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青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高中数学 1.3.2 奇偶性导学案 新人教A版必修1


1.3.2 奇偶性
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课前预习 · 预习案 【温馨寄语】 希望是坚韧的拐杖,忍耐是旅行袋,带上他们,你可以登上永恒之旅,走遍全世界。 【学习目标】 1.利用函数的奇偶性解决一些简单的问题, 2.掌握奇偶性的判断方法. 3.理解函数的奇偶性的概念和奇偶性图象的性质. 【学习重点】 1.函数奇偶性的性质及应用 2.奇、偶函数的概念及其几何意义 3.偶函数的概念及其几何意义 【学习难点】 1.奇、偶函数的概念及其判断 2.偶函数的概念及其判断 3.利用函数的奇偶性解决一些综合问题 【自主学习】 奇、偶函数的定义及图象特征 名称 如果对于函数 偶函数 意一个 , 都有 就叫偶函数 奇函数 如果对于函数 的定义域内任 图象关于 对称 定义 的定义域内任 , 那么函数 图象关于 对称 图象特征

1

意一个 , 都有 叫奇函数 【预习评价】

, 那么函数



1.函数

A.是奇函数 C.是非奇非偶函数

B.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

2.奇函数

(

)的图象必经过点

A.

B.

C.

D.

3.函数



.(填“奇函数”“偶函数”)

4.函数

,在

上为偶函数,则

.

5.函数

为奇函数,则

.

知识拓展 · 探究案 【合作探究】 1.偶函数的概念 观察下面函数的图象,根据图象探究下面的问题:

2

(1)分析 3 个函数的定义域,从图象的对称角度考虑它们有什么共性?

(2)对于函数 对称?

, 分析 与

所对应的函数值关系, 说明函数的图象为何关于 轴

2.偶函数的概念根据偶函数的概念探究下面的问题:

(1)对于函数

,若在定义域内有

,能否说明函数

是偶函数?

(2)若对定义域内任意的 都有

,则函数



;若对定义域内任意的 都有

则函数



.

3.奇函数的概念

观察函数

与函数

的图象,探究下面的问题:

(1)分析两个函数的定义域,从图象的对称性角度考虑图象之间有什么共性?

(2)什算当 取-3,-2,-1,1,2,3 时,函数 系. 4.奇函数的概念

的值,并总结函数值之间的关

根据奇函数的概念探究下面的问题:
3

(1)根据函数奇偶性的定义,对奇函数

的定义域有何要求?

(2)若对定义域内任意的 都有 是

.则函数 ;若对定义域内任意的 都有

,则函数



.

【教师点拨】 1.对奇函数图象及概念的三点说明 (1)奇函数的图象关于原点对称;反之如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函 数是奇函数. (2)奇函数的定义域关于原点对称.

(3)若奇函数在

处有定义,则有

.

2.对偶函数概念及图象的两点说明

(1)对称性:偶函数的图象关于 轴对称;反之如果一个函数的图象关于 对称,那么 这个函数是偶函数. (2)任意性:判断一个函数为偶函数,不能仅根据几个特殊值满足条件,就说明函数是 偶函数.若一个函数为偶函数,则对任一特殊值 都有 成立.

【交流展示】

1.函数 A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

2.设函数

在区间 上是奇函数,函数 在区间 上是

在区间 上是偶函数,则函数

A.偶函数

B.奇函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

4

3.函数

的图象大致是

A.

B.

C.

D.

4.如图,给出了偶函数

的局部图象,那么



的大小关系正确的是

A.

B.

C.

D.

5.若函数

在[-5,5]上是奇函数,且

,则下列各式中一定成立的是

A. C.

B. D.

6.

是偶函数,且在

上为减函数,则





的大小关系是

A.

B.

C.

D.

7.已知定义域为 的函数 不等式 的解集为

为奇函数,且在

内是减函数, .

,则

8.已知偶函数 围是

在区间

上单调递增,则满足

的 x 取值范

5

A.

B.

C.

D.

【学习小结】 1.判断函数的奇偶性三个步骤 (1)看定义域:是否关于原点对称.

(2)定关系:看



的关系.

(3)下结论:若 奇函数.

,则

是偶函数;若

,则



2.奇偶函数图象的两个简单应用 根据奇、偶函数在某区间上的图象,利用奇偶性可作出对称区间上的图象,利用图象可 解决以下两个问题: (1)求值:已知某量的值,可求该量相反数的值.

(2)解不等式:由奇偶性得出图象后,根据 轴上方函数值大于零, 轴下方函数值小于 零可写出不等式的解集. 3.已知函数奇偶性求参数的三种方法 (1)对称法:根据奇、偶函数的定义域关于坐标原点对称,则可求解所给区间含有的参 数. (2)定义法:根据函数的奇偶性定义,得到一个恒等式,比较系数可得. (3)赋值法:根据函数的奇偶性采用赋值法,通过特殊值求参数的值. 4.根据函数奇偶性求解析式的三个步骤

提醒:利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域,特别是

的情况
6

5.利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤

6.利用奇偶性与单调性解抽象不等式的四个步骤

提醒:在利用单调性解不等式时,要注意定义域的限制,以保证转化的等价性. 【当堂检测】

1.设奇函数 不等式

的定义域为[-5,5],若当 的解集是

时, .

的图象如图所示,则

2.已知

是偶函数,当

时,

,则当

时,

. 3.判断下列函数的奇偶性.

7

(1)

(2)

(3)

4.已知函数 的值.

是奇函数,又



,求 , ,

5.已知函数 轴左侧的图象.

是奇函数,且其图象在 轴右侧的部分如图所示,请画出



8

1.3.2 奇偶性

详细答案 课前预习 · 预习案 【自主学习】

f(-x)=f(x) y 轴 f(-x)=-f(x)
【预习评价】 1.C 2.C 3.偶函数 4.1 5.0

原点

知识拓展 · 探究案 【合作探究】

1. (1)函数 f(x)=x2 的图象是定义域为全体实数的抛物线; 函数

的图象是定义域

为非零实数的两条曲线;函数 f(x)=|x|的图象是定义域为全体实数的折线.各函数之间的 共性为图象都关于 y 轴对称. (2)任取 x∈R,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),而点(x,f(x))与点(-x,f(x))关于 y 轴 对称,所以函数 y=x2 的图象关于 y 轴对称. 2. (1)不能.必须是在定义域内任意的 x 都有 f(-x)=f(x)成立, 才能说明函数 f(x)是偶函 数. (2)偶函数 偶函数 3.(1)两个函数的定义域都关于原点对称,函数图象也关于原点对称. (2)f(-3)=-f(3),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).

结论:两个互为相反数的自变量 x,其函数值互为相反数. 4. (1) 因为在函数奇偶性的定义中, 对任意的一个 x 都有 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x), 所以-x 也属于定义域,因此奇函数的定义域必须关于原点对称. (2)奇函数 奇函数 【交流展示】 1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.C 7.{x|x≤-3 或 x≥3 或 x=0} 8.A 【当堂检测】 1.(-2,0)∪(2,5] 2.

3.(1)函数

定义域为[-1,0)∪(0,1],

则|x+2|-2=x,所以

.

因为 f(-x)=-f(x),且 f(x)的定义域关于原点对称, 所以 为奇函数.

(2)f(x)的定义域关于原点对称, 因为 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x),

所以 f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)当 x<-1 时,f(x)=x+2,-x>1,所以 f(- )=(-x)+2=x+2=f(x);

当 x>1 时,f(x)=-x+2,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x); 当-1≤x≤1 时,f(x)=0=f(-x). 所以对定义域内的每个 x 都有 f(-x)=f(x).因此函数 f(x)为偶函数. 4.a=b=1,c=0 5.根据奇函数的图象关于原点对称的性质,可作出 f(x))在 y 轴左侧的图象如图:


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