# 高中数学微积分公式大全

Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x ? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C ? sin-1 x dx = x sin-1 x+ 1?x +C
2

sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = ? - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = ? - cot-1 x sec-1(-x) = ? - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x

x Dx sin ( )= a
-1

?1 a2 ? x2

? cos-1 x dx = x cos-1 x- 1?x +C
2

x cos-1 ( )= a x ?a tan-1 ( )= 2 a a ? x2 x cot-1 ( )= a
sec-1 (

? tan-1 x dx = x tan-1 x-?ln (1+x2)+C ? cot x dx = x cot x+?ln (1+x )+C ? sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+
-1 -1 2

x2 ?1|+C
2

x a x cosh-1 ( a x tanh-1 ( a x coth-1 ( a
sinh-1 (
-1

)= ln (x+ a ?x ) x ? R
2 2

)=ln (x+ x ? a ) x ≧1
2 2

a 2a a 1 x )= ln ( 2a x
)= ln (

1

? ? ? ?

x ) |x| <1 x a ) |x| >1 a

? csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+ x ?1|+C

x ?a )= a x x2 ? a2

1 ? x2 x ?1 sech ( )=ln( + )0≦x≦ x2 a x
csch-1 (

csc-1 (x/a)= Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C ? csch x dx = 2 ln |

1 ? x2 x 1 )=ln( + ) |x| >0 x2 a x

duv = udv + vdu ? duv = uv = ? udv + ? vdu →? udv = uv - ? vdu cos2ζ -sin2ζ =cos2ζ cos2ζ + sin2ζ =1 cosh2ζ -sinh2ζ =1 cosh2ζ +sinh2ζ =cosh2ζ

1 ? e?x 1 ? e ?2 x

|+C

x Dx sinh-1( )= a
cosh-1(

1 a ?x
2 2

? sinh x dx = x sinh x- 1?x + C
-1 -1

2

x )= a

1 x ?a
2 2

? cosh-1 x dx = x cosh-1 x- x ?1+ C
2

sin 3ζ =3sinζ -4sin3ζ cos3ζ =4cos3ζ -3cosζ →sin3ζ = ? (3sinζ -sin3ζ ) →cos3ζ =?(3cosζ +cos3ζ ) sin x =

? tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ? ln | 1-x2|+ C ? coth-1 x dx = x coth-1 x- ? ln | 1-x2|+ C ? sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C ? csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C a c
β γ α

x ?a )= 2 a a ? x2 x coth-1( )= a
tanh-1( sech-1(

e jx ? e ? e jx ? e ? jx cos x = 2 2j

sinh x = b

ex ? e?x ex ? e? cosh x = 2 2

R

x ?a )= a x a2 ? x2

b c a = = =2R sin ? sin ? sin ?

csch (x/a)=

-1

?a x a2 ? x2

sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β ? sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)

sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α ± β)=

tan ??tan ? , cot (α ± ?tan ?tan ?

β)=

?cot ?cot ? cot ??cot ?
1 =n

ex=1+x+

x2 x3 xn + +…+ +… 2! 3! n!

?
n

n

i?1

( ? 1) n x 2 n ?1 x3 x5 x7 sin x = x+ +…+ +… 3! 5! 7! ( 2 n ? 1)!
cos x = 1-

?
n

i = ?n (n+1)
1 n (n+1)(2n+1) 6

i?1

x2 x4 x6 ( ? 1) n x 2 n + +…+ +… 2! 4! 6! ( 2 n )! x 2
3 2

?
n

i2 =

i?1

ln (1+x) = x-

+
5

x 3

3

-

x 4

4

+…+

( ? 1) n x n ? 1 +… ( n ? 1)!

?

i 3 = [?n (n+1)]2

i?1

x7 ( ? 1) n x 2 n ?1 tan x = x+ +…+ +… 3 5 7 ( 2 n ? 1)
-1

x

x

Γ (x) =

?t
0

?

x-1 -t

e

dt = 2 t
0

?

?

2x-1

e ? t dt =

2

?

?

0

1 (ln ) x-1 dt t

(1+x)r =1+rx+ -1<x<1

? 1 r ( r ? 1) 2 r (r? 1 )( r?2 ) 3 x+ x +… β (m, n) = x m-1(1-x)n-1 dx=2 2 sin 2m-1x ?0 ?0 2! 3 !

cos2n-1x dx = 希臘字母 (Greek Alphabets) 大寫 Α Β Γ Γ Δ Ε Ζ Θ 小寫

?

?

0

xm?1 dx (1 ? x)m?n

α β γ δ ε δ ε ζ

η θ ι κ λ μ ν π

ξ ζ, ο η π θ ρ ? σ

sin ? cos ? ; cotζ = cos ? sin ?

0*? =

1 ?

*? =

? ?

= 0*

1 0

=

0 0

0 0 = e0(??) ; ?0 = e 0?? ; 1? = e 0??

X? X ... ? X 2? n X ?1 n

nX G ? ? X ? ... ? X 1 2 n

H?

1 1 1 1 1 ( ? ?... ? ) n x x x 1 2 n

?|X
1

n

i

?X |

n

? (X i ? X )2
1

n

? (X
or
1
n

n

i

? X )2

n

n ?1

? (X
1

n

2 i ? X)

? (X
or
1

i

? X )2

n

n ?1

1 n
1 b?a

1 (n+1) 2 1 (a+b) 2

1 (n2+1) 12 1 (b-a)2 12

1 et ( 1? n 1?e

Continuous Uniform Bernoulli Binomial

e bt ? e (b ? a

pxq1-x(x=0, 1)
?n? ? ?x? ? ? ?

p np
kq p

pq npq
kq p2

q+pe

pxqn-x

(q+ pe

Negative Binomial Multinomial

? k ? x ? 1? k x ? ? ? ?p q x ? ?
f(x1, x2, …, xm-1)=

pk (1 ? qe t

n ! x x x 1 2 m p p 1 p 2 ... m x ! x !... x ! 1 2 m
Geometric

npi

npi(1-pi)

pqx-1
? k ?? ? ?x? ?? ? ? ?? ? ? ? ? N ? k? ? n ? x ? ? N ? ? n ? ?
n?

1 p
? k ? ? ?N ?

q p2

pe t 1 ? qe

Hypergeometric

? N ?n? ? k ? ? ? n? ? ? N ?1 ? ? N ?

Poisson

e ?? ? x x!

ι

ι

e??(e

t

Normal

1 2 ??

e

1 x?? 2 ? ( ) 2 ?

κ

ζ

2

e
? ???
? ?
1 ?

? t? ?

1 2

Beta

1 ? ? 1 ? ? 1 x ( 1 ? x ) B ( ? ,? )

?? ( ????1 )( ???)2
? ?2
1 ?2

Gamma

? ? ? 1 ? x ( ? x ) e? ? ( ? )
x ? e??
2

? ? ? ? ? ?? ?t?

Exponent Chi-Squaredρ =f(ρ 2)

? ? ?t

=

1 ? n? ?? ?2 ? 2?
n 2

(? 2 ) 2 e

n

?1

?? 2

2

E(ρ 2)=n

V(ρ 2)=2n

(1? 2t

Weibull

1 ? e ?

x?? ?

? ?? ?

?1 ? ?? ?1 ?? ? ?

1

?? ? ? ? ? ??

? ?2 ? 2 ?1 ? ?? ? ? 1? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?

2

1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十億 1 000 000 106 mega M 百萬 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十 0.1 10-1 deci d 分，十分之一 0.01 10-2 centi c 厘（或寫作「厘」 ） ，百分之一 0.001 10-3 milli m 毫，千分之一 0.000 001 10-6 micro ? 微，百萬分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十億分之一

0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一 0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛（或作「費」 ） ，千兆分之一 0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y

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