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广东省中山市第一中学2015-2016学年高一上学期第一次段考数学试题

广东省中山市第一中学 2015-2016 学年度高一上学期第一次段考 数学试卷
满分 150 分,时间 120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 M ? y | y ? x 2 ? 1, x ? R , N ? y | y ? ? x 2 ? 1, x ? R

?

?

?

?

,则 M ? N =( D.1



A. ? 1?

B. ?0,1?


C. ??0,1??

2. 与 y ?| x | 为同一函数的是 (

A. y ? ( x )2

B. y ? x2

C. y ?

?

x,( x ? 0) ? x,( x ? 0)

D. y ? alog

a

x

3. 已知 x ? 1,2, x 2 ,则有(

?

?

) B. x ? 1 或 x ? 2 D. x ? 0 或 x ? 1 或 x ? 2

A. x ? 1 C. x ? 0 或 x ? 2

4. 若全集 U=R, A ? [1,3] , B ? x | x 2 ? 2x ? 0 ,则 A ? =( (?U B)

?

?

)

A.[1,2]

B. ?? ?,0? ? ?2,3?

C. ?0,1?
)

D. ?2,3?

5. 下列函数在区间 (??, 0) 上为增函数的是(

A. y ? x

2

?2 B. y ? x


?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? 3 ? x

6. 下列各式错误的是( A. 30.8 ? 30.7

B. log0.6 0.4 ? log0.6 0.6 D. lg1.6 ? lg1.4
1 2 3

C. 0.75?0.1 ? 0.750.1
1

7. 下列函数 y = x 5 , y = x 4 , y = x

,y= x
4

-

1 2

中,定义域为 x ? R x ? 0 的有(

?

?



A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

8. 已知对数函数 f ? x ? 过点(2,4),则 f

? 2 ? 的值为
C.

(

)
D. 1

A.-1

B.

? x ? 1 ? 2, x ? 1 1 ? 9. 设 f ( x) ? ? 1 ,则 f [ f ( )] =( 2 , x ?1 ? ?1 ? x 2
A.
1 2


25 41

B. ?

9 5

C.

4 13

D.

10.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (

)

11.若 f ? x ? 的定义域为 x ? R x ? 0 ,且满足 f ? x ? ? 2 f ?

?

?

?1? ? ? 3x ,则 f ? x ? 为( ? x?



A.偶函数

B.奇函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

12. 偶函数 f ( x) ( x ? R) 满足: f (? 4) ? f (1) ? 0 ,且在区间 [0, 3] 与 [3,??) 上分别递减和 递增,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为( )

A. (??,?4) ? (4,??) C. (??,?4) ? (?1,0)

B. (?4,?1) ? (1,4) D. (??,?4) ? (?1,0) ? (1,4)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数

y ? 1 ? x ? x 的定义域为____________

14. 函数 y ? x2 ? 6x ? 6 , x ? (?1,5] 的值域为 15. 若 a ? 0, b ? 0 ,化简成指数幂的形式:
3

a 2b ? ab ab5

= _________

16 .不等式 x

log 0.5 x

?

1 的解集是___________. x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 17.(本题 12 分) 求值: (1) 2log5 10 ? log5 0.25

10 ? 2 ? 1? (2) ? 5 ? ? (?1)?1 ? 0.75?2 ? (2 ) 3 27 ? 16 ?

0.5

2 18. (本题 12 分)已知全集 U ? R, A ? { x x ? px?12 ? 0} , B ? {x | x2 ? 5x ? q ? 0} ,

(CU A) ? B ? {2} , (CU B) ? A ? {4} , 求 A ? B .

19.(本题 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f ( x ) 的定义域;

x x ?1

(2) 判断函数 f ( x ) 在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.

20. (本题 12 分) 已知奇函数 y ? f ? x ? 定义域是 R,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x(1 ? x) . (1)求出函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)写出函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间. (不用证明,只需直接写出递增区间即可)

21.(本题 12 分)国家对出书所得稿费纳税进行如下规定:稿费总数不超过 800 元的不纳税; 稿 费总数超过 800 元而不超过 4000 元的, 按超过部分的 14%纳税; 稿费总数超过 4000 元的按全 稿酬的 11%纳税. (1)建立纳税 y 元与稿费 x 元的函数关系; (2)若某人出版了一书共纳税 420 元,则这个人的稿费为多少元?

22. (本题 10 分)已知 f ? x ? ? log a

1? x ?a ? 0, 且a ? 1? 1? x

(1)证明 f ?x ? 为奇函数;(2)求使 f ?x ? >0 成立的 x 的集合.

广东省中山市第一中学 2015-2016 学年度高一上学期第一次段考 数学试卷答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 11 B 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

?0,1?

14. [?3,13)

15.

a b

2 3

?

5 3

16. (0,1)∪(2,+∞)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本题 12 分,每小题各 6 分) 求值:

2 log 5 10 ? log 5 0.25
(1)

? log 5 (100*0.25) ? log 5 25 ?2
0.5

????3分

????6分

10 ? 2 ? 1? ?1 ?2 (2) ? 5 ? ? (?1) ? 0.75 ? (2 ) 3 27 ? 16 ? 27 2 ? 81 ? ? 4? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ( ) 3 64 ? 16 ? ? 3?
? 9 9 9 9 ? ? ? 4 16 16 4
0.5 2

…………3 分 …………6 分

2 ?1 2 ? 0} 18.( 本题 12 分 ) 已 知 全 集 U ? R, A ? { x x ? p x , B ? {x | x2 ? 5x ? q ? 0} ,

(CU A) ? B ? {2} , (CU B) ? A ? {4} , 求 A ? B
【解析】由 (CU B) ? A ? {4} ,所以 4∈A 且 4?B, 代入得 42+4p+12=0,所以 p=-7, …………4 分 由 (CU A) ? B ? {2} ,所以 2∈B 且 2?A, 代入得 22-5×2+q=0, 所以 q=6; …………8 分 所以 A={3,4},B={2,3}, 所以 A∪B={2,3,4}.
19. (本题 12 分)已知函数 f ( x ) ?

…………12 分
x x ?1

(1)求函数 f(x)的定义域; (2) 判断函数 f ( x ) 在(0,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. 【解析】(1) 定义域为 x x ? ?1? …………3 分 (2)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,证明如下: 任取 x1,x2 为区间(0,+∞)上的两个不相等的实数,且 x1<x2, …5 分 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

?

x1 x ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

?

x1 x2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x1 ? x2 …………9 分 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

?

因为 x1>0,x2>0,所以(x2+1)>0,(x1+1)>0 又 x1 ? x2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. …………12 分 20. (本题 12 分) 已知奇函数 y ? f ? x ? 定义域是 R,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x(1 ? x) . (1)求出函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)写出函数 y ? f ? x ? 的单调递增区间. (不用证明,只需直接写出递增区间即可) 解: (1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 f ? ?x ? ? ?x(1 ? x) …………3 分 又因为 y ? f ? x ? 是奇函数 所以 f ? x ? ? ? f ? ?x ? ? x(1 ? x) …………6 分 综上 f ? x ? ? ?

? x(1 ? x) ? x(1 ? x)

x?0 …………8 分 x?0
? 1 1? , …………12 分 ? 2 2? ?

(2)函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ?

21.(本题 12 分)国家对出书所得稿费纳税进行如下规定:稿费总数不超过 800 元的不纳税; 稿 费总数超过 800 元而不超过 4000 元的, 按超过部分的 14%纳税; 稿费总数超过 4000 元的

按全稿酬的 11%纳税. (1)建立纳税 y 元与稿费 x 元的函数关系; (2)若某人出版了一书共纳税 420 元,则这个人的稿费为多少元?

0 0 ? x ? 800 ? ? (1)由题意得 f ? x ? ? ?14%( x ? 800) 800 ? x ? 4000 ? 11% x x ? 4000 ? 0 ? ? 则 f ? x ? ? ?0.14 x ? 112) ? 0.11x ? 0 ? x ? 800 800 ? x ? 4000 …………6 分 x ? 4000

(2)当 800 ? x ? 4000 时 由 0.14x-112=420,解得 x=3800. ……9 分
当 x ? 4000 时 由 0.11x=420,解得 x=3818 (舍去).

综上所述,稿费为 3800 元。…………12 分 1? x ?a ? 0, 且a ? 1? 22. (本题 10 分)已知 f ? x ? ? log a 1? x
(1)证明 f ?x ? 为奇函数;(2)求 f ?x ? >0 成立的 x 的集合. (1) 证:由题得

1? x ?0 1? x

?1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 0

?1 ? x ? 0 或? ?1 ? x ? 0 ? x ? ?1 或? ? x ?1

? x ? -1 化简得 ? ? x ?1
得 -1 ? x ? 1

所以函数定义域为 x -1 ? x ? 1? …………3 分

?

1? x ? 1? x ? f ? ? x ? ? log a ? log a ? ? 1? x ? 1? x ? ? 1? x ? = -log a ? ? = - f ? x? ? 1? x ?

-1

所以 f ?x ? 为奇函数…………5 分 (2) f ?x ? >0 即 log a

1? x ?0 1? x

由(1)得函数定义域为 x -1 ? x ? 1? 当 a ? 1时

?

log a
得?

1? x ? log a 1 1? x



1? x ?1 1? x

? 1? x ? 0 ?1 ? x ? 1 ? x

? 1? x ? 0 或? ?1 ? x ? 1 ? x

? x ?1 化简得 ? ?x ? 0 得 0 ? x ?1
当 0 ? a ? 1时

?x ?1 或? ? x ? 0 …………7 分

log a
得?

1? x 1? x ? log a 1 即 0 ? ?1 1? x 1? x

? -1 ? x ? 1 ? x ? 0或x ? 1
得 ?1 ? x ? 0 …………9 分

综上, a ? 1时 x 0 ? x ? 1?

?

0 ? a ? 1时 ? x ?1 ? x ? 0?

…………10 分


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