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空间解析几何基础知识


一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴

z 即以右手握住 轴, 当右手的四个手指
x 轴以 ? 角 从正向 2
度转向正向 y 轴 时,大拇指的指向 就是z 轴的正向.

定点 o

?

y 纵轴

横轴 x
空间直角坐标系



z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

空间直角坐标系共有八个卦限

二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y2 , z 2 ) 为空间两点

M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ? .
2 2 2

空间两点间距离公式

一、向量的概念
向量:既有大小又有方向的量.

M2 ?

? 向量表示:a 或 M 1 M 2

?M1

? 向量的模: 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 | ? 零向量: 模长为0的向量. 0

以 M 1 为起点,M 2 为终点的有向线段.

单位向量:模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2

自由向量:不考虑起点位置的向量. 相等向量:大小相等且方向相同的向量.

? a

? b

负向量:大小相等但方向相反的向量.? a

?

? ?a

? a

向径: 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM

二、向量的加减法
? ? ? [1] 加法: a ? b ? c
(平行四边形法则)

? b

? c ? a

(平行四边形法则有时也称为三角形法则)

? ? ‖ 特殊地:若 a b 分为同向和反向 ? ? ? ? ? | c |?| a | ? | b | c ? b ? a ? b c ? ? a ? ? | c |? | a | ? | b |

向量的加法符合下列运算规律:

? ? ? ? (1)交换律: a ? b ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)结合律: a ? b ? c ? ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ). ? ? ? (3) a ? ( ? a ) ? 0. ? ? ? b a ? ? ? ? [2] 减法 a ? b ? a ? ( ? b ) ? ?b ? ?b c ? ? a?b ? ? ? ? b c ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ?a?b a?b a

三、向量与数的乘法
? ? ? ? 设? 是一个数,向量a 与 的乘积 a 规定为 ? ? ? ? ?a 与a 同向,| ?a |? ? | a | (1) ? ? 0, ? ? ( 2) ? ? 0, ?a ? 0 ? ? ? ? ( 3) ? ? 0, ?a 与a 反向,| ?a |?| ? | ? | a | ? a ? 1? 2a ? a 2

数与向量的乘积符合下列运算规律:

? ? ? (1)结合律:? ( ? a ) ? ? (? a ) ? (?? )a ? ? ? (2)分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b
两个向量的平行关系 ? ? ? 定理 设向量 a ? 0,那末向量 b 平行于 a 的充 ? ? 分必要条件是:存在唯 一的实数 ?,使 b ? ?a .

?0 ? 设a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量,

按照向量与数的乘积的规定,
? ? ?0 a ?| a | a
? a ?0 ? ?a . |a|

上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.

? ? ? ? a ? 0, b ? 0, ? ? 向量a 与向量b 的夹角 ? ? ? ? ? ? (a , b ) ? (b , a )

一、空间两向量的夹角的概念: ?

b

?

? a

( 0 ? ? ?? )

类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与 ? 之间任意取值.

空间一点在轴上的投影

?

A
u

A?

过点 A 作轴 u 的垂直 平面,交点 A? 即为点 A 在轴 u 上的投影.

空间一向量在轴上的投影
B A
A? B?

u

B 已知向量的起点A 和终点 在 轴 u 上的投影分别为 A?, B ? 那 么轴u 上的有向线段 A?B? 的 值,称为向量在轴u 上的投影.

向量 AB 在轴u 上的投影记为 Pr ju AB ? A?B?.

关于向量的投影定理(1)
向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦: Pr ju AB ?| AB | cos ?



A
A?

?

B
B??

Pr ju AB ? Pr ju? AB

B?

u? u

?| AB | cos ?

定理1的说明:
? (1) 0 ? ? ? , 投影为正; 2 ( 2)

? c
? b

?

? ( 3) ? ? , 2

2

? ? ? ? , 投影为负;

? a

u

投影为零;

(4) 相等向量在同一轴上投影相等;

关于向量的投影定理(2)
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. (可推广到有限多个) ? ? ? ? Pr j (a1 ? a2 ) ? Pr ja1 ? Pr ja2 .

A
A?

C

? a1

B
B?

? a2
C?

u

二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
? 设a 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
为终点的向量,

过 M 1 , M 2 各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段M 1 M 2 为对角线的 长方体.

? ? ? 以 i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量. ? ? ? ? z a ? a x i ? a y j ? az k
R

? k

? M2

M1

?
N

Q

向 量 在

轴 y 轴 上 上 ? o 的 的 i x a x ? x2 ? x1 投 投 影 a y ? y2 ? y1 a z ? z2 ? z1 影 ? ? ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k

P

x

? j

向 量 在 y 轴 上 的 投 影

向 量 在

z

按基本单位向量的坐标分解式:

? ? ? M 1 M 2 ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k ? ? ? 在三个坐标轴上的分向量: a x i , a y j , a z k ,
向量的坐标: a x , a y , a z ,

? 向量的坐标表达式: a ? {a x , a y , a z }
M 1 M 2 ? { x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 }
特殊地: OM ? { x , y , z }

向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

? ? a ? {a x , a y , a z }, b ? {bx , by , bz }, ? ? a ? b ? {a x ? bx , a y ? by , az ? bz } ? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ; ? ? a ? b ? {a x ? bx , a y ? by , az ? bz } ? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k ; ? ?a ? {?a x , ?a y , ?a z } ? ? ? ? ( ? a x )i ? ( ? a y ) j ? ( ? a z )k .

三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
? 非零向量 a 的方向角:? 、? 、?
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.

z
? M1 ? ? ?
? M2

0 ? ? ? ?,
0 ? ? ? ?, 0 ? ? ? ?.

o
x

y

z
R
M1

由图分析可知
?
? M2
Q

P

? ? ?

o
x

? a x ?| a | cos? ? a y ?| a | cos ? ? y a ?| a | cos ? z
2 2

方向余弦通常用来表示向量的方向.

向 量 的 方 向 余 弦

M1 M 2 ?

M1 P ? M1Q ? M1 R
2

? 2 2 2 | a |? a x ? a y ? a z 向量模长的坐标表示式

向量方向余弦的坐标表示式

当 a x ? a y ? a z ? 0 时,
2 2 2

cos ? ?
cos ? ?

ax a x ? a y ? az ay
2 2 2

,
,

a x ? a y ? az
2 2

2

cos ? ?

az a x ? a y ? az
2 2 2

.

方向余弦的特征

cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1
特殊地:单位向量的方向余弦为

? a 0 a ? ? ? {cos ? , cos ? , cos ? }. |a |

一、两向量的数量积

? ? ? ? 定义 向量a 与b 的数量积为a ? b ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? (其中? 为a 与b 的夹角)
数量积也称为“点积”、“内积”. 关于数量积的说明:

? ? ? 2 (1) a ? a ?| a | . ? ? ? ? ( 2) a ? b ? 0 ?? a?b .

数量积符合下列运算规律:

? ? ? ? (1)交换律:a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? ? (2)分配律: a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ; (
? ? ? ? ? ? (3)若 ? 为数: ( ?a ) ? b ? a ? ( ?b ) ? ? ( a ? b ), ? ? ? ? 若 ? 、?为数: ( ?a ) ? ( ?b ) ? ?? ( a ? b ).

? ? ? ? ? ? ? ? a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? by j ? bz k ? ? a ? b ? a x bx ? a y by ? az bz
a?b ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? ? cos ? ? ? ? , | a || b |
由此可知两向量垂直的充要条件为 两向量夹角余弦的坐标表示式? ?

数量积的坐标表达式

? ? a?b ?? a x bx ? a y b y ? a z bz ? 0

二、两向量的向量积 ?

? ? ? ? 定义 向量a 与b 的向量积为 c ? a ? b ? ? ? ? ? | c |?| a || b | sin? (其中? 为a 与b 的夹角) ? ? ? c 的方向既垂直于a ,又垂直于b ,指向符合
向量积也称为“叉积”、“外积”.

右手系.

关于向量积的说明:

? ? ? (?? ? 0 ? sin? ? 0) (1) a ? a ? 0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) a // b ?? a ? b ? 0. (a ? 0, b ? 0)

向量积符合下列运算规律:

? ? ? ? (1) a ? b ? ? b ? a . ? ? ? ? ? ? ? (2)分配律: (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . ? ? ? ? ? ? (3)若 ? 为数: (?a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ).

向量积还可用三阶行列式表示

? ? ? ? ? ? ? ? a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? by j ? bz k ? ? ? i j k ? ? a ? b ? a x a y az bx b y bz
由上式可推出

a x a y az ? ? a // b ?? ? ? bx b y bz

bx 、b y 、bz 不能同时为零,但允许两个为零,
a x a y az 例如, ? ? ? a x ? 0, a y ? 0 0 0 bz
补充 ? ? ? ? | a ? b | 表示以a 和b 为邻边
的平行四边形的面积.

? ? ? c ? a ?b
? b
? a

三、向量的混合积
? ? ? ? ? ? 定义 设已知三个向量a 、b 、c ,数量(a ? b ) ? c ??? 称为这三个向量的混合积,记为[ab c ] . ? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? a x i ? a y j ? az k , b ? bx i ? by j ? bz k , ? ? ? ? c ? c x i ? c y j ? cz k , a x a y az ??? ? ? ? [a b c ]? (a ? b ) ? c ? bx b y bz

c x c y cz
混合积的坐标表达式

关于混合积的说明:
(1)向量的混合积是一个数量.

? ? ? ??? (3)三向量a 、b 、c 共面 ?? [ab c ] ? 0.

??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 ) [a b c ] ? ( a ? b ) ? c ? ( b ? c ) ? a ? ( c ? a ) ? b .

一、曲面方程的概念
曲面方程的定义:
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) ? 0 有下述关系:

(1)曲面S 上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程;
那么,方程 F ( x , y , z ) ? 0 就叫做曲面S 的方程, 而曲面 S 就叫做方程的图形.

例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面方程.

? x ? x0 ?

2

? ? y ? y0 ? ? ? z ? z0 ? ? R2
2 2

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程. (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状. (讨论柱面、二次曲面)

二、旋转曲面
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴.
播放

yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) ? 0 绕 轴旋 z
转一周的旋转曲面方程.

f ?

?

x 2 ? y 2 , z ? 0,

?

同理: yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) ? 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为

f y, ?

?

x 2 ? z 2 ? 0.

?

L 例 5 直线L 绕另一条与 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 ?0 ? ? ? ?? 顶点,两直线的夹角? ? ? 叫圆锥面的半顶 2? ? z 角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为 轴,半顶 角为? 的圆锥面方程. z


yoz 面上直线方程为 z ? y cot ?
x

? ?
o

M 1 (0, y1 , z1 )
y

圆锥面方程

z ? ? x 2 ? y 2 cot ?
或 z 2 ? a 2 (x 2 ? y 2 ),

M ( x, y, z )

a ? cotα

例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求 生成的旋转曲面的方程.

x z (1)双曲线 2 ? 2 ? 1分别绕x 轴和z 轴; a c
x2 y2 ? z2 绕 x 轴旋转 2 ? ?1 2 a c x ?y z ? 2 ?1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2

2

2

旋 转 双 曲 面

? y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 (2)椭圆? a 绕y 轴和z 轴; c ?x ? 0 ? y2 x2 ? z2 绕 y 轴旋转 ? ?1 旋 2 2 转 a c
x ?y z ? 2 ?1 绕 z 轴旋转 2 a c ? y 2 ? 2 pz (3)抛物线? 绕z 轴; ?x ? 0
2 2 2

椭 球 面

x 2 ? y 2 ? 2 pz

旋转抛物面

三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ,动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:

播放

柱面举例
z
z

y ? 2x
2

平面
o

o

y

y

x

抛物柱面

x

y? x

从柱面方程看柱面的特征:
只含 x, y 而缺z 的方程 F ( x , y ) ? 0 ,在

z 空间直角坐标系中表示母线平行于 轴的柱
面,其准线为 xoy 面上曲线C . (其他类推)

实 例

y z ? 2 ? 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c x2 y2 ? 2 ? 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 2 抛物柱面 // y 轴 x ? 2 pz

2

2

一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

? F ( x, y, z ) ? 0 ? ?G ( x , y , z ) ? 0
空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足 方程,满足方程的点都在 曲线上,不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.

z

S1 S2
o
x
C

y

二、空间曲线的参数方程
? x ? x(t ) ? ? y ? y( t ) 空间曲线的参数方程 ? z ? z(t ) ?
当给定 t ? t1 时,就 得到曲线上的一个点

( x1 , y1 , z1 ),随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.

三、空间曲线在坐标面上的投影
? F ( x, y, z ) ? 0 设空间曲线的一般方程: ? ?G ( x , y , z ) ? 0
消去变量z后得: H ( x , y ) ? 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征: 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面.

空间曲线在xoy 面上的投影曲线

? H ( x, y) ? 0 ? ?z ? 0
类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影

yoz 面上的投影曲线,
? R( y , z ) ? 0 ? ?x ? 0

xoz面上的投影曲线,

?T ( x , z ) ? 0 ? ?y ? 0

一、平面的点法式方程 z
如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量.
x

? n
M

M0
o

y

法线向量的特征: 垂直于平面内的任一向量. 已知点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), ? 法向量 n ? { A, B, C }, 平面的点法式方程

? A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0

二、平面的一般方程
由平面的点法式方程

A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0 ? Ax ? By ? Cz ? ( Ax0 ? By0 ? Cz 0 ) ? 0
?D

Ax ? By ? Cz ? D ? 0 平面的一般方程
? 法向量 n ? { A, B, C }.

平面一般方程的几种特殊情况:
(1) D ? 0, 平面通过坐标原点;

? D ? 0, 平面通过 x 轴; ( 2) A ? 0, ? ? D ? 0, 平面平行于 x 轴;
类似地可讨论 B ? 0, C ? 0 情形.

( 3) A ? B ? 0, 平面平行于xoy 坐标面;
类似地可讨论 A ? C ? 0, B ? C ? 0 情形.

D D D 将A ? ? , B ? ? , C ? ? , a b c
代入所设方程得

x y z ? ? ? 1 平面的截距式方程 a b c

x 轴上截距

y 轴上截距

z 轴上截距

三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 (通常取锐角) 夹角.

? n2

? n1

? 1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0,
?2

?

? 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0, ? n1 ? { A1 , B1 , C1 }, ? ?1 n2 ? { A2 , B2 , C 2 },

按照两向量夹角余弦公式有

cos? ?

| A1 A2 ? B1 B2 ? C1C 2 | A1 ? B1 ? C1 ? A2 ? B2 ? C 2
2 2 2 2 2 2

两平面夹角余弦公式 两平面位置特征:

(1) ? 1? ? 2 ?? A1 A2 ? B1 B2 ? C1C 2 ? 0;

A1 B1 C1 ? ? . ( 2) ? 1 // ? 2 ?? A2 B2 C 2

例7

设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 ) 是平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0

外一点,求 P0 到平面的距离.

| Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D | ? d? . 2 2 2 A ? B ?C

? n
? P0

点到平面距离公式

P1 ?

N

一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.

? 1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0

z

?1

? A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 z ? D2 ? 0 空间直线的一般方程 x

?2

L

o

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义: 如果一非零向量平行于 一条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量.
M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
z

? s
? M0

L

?M
y

M ( x , y , z ),
x

o

? M ? L,

? M 0 M // s

? s ? {m , n, p},

M 0 M ? { x ? x 0 , y ? y0 , z ? z 0 }

? 直线方向向量 s ? {m , n, p}, 直线上一点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? ? 直线的对称式方程 m n p

x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 令 ? ? ?t m n p
? x ? x0 ? mt ? ? y ? y0 ? nt ? z ? z ? pt ? 0
直线的参数方程 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.

三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.(锐角)

x ? x1 y ? y1 z ? z1 直线 L1 : ? ? , m1 n1 p1 x ? x 2 y ? y2 z ? z 2 直线 L2 : ? ? , m2 n2 p2
cos( L^L ) ? ,
1 2

| m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 | m1 ? n1 ? p1 ? m2 ? n2 ? p2
2 2 2 2 2 2

两直线的夹角公式

两直线的位置关系:
(1) L1 ? L2 ?? m1 m 2 ? n1 n2 ? p1 p2 ? 0,

m1 n1 p1 ? ? , ( 2) L1 // L2 ?? m 2 n2 p2

四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角? 称为直线与平面的夹角. ? ? 0 ?? ? . 2

x ? x0 y ? y0 z ? z 0 L: ? ? , m n p ? : Ax ? By ? Cz ? D ? 0,
?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

? s ? {m , n, p}, ? n ? { A, B, C },

?^? ? ( s , n) ? ? ? 2

? ? sin ? ? cos? ? ? ? ? cos ? ? ? ? . 2 2

sin ? ?

| Am ? Bn ? Cp | A2 ? B 2 ? C 2 ? m 2 ? n 2 ? p 2
直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系:

A B C ? ? . (1) L? ? ?? m n p ( 2) L // ? ?? Am ? Bn ? Cp ? 0.

一、基本内容
二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面性状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后 加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.

(一)椭球面

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 2 a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线:
? 2 z2 ? x2 ? 2 ? 1 , ?a c ? ?y ? 0
? 2 ? x2 ? ?a ? ?z ? 0

y ?1 2 b ,

2

z

2 ? y2 ? 2 ? z2 ? 1 . ?b c ? ?x ? 0

o
x
y

椭球面的几种特殊情况:

x2 y2 z2 (1) a ? b, ? 2 ? 2 ? 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 ? 2 ? 1 绕 z 轴旋转而成. a c x2 ? y2 z2 ? 2 ?1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别: 与平面 z

? z1 ( | z1 |? c )的交线为圆.

? 2 a2 2 2 2 ? x ? y ? 2 (c ? z1 ) . 截面上圆的方程 ? c ?z ? z ? 1
( 2) a ? b ? c ,

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 球面 2 a a a

方程可写为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 .

(二)抛物面

x y ? ? z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
椭圆抛物面

2

2

特殊地:当 p ? q 时,方程变为

x y ? ?z 2p 2p

2

2

( p ? 0)

旋转抛物面

xoz 面上的抛物线 x 2 ? 2 pz 绕它的轴 (由 旋转而成的) 与平面 z ? z1 ( z1 ? 0) 的交线为圆.

? x ? y ? 2 pz1 ? ? z ? z1
2 2

当 z1 变动时,这种圆 的中心都在 z 轴上.

x y ? ? ? z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论:
设 p ? 0, q ? 0 图形如下:

2

2

z o x

y

(三)双曲面

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ? 1 单叶双曲面 2 a b c

与平面 z ? z1 的交线为椭圆.
2 ? x2 y2 z1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 当 z1 变动时,这种椭 b c ?a 圆的中心都在 z 轴上. ?z ? z ? 1 (2)用坐标面 xoz ( y ? 0)与曲面相截

截得中心在原点的双曲线.
? x2 z2 ? 2 ? 2 ?1 ?a c ? ?y ? 0

实轴与 x 轴相合, 虚轴与 z 轴相合.

x y z ? 2 ? 2 ? ?1 2 a b c

2

2

2

双叶双曲面

o x

y


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第六章 空间解析几何要求与练习(含答案) - 第六章 一、学习要求 要求与练习 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算(线性运算、...
2013空间解析几何A试题
西华大学课程考核试题卷 ( A 卷)试卷编号:( 20_13_ 至 20_14___ 学年 第___1_学期 ) 课程名称: 课程代码: 考试形式:姓名: 空间解析几何 6086189 闭...
2016空间解析几何教学大纲
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空间解析几何
空间解析几何 - 理论与实验课教案首页 第 13 次课 授课时间 2016 年 12 月 9 日第 1~2 节课 课程名称 专业层次 高等数学 药学四年制本科 年级教员 2016...
公共基础——数学第一章空间解析几何 学习笔记
公共基础——数学第一章空间解析几何 学习笔记 - 化工本科毕业,学渣一枚,想吃天鹅肉。 备考注册动力工程师,维持一年半的学渣爬坑记。 由于已经工作,每天3小时,时...
第8章 空间解析几何和向量代数课本基础知识_图文
第8章 空间解析几何和向量代数课本基础知识_理学_高等教育_教育专区。1、空间直角坐标系 2、方向角和方向余弦 3、投影的性质 ? ? (1) Pr ju a ? a cos ...
公共基础——数学第一章空间解析几何 每日心得_图文
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