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河北省衡水中学11-12学年高一上学期期中考试(数学)

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2011—2012 学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。

一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)

1. 若 f (x) ? ?x2 ? 2ax 与 g(x) ? a 在区间?1,2?上都是减函数,则 a 的取值范围是 ( )
x

A. (?1,0) ? (0,1) B. (?1,0) ? (0,1)

C.(0,1)

D. ?0,1?

2. 已知 a ? log 0.5 5 , b ? log 0.5 3 , c ? log 3 2 , d ? 20.3 ,则

()

A. a ? b ? c ? d B. b ? a ? c ? d C. a ? b ? d ? c D. c ? a ? b ? d

3.设函数 f (x) ? ?2x2 ? 3ax ? 2a(x, a ?R)的最大值为 m(a) ,当 m(a) 有最小值时 a 的值为

()

A. ? 4 3

B. ? 3 4

C. ? 8 9

D. ? 9 8

4. 已知集合 A ? {x | x 2 ? 5 x ?1 ? 0},B ? {y | y ? x 2 ? a, x ? R} ,若 A 2











B ? ? ,则a


()

A. (??,? 1] 2

B. (? 1 ,??) 2

C.[?4,? 1] 4

5. 己知 a>1,b<-1,则函数 y=loga(x+b)的图象不经过

D. (??,?2]

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.我市某旅行社组团参加衡水湖湿地一日游,预测每天游客人数在 40 至 100 人之间,游客人

数 x (人)与游客的消费总额 y (元)之间近似地满足关系: y ? ?x 2 ? 210 x ? 6400 .那么

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游客的人均消费额最高为(



元.

()

A.40

B.50

C.60

D.80

7. 若函数 f ? x? 的零点与 g ? x? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f (x) 可以

是( )

A. f (x) ? 3x ?1 B. f (x) ? x3 ?1

C. f ? x? ? ex ?1 D. f (x) ? ln( x ? 1)
2

8. 设 abc ? 0 , 二 次 函 数 f (x) ? ax2 ? bx ? c 的 图 像 可 能 是

()

A.

B.

C.

D.

9. 设 x , y 是关于t 的方程t 2 ? 2at ? a ? 6 ? 0 的两个实根,则 (x ?1)2 ? (y ?1)2 的最小值

是( )

A. ? 49

B.18

4

C.8

D. 0

10.定义一种运算:

g

?

h

?

?g(g ??h(g

? ?

h) h)

,已知函数

f

(x) ? 2x

?1 ,那么函数

y

?

f

(x ?1) 的











()

11.

函数

f

(

x)

?

??(2a ???a x

?

1)

x

?

7a

?

2( x (x

? 1) ? 1)

,在

(??,??)

上单调递减,则实数

a

的取值范围

是( )

A. (0,1)

B. (0, 1 ) 2

C.[3 , 1) 82

D. [3 ,1) 8

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12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (?x) ? ? f (x), f (x ? 4) ? f (x) 且 x ?(?1,0) 时 ,

f

(x)

?

2x

?

1 5

,则

f

(log 2

20)

?

A.1

B. 4

C. ?1

5

D. ? 4 5

()

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13. y ? log 0.5 (4 ? x) 的定义域为________________________.

14. 计算 lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 ? 9log3 2 ? log7 343 ?

.

15. 已知 f (x) ? x2011 ? ax3 ? b ? 6 , f (?3) ? 10 ,则 f (3) ? ______________. x

16.有下列四个命题:

①函数 f (x) ? a2 ? x2 (b ? a ? 0) 为奇函数; | x ? b | ?b

②函数 y ? 1 ? x 的值域为{y | 0 ? y ? 1};
③已知集合 A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a 的取值集合为{-1, 13}; ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射. 其中正确命题的序号为:___ _____. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置)

17.(本小题 10 分)已知函数 f (x) ? x2 ? 3x ?10 的两个零点为 x1, x2 (x1 ? x2 ) , 设 A ? {x | x ? x1,或x ? x2}, B ? {x | 2m ?1 ? x ? 3m ? 2} ,且 A ? B ? ? ,求实数 m 的
取值范围.

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18.(本小题 12 分)已知 f (x) ? ax2 ? 2 (a,b, c ? Z)是奇函数,又 f (1) ? 1, f (2) ? 4 ? 0 , bx ? c
求 a,b, c 的值。

19.(本小题 12 分)设函数 f (x) ?| x 2 ? 2x ? 3 | (1)求函数 f (x) 的零点; (2)在坐标系中画出函数 f (x) 的图象; (3)讨论方程| x2 ? 2x ? 3 |? k(k ? R) 解的情况.

y

6

5 4

3 2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x

20. (本小题 12 分)已知函数 f (x) ? log a (x 2 ? ax ? 3) (1)若函数 f (x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? (0,2) 时,函数 f (x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围。

21. (本小题 12 分)函数 f (x) 满足:①定义域是 (0, ??) ; ②当 x ?1时, f (x) ? 2 ; ③对任意 x, y ?(0, ??) ,总有 f (xy) ? f (x) ? f ( y) ? 2 (1)求出 f (1) 的值; (2)判断函数 f (x) 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;
(3)写出一个满足上述条件的具体函数。
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22. (本小题12分)已知函数 f (x ) ? 1 ? 1 , (x ? 0) x
(1)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) 时,求证: a ? b ? 2ab (2)是否存在实数 a,b (a ? b ) ,使得函数 y ? f (x ) 的定义域、值域都是[a,b ] ?若存在, 则求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由。

2011-2012 学年度第一学期期中考试高一数学答案

一、选择题 DACAD BADCB CC

二、填空题

13. ?3,4?

14. 13 2

三、解答题

15. -22

16. ①②

17. 解: A ? {x | x ? ?2,或x ? 5}……………………………………………………………2 分

①当 B ? ? 时, 2m ?1 ? 3m ? 2 解得 m ? ?3 …………………………………………5 分

?2m ?1 ? 3m ? 2

②当 B ? ? 时,因为 A ? B ? ? ,所以 ??2m ?1 ? ?2 ??3m ? 2 ? 5

解得 ? 1 ? m ? 1。 2

……9 分

综上实数 m 的取值范围为 ? 1 ? m ? 1或 m ? ?3。 ……………………………………10 分 2

18. 解:∵ f (x) 为奇函数,∴ f (?x) ? ? f (x) ,

? ax2 ? 2 ? ax2 ? 2 ? ?bx ? c ? ?bx ? c ? c ? 0, ? bx ? c ? bx ? c

? f (x) ? ax2 ? 2 ,? f (1) ? a ? 2 ? 1 ? a ? b ? 2.

bx

b

……………………………3 分 ……………………………5 分

f (x) ? (b ? 2)x2 ? 2 , bx

……………………………6 分

? f (2) ? 4 ? 0,? 4(b ? 2) ? 2 ? 4 ? 0 ? 2b ? 3 ? 4 ? 0 ? ? 3 ? b ? 0, …………10 分

2b

b

2

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∵ a,b, c ? Z ,∴ b ? ?1, ∴ a ? ?3 , 综上, a ? ?3,b ? ?1, c ? 0 . ………………………………………………………………12 分 19. 解:(1)令| x2 ? 2x ? 3 |? 0 解得 x ? ?1或3,所以函数 f (x) 的零点为 ?1,3 ……4 分
(2)

……………………………8 分

(3)结合图像可知:

当 k ? 0时,方程 | x2 ? 2x ? 3 |? k 无解;

…………………………9



当 k ? 0 或 k ? 4 时,方程 | x2 ? 2x ? 3 |? k 有两个交点;

…………………………10



当 k ? 4 时,方程| x2 ? 2x ? 3 |? k 有三个交点;

………………………11



当 0 ? k ? 4 时,方程| x2 ? 2x ? 3 |? k 有四个交点。

………………………12



20. 解:(1)令 g(x) ? x 2 ? ax ? 3,由题设知 g(x) ? x 2 ? ax ? 3需取遍 (0,??) 内任意值,

所以 ? ? a2 ?12 ? 0 解得 a ? ?2 3或a ? 2 3 ……………………………………………6



(2) g(x) ? x2 ? ax ? 3 ? 0 对一切 x ? (0,2) 恒成立且 a ? 0, a ? 1

即 a ? x ? 3 对一切 x ? (0,2) 恒成立 x


……………………………………………8

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令 h(x) ? x ? 3 , x ? (0,2) ,当 x ? 3 时, h(x) 取得最小值为 2 3 , x

所以 a ? 2 3

……………………………………………………12



21. 解:(1)令 x ?1 ,有 f (1? y) ? f (1) ? f (y) ? 2,? f (1) ? 2 ………………………4



(2) f (x) 在 (0, ??) 单调递减

事实上,设 x1, x2 ? (0, ??) ,且 x1

?

x2

,则

x1 x2

? 1,

f

( x1 ) x2

?

2

?

f

( x1 )

?

f

( x2

?

x1 ) x2

?

f

(x2 ) ?

f

( x1 ) ? 2 x2

?

f

(x2 )



? f (x) 在 (0, ??) 上单调递减

……………………………10



(3) f (x) ? 2 ? loga x ,其中 a 可以取 (0,1) 内的任意一个实数

……………12



22.

解:(1)? x

? 0,? f

(x

)

?

???1

?

1 x

(x

? ?

1

?? x

? 1(0

? 1) ?x ?

1)



所以 f (x ) 在(0,1)内递减,在(1,+ ? )内递增。

由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) ? 0 ? a ? 1 ? b ,? 1 ?1 ? 1? 1 即 1 ? 1 ? 2 。

a

b ab

?2ab ? a ? b

…………………………4分

(2)不存在满足条件的实数 a,b 。

?f

(x

)

?

???1

?

1 x

(x

? 1)

? ?

1

?? x

?1(0 ? x

? 1)

①当 a、b ? (0,1) 时, f (x ) ? 1 ?1在(0,1)内递减, x

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?

?f ??f

(a) ? b (b ) ? a

?

?1

??a

? ?

1

??b

?1 ? b ?1? a

?a

?b

,所以不存在。

…………………………7分

②当 a、b ? (1,??) 时, f (x ) ? 1? 1 在(1,+ ? )内递增, x

?

?f ??f

(a) ? a (b ) ? b

? a,b

是方程 x

2

?x

?1?

0 的根。

而方程 x 2 ? x ?1 ? 0 无实根。所以不存在。

…………………………10分

③当 a ? (0,1),b ? (1,??) 时, f (x ) 在(a,1)内递减,在(1,b)内递增,所以 f (1) ? a ? a ? 0 ,

由题意知 a ? 0,所以不存在。

…………………………12分

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