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四川省资阳市2012—2013学年度高中二年级第二学期期末质量检测理科数学试卷


四川省资阳市 2012—2013 学年度高中二年级第二学期期末质量检测

理 科 数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.满 分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 3. 本试卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目的要求的. 1. 复数 z ? 1 ? 2i 的虚部和模分别是 (A) -2, 5 (B) ? 2i ,5 (C)-2,5 (D)-2 i , 5

2. 命题“ ?x0 ? R,使得 x 2 ? x ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? R, x 2 ? x ? 0 (C) ?x0 ? R,使得 x 2 ? x ? 0 3. 已知 P(B | A) ? (A) (B) ?x ? R, x 2 ? x ? 0 (D) ?x0 ? R,使得 x 2 ? x ? 0 ) (D) )
1 15

1 2 , P( A) ? ,则 P( AB) 等于( 3 5

5 9 2 (B) (C) 6 10 15 a ? 1 ,条件 q : | a |? 1 ,则 p 是 q 的( 4. 已知条件 p :

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5. 函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) , 导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在 开区间 (a, b) 内有极值点( )
y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 4 个

6. 一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为来源:学科

](A)3× 3!

(B)(3!)4

(C)9!

(D)3× 4 (3!)

7. 如图,椭圆中心在坐标原点,点 F 为左焦点,点 B 为短轴的上顶点,
??? ??? ? ? 点 A 为长轴的右顶点.当 FB ? BA 时,椭圆被称为“黄金椭圆”,则“黄金椭圆”

的离心率 e 等于
(A) (C)

5 ?1 2 3 ?1 2

(B) (D)

5 ?1 4 3 ?1 4

8. 下列随机变量 ξ 服从二项分布的是 ①随机变量 ξ 表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是3的倍数的次数; ②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数 ξ; ③有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用有放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出 现次品的件数(M<N); ④有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用不放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出现次品的件数(M<N). (A)②③ (B)①④ (C)③④ (D)①③ 9. 如图,圆 O 的半径为定长 r , A 是圆 O 外一个定点, P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的 轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 10.设函数 y ? f ( x) ( x ∈R)的导函数为 f ?(x) , f ?( x) ? f ( x) , 且 则下列成立的 是
?2 (A) e f (2) ? ef (?1) ? f (0) ?2 (C) ef (?1) ? e f (2) ? f (0) ?2 (B) ef (?1) ? f (0) ? e f (2) ?2 (D) e f (2) ? f (0) ? ef (?1)

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理 科 数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 三 16 得分 17 18 19 20 21 题号 二 总分 总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接

填在题中横线上.

11. 计算

1? i 5 ?i = 1? i

. .

1 12. 抛物线 y ? ? x 2 的焦点坐标为 6

13. 如右图所示,机器人亮亮从 A 地移动到 B 地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从 A 移 动到 B 最近的走法共有_____种.

14. 由数字 0,1 ,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数 有 . 15. 下列是有关直线与圆锥曲线的命题:①过点(2,4)作直线与抛物线 y 2 ? 8 x 有且 只有一个公共点,这样的直线有 2 条;②过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交 于 A, B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线有且仅有两条;③过点(3,1)作直 线与双曲线

x2 y2 ? y 2 ? 1 有且只有一个公共点,这样的直线有 3 条;④过双曲线 x2 ? ?1的 4 2

右焦点作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有 3 条;⑤已知双曲 线 x2 ?

y2 ? 1 和点 A(1,1) ,过点 A 能作一条直线 l ,使它与双曲线交于 P, Q 两点,且点 A 恰 2

为线段 PQ 的中点. 其中说法正确的序号有 .(请写出所有正确的序号)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 12 分)

写出命题“若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ”的否命题、逆命题、逆否命题、命题的否定,并判 断真假.

17.(本小题满分 12 分)

在 ( x+

1 8 (Ⅰ)展开式中的二项式系数之和及各项系数的和; ) 展开式中,求: 2x

(Ⅱ)展开式中含 x 的一次幂的项.

18.(本小题满分 12 分)

某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2 件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.用 ξ 表示抽检的 6件产品中二等品的件数. (Ⅰ)求在抽检的 6件产品中恰有一件二等品的概率; (Ⅱ)求 ξ 的分布 列和数学期望值; (Ⅲ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品 被用户拒绝的概率.

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (Ⅰ)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 处均取得极值 3

(Ⅱ)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分)

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知 O 为坐标原点,椭圆的 a 2 b2 ?? ? ?? x y ? 3 x y 离心率 e ? ,短轴长为 2,且 m ? ( 1 , 1 ), n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 . 2 b a b a (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? aex 和 g ( x) ? ln x ? ln a 的图象与坐标轴的交点分别是点 A, B ,且以 点 A, B 为切点的切线互相平行. (Ⅰ)求实数 a 的值; 1 (Ⅱ)若函数 F ( x) ? g ( x) ? ,求函数 F ( x) 的极值; x (Ⅲ) 对于函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 公共定义域中的任意实数 x0 , 我们把 | f ( x0 ) ? g ( x0 ) | 的值称为两函数在 x0 处的偏差,求证:函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏 差都大于 2.

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理科数学试题参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目的要求的.
1-5. ABCBC;6-10. BADCD. 二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题中横线上. 11.1; 12. (0, ? ) ; 13.80; 14. 60;

3 2

15. ①②④.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 12 分)

解析:否命题: 若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ,真命题; ··············3分 ··········· ··· ·········· ··· 逆命题: 若 a ? 2 ? b ? 2 ,则 a ? b ,真命题; ··················6 分 ··········· ······· ·········· ······· 逆否命题: 若 a ? 2 ? b ? 2 ,则 a ? b ,真命题; ··················9 分 ··········· ······· ·········· ······· 命题的否定:若 a ? b ,则 a ? 2 ? b ? 2 ,假命题. ·················· 分 ················· 12 ·········· ·······
17.(本小题满分 12 分)

解析: (Ⅰ)在展开式中的二项式系数之和为 C80 ? C81 ? ? ? C88 ? 28 ? 256 ····3 分 ···· ···
1 3 在展开式中,令 x =1得,各项系数的和为 (1 ? )8 ? ( )8 . ············6 分 ··········· · ·········· · 2 2

(Ⅱ)设在( x+

1 8 ) 展开式中的通项为 Tr ?1 , 2x

1 8?3r 则 Tr ?1 ? C8r ( ) r x 2 (r ? 0,1, 2,? ,8) ,························ 8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 2

由题意得:

8 ? 3r ·························· 10 ·········· ··········· ····· ? 1 ,∴ r ? 2 ··························· 分 2

1 ∴ T3 ? C82 ( )2 x ? 7 x . ······························· 12 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 2
18.(本小题满分 12 分)

解析: (Ⅰ) 在抽检的 6件产品中恰有一件二等品的概率为 P(? ? 1) ?

2 2 C1 C3 C4 C1 C1 12 4 ? 2+ 2 ? 322 ? 2 C5 C5 C5 C5 25

···················································· 3分 ···················································· ···················································· (Ⅱ)ξ 可能的取值为0,1,2,3. ······························· ······························ 4分 ······························

P(? ? 0) ?

2 C2 C3 18 9 4 ? 2 ? ? ; 2 C5 C5 100 50

P(? ? 1) ?

2 2 C1 C3 C4 C1 C1 12 C1 C1 C1 C2 C2 15 3 4 4 2 ? 2 + 2 ? 3 2 2 ? ; P(? ? 2) ? 4 ? 3 2 2 + 2 ? 2 ? ? ; 2 2 C5 C5 C5 C5 25 C5 C5 C5 C5 50 10

P(? ? 3) ?

C1 C2 1 4 ? 2 ? .···································7分 ··································· ··································· 2 2 C5 C5 25

ξ 的分布列为 ξ P 0[来 1 2 3

9 50

12 25

3 [来 10

1 25

·················································· ················································· 8分 ·················································

E(? ) ? 0 ?

9 12 3 1 6 ························· ························· ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ························· 9分 50 25 10 25 5 15 1 17 ············ 12分 ············ + ? . ············· 50 25 50

(Ⅲ)所求的概率为 P(? ? 2) ? P(? ? 2)+P(? ? 3) ? 19.(本小题满分 12 分)

解析:(Ⅰ) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 9 3 2 1 经检验知,当 a ? ? , b ? ?2 时,满足题意. ························ ······················· 4分 ······················· 2
由 f (? ) ?
'

2 3

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

2 (??, ? ) 3

?

2 3

2 ( ? ,1) 3

1

(1, ??)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ??, ? ) , (1, ??) ,递减区间是 ( ?

2 3

2 ,1) ········· ········ 8分 ········ 3

3 (Ⅱ) f ( x) ? x ?

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? ?c 2 3 3 27

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,
则只需要

c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1或c ? 2 .

∴ c 的取值范围是 (??, ?1) ? (2, ??) ························· 分 ························ 12 ·········· ··········· ···
20.(本小题满分 13 分)

解析: (Ⅰ) 2b ? 2 ? b ? 1, e ? 所以椭圆的方程为

c a 2 ? b2 3 ? ? ? a ? 2, c ? 3 a a 2

y2 ··········· ·········· ······· 5 ·········· ··········· ······· ? x 2 ? 1 ··········· ··········· ······· 分 4 (Ⅱ)是,证明如下: ①当直线 AB 的斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2
?? ? y2 当 m ? n ? 0 ,得 x12 ? 1 ? 0 ? y12 ? 4 x12 4 4 x2 2 ,| y1 |? 2 又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 x12 ? 1 ? 1 ?| x1 |? 4 2 1 1 所以 S ? | x1 || y1 ? y2 |? | x1 | 2 | y1 |? 1 ························7 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 2 2 ②当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kmx ? m 2 ? 4 ? 0 ?y 2 ? ? x ?1 ?4

?2km m2 ? 4 ··········· ··········· ····· 分 ··········· ·········· ····· 9 ·········· ··········· ····· , x1 x2 ? 2 k2 ? 4 k ?4 (kx1 ? m)(kx2 ? m) yy x1 x2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x2 ? ? 0 代入整理, 4 4 得 2m2 ? k 2 ? 4 , ··································· 分 ·································· 10 ·········· ··········· ··········· ·· 1 |m| 1 S? | AB |? | m | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 2 1? k 2
得到 x1 ? x2 ?
| m | 4k 2 ? 4m2 ? 16 4m 2 ·························· 12 ·········· ··········· ····· ? ? 1 ··········· ··········· ····· 分 2 k ?4 2| m| 综上所述,所以三角形的面积为定值 ························ 分 ······················· 13 ·········· ··········· ·· 21.(本小题满分 14 分) 1 解析: (Ⅰ) f '( x) ? ae x , g '( x) ? , x 函数 y ? f ( x) 的图象与坐标轴的交点为(0, a), 函数 y ? g ( x) 的图象与坐标轴的交点为(a,0) , 1 由题意得 f '(0) ? g '(a),即a ? , 又? a ? 0, ? a ? 1 ················· 4 分 ··········· ······ ·········· ······· a 1 1 1 x ?1 (Ⅱ)∵ F ( x) ? g ( x) ? ,∴ F '( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x ∴函数 F ( x) 的递减区间是 (0,1) ,递增区间是 (1, ??) , 所以函数 F ( x) 极小值是 F (1) ? 1 ,函数 F ( x) 无极大值 ················ 分 ··········· ···· 8 ·········· ·····

(Ⅲ)解:函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的偏差为 F ( x) ?| f ( x) ? g ( x) |? ex ? ln x , x ? (0,?? ), 1 ? F '( x) ? ex ? x 1 1 设 x ? t 为 F'(x) ? ex ? ? 0 的解,即 ? et x t 则当 x ? (0, t ) 时, F '( x) ? 0 ,当 x ? (t, ? ?) 时, F '( x) ? 0, ? F ( x) 在(0,t)内单调递减,在 (t , ??) 上单调递增, 1 1 ··········· ·········· ·········· ·········· ? F ( x)min ? F (t ) ? et ? ln t ? et ? ln t ? ? t ·····················10 分 e t 1 1 ? F '(1) ? e ? 1 ? 0, F '( ) ? e ? 2 ? 0,? ? t ? 1 , 2 2 1 故 F ( x)min ? ? t ? 2 , t 即函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2 ········14 分 ········ ·······


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