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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.3.2两点间的距离公式_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
直线与方程

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.2 两点间的距离公式

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.掌握平面内两点间的距离公式及应用. ? 2.了解坐标法的解题步骤.

? ●温故知新 ? 旧知再现 ? 1.在平面直角坐标系中,易知x轴上的两点 | x1 -x2 | A(x1,0)、B(x2,0)间的距离为 |AB|=__________ ; |y -y 2|(0,y )间的距离为 在y轴上两点C(0,y1 )1、 D 2 平行 |CD|=__________. 相等 互相平分 ? 2.平行四边形的性质:平行四边形的对边 __________且________,对角线 __________. AB2+BC2 ? 3.勾股定理: ? 在直角三角形ABC中,若∠B为直角,则AC2=

? 4.直线l1:2x+3y+4=0与l2:4x+6y+8=0 的位置关系是( ) ? A.重合 B.平行 ? C.垂直 D.相交但不垂直 ? [答案] A

5.直线 y=2x+10,y=x+1,y=ax-2 交于一点,则 a 的值是( A.1 2 C.3 ) 2 B.-3 D.-1

? [答案] C ? 6.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点, xy - 2y0 + 11=0 且平行于直线x-2 = 的直线方程是 ______________.

? 新知导学 ? 1.两点间的距离公式 ? (1) P ( x 2 2 ,y ),P (x ,y )间的距离公 1 1 2 2 2 ?x公式:点 - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 1

式|P1P2|=________________________.
? (2)文字叙述:平面内两点的距离等于这两点 的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术 平方根. ? [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数 轴上两点间距离公式的推广.

? 2.坐标法 代数 ? (1)定义:通过建立平面直角坐标系,用 _______方法解决几何问题的方法称为坐标 坐标系 法. 代数运算 翻译 ? (2)步骤:①建立__________,用坐标表示有 关的量:②进行有关__________;③把代数 运算结果“_______”成几何关系.

? ●自我检测 ? 1.已知点P1(5,1),P2(2,-2),则|P1P2|= ________.
[答案] 3 2
[解析] |P1P2|= ?5-2?2+?1+2?2=3 2.

? 2.用坐标法证明:矩形的对角线相等. ? [证明] 如图所示,以矩形ABCD的顶点A为原 点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系.
设|AB|=m,|AD|=n, 则 A(0,0),B(m,0),C(m,n),D(0,n). ∴|AC|= m2+n2, |BD|= ?0-m?2+?n-0?2= m2+n2. ∴|AC|=|BD|,即矩形的对角线相等.

互动课堂

●典例探究
求平面上两点间距离

已知 A(a,3)和 B(3,3a+3)的距离为 5, 求 a 的值.

? [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的 值. 2 2
[解析] ∵|AB|= ?a-3? +?3-3a-3? =5, 8 即 5a -3a-8=0,∴a=-1 或 a=5.
2

规律总结: 两点间的距离公式与两点的先后顺序无关, 也就是说公式既可以写成|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2,也可以 写成|P1P2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2,利用此公式可以将有关的几 何问题转化为代数问题进行研究. 在直角坐标系中,我们求线段的长度时,常常使用两点间 的距离公式.

? 已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等 于10,则点P的坐标为________. ? [答案] (-5,0)或(11,0) ? [分析] 设出点P的坐标,根据两点间距离公 式,列方程求解.

[解析] 设点 P 的坐标为(x,0),由|PA|=10 得 ?x-3?2+?0-6?2=10, 解得 x=11 或 x=-5. ∴点 P 的坐标为(-5,0)或(11,0).

两点间距离公式的应用
已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(1,-1),B(- 1,3),C(3,0). (1)判定△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积.

? [分析] 可按照以下流程进行思考:

? [解析] (1)如图,△ABC可能为直角三角形, 下面进行验证

法一:∵|AB|= ?-1-1?2+[3-?-1?]2= 20=2 5, |AC|= ?3-1?2+[0-?-1?]2= 5, |BC|= [3-?-1?]2+?0-3?2= 25=5, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2, 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.

3-?-1? 0-?-1? 1 法二:∵kAB= =-2,kAC= =2, -1-1 3-1 ∴kAB· kAC=-1, ∴AB⊥AC, ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形. (2)∵∠A=90° , 1 ∴S△ABC=2|AB|· |AC|=5.

? 规律总结:三角形形状的判定策略 ? (1)判断三角形的形状,要采用数形结合的方 法,大致明确三角形的形状,以确定证明的 方向. ? (2)在分析三角形的形状时,要从两个方面来 考虑,一是考虑角的特征;二是考虑三角形 边的长度特征.

? 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)求证:△ABC为 等腰三角形.
[解析] ∵|AB|= ?4-2?2+?3-1?2=2 2, |AC|= ?0-2?2+?5-1?2=2 5, |BC|= ?5-3?2+?0-4?2=2 5, ∴|AC|=|BC|. 又∵A、B、C 三点不共线,∴△ABC 为等腰三角形.

坐标法的应用

△ABC 中,D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B,C 不重合), 且|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|.求证: △ABC 为等腰三角形.
根据已知中所 建立适当 设出各点 → → 给的边与边之 的坐标系 的坐标 间的关系

[分析]

确定各点的坐标 作出 → → 标间的关系 判断

[解析]

作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC

所在的直线为 x 轴,OA 所在的直线为 y 轴, 建立如右图所示的平面直角坐标系. 设 A(0,h),B(b,0),C(c,0),D(d,0).已 知|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|,则由两点间距离公 式得 b2+h2=d2+h2+(d-b)(c-d),化简,得-(d-b)(b+d)= (d-b)(c-d). 因为点 D与点B, C不重合,所以 d - b≠0,故-b - d =c -

d,即-b=c.

所以 |OB| = |OC| ,于是 |AB| = |AC| ,即△ ABC 为等腰三角
形.

? 规律总结:建立直角坐标系的原则: ? (1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原 点建立直角坐标系; ? (2)若已知两定点,常以两点的中点(或一个定 点)为原点,两定点所在的直线为x轴建立直 角坐标系; ? (3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为 坐标轴建立直角坐标系;

? (4)若已知一定点和一定直线,常以定点到定 直线的垂线段的中点为原点,以定点到定直 线垂线段的反向延长线为x轴建立直角坐标系; ? (5)若已知定角,常以定角的顶点为原点,定 角的角平分线为x轴建立直角坐标系.

? 正方形ABCD的边长为6,若E是BC的中点,F 是CD的中点,试建立坐标系,求证:BF⊥AE.
[解析] 建立平面直角坐标系,如右图所示,则 B(6,0), E(6,3),F(3,6),A(0,0). 6-0 3 1 ∴kAE=6=2,kBF= =-2. 3-6 1 ∴kAEkBF=2×(-2)=-1,即 BF⊥AE.

随堂测评

1.已知 M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于( A.5 C. 13 B. 37 D.4

)

? [答案] A
[解析] |MN|= ?2+1?2+?1-5?2=5.

? 2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=,则 实数k等于( ) ? A.±3 B.3 ? C.-3 D.0 ? [答案] A
[解析] 由题意得 ?2k-k?2+?-1-1?2= 13, 解得 k=± 3.

3.已知△ABC 的顶点 A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC 的周长是( A.2 3 C.6+3 2 ) B.3+2 3 D.6+ 10

? [答案] C

4.若 x 轴上的点 M 到原点的距离与到点 N(5,-3)的距离 相等,则 M 点的坐标是( A.(-2,0) 3 C.(2,0) ) B.(1,0) D.(3.4,0)

? [答案] D

? 5.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),若 |AB|取得最小值,则实数a的值是________.
[答案] 1 2

[解析] 由题意得|AB|= ?5-a-1?2+?2a-1-a+4?2 = 2a -2a+25= 取得最小值.
2

1 2 49 1 2?a-2? + 2 ,所以当 a=2时,|AB|

? 6.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第 三边且等于第三边的一半. ? [分析] 以第三边所在直线为x轴,并以其中 点为原点建立坐标系,利用斜率相等证明平 行,利用两点间距离公式证明长度关系.

? [证明] 如图所示,E,F分别 是△ABC的边AB和AC的中点. ? 以线段BC的中点为原点,直 线BC为x轴,建立如图所示的 直角坐标系. aB - c b ? 设A(a,b),C(c,0),则 (- 则 AB 的中点 E 的坐标是( 2 ,2),AC 的中点 F 的坐标 c,0).
a+c b 是( 2 ,2).

所以|EF|= |BC|=2|c|.

a-c a+c 2 b b 2 ? 2 - 2 ? +?2-2? =|c|;

1 ∴|EF|=2|BC|. 又 kEF=0,kBC=0, ∴EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半.

?

规律总结:解决本题的关键是建立适当 的坐标系,以及转化为代数问题,即转化为 距离大小和斜率相等问题.

课后强化作业
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