x-20)2+1,即y=0.0255x2-0.9x+10

4.如图, 某公路隧道横截面为抛物线 ,其最大高度为 6 米 ,底部宽 度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标 系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C,D点在抛物 线上,A,B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多 少? 解:(1)M(12,0),P(6,6)

(2)设抛物线的解析式为 y=a(x-6)2+6.∵抛物线y=a(x-6)2+6 1 1 经过点(0,0),∴a=- ,∴抛物线的解析式为y=- (x-6)2+6, 6 6 1 2 即y=- x +2x 6 1 (3)设A(m,0),则B(12-m,0),C(12-m,- m2+2m), 6 1 2 1 2 D(m,- m +2m),∴“支撑架”总长AD+DC+CB=(- m +2m) 6 6 1 2 1 2 1 +(12-2m)+(- m +2m)=- m +2m+12=- (m-3)2+15.∵此 6 3 3 二次函数的图象开口向下,∴当m=3时,AD+DC+CB有最大值, 最大值为15米

三、以球类运动为背景 5.如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球 向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线 ,如果不考虑空气阻力 , 当球达到最大水平高度 12 米时 , 球移动的水平距离为 9 米.已知山 坡OA与水平方向OC的夹角为30°,O,A两点相距8米. (1)求出点A的坐标及直线OA的解析式; (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式; (3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.

解:(1)在Rt△AOC中,∵∠AOC=30°,OA=8 3 ,∴AC=8 3 1 × =4 3 ,由勾股定理可求OC=12,∴点A的坐标为(12,4 3), 2 3 x 3 (2)∵顶点B的坐标是(9,12),点O的坐标是(0,0),∴设抛物 线的解析式为y=a(x-9)2+12,把点O的坐标代入得0=a(0-9)2+ 4 4 12,解得a=- ,∴抛物线的解析式为y=- (x-9)2+12(或y 27 27 4 2 8 =- x + x) 27 3 4 32 (3)∵当x=12时,y=- ×(12-9)2+12= ≠4 3,∴小明这 27 3 一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 从而可求OA的解析式为 y=

6.如图,在水平地面点A处有一个网球发射器向空中发射网球,网 球飞行路线是一条抛物线 , 在地面上落点为 B. 有人在直线 AB 上点 C( 靠点 B 一侧 ) 竖直向上摆放无盖的圆柱形桶 , 试图让网球落入桶 内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行的最大高度OM=5米,圆 柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米.(网球的体积和圆柱形桶的厚度 忽略不计) (1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内? (2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?

解:(1)以点O为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则 M(0,5),B(2,0),C(1,0),D(
2

3 ,0),设抛物线的解析式为 y= 2

5 ax +k,抛物线过点M和点B,可求k=5,a=- ,即抛物线解析 4 5 2 15 3 35 式为y=- x +5.当x=1时,y= ;当x= 时,y= ,即(1, 4 4 2 16 15 3 35 3 ),( , )在抛物线上.当竖直摆放5个圆柱形桶时,桶高= 4 2 16 10 3 3 15 3 35 ×5= .∵ < ,且 < ,∴网球不能落入桶中 2 2 4 2 16

(2)设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内,由题意,得 35 3 15 7 1 ≤ m≤ ,解得7 ≤m≤12 .∵m为整数,∴m的值为8,9, 16 10 4 24 2 10,11,12,∴当竖直摆放圆柱形桶8,9,10,11或12个时,网球 可以落入桶内


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