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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.3.1两条直线的交点坐标_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
直线与方程

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.了解两条直线的交点坐标是它们的方程组 成的方程组的解. ? 2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置 关系.

? ●温故知新 ? 旧知再现 加减消元法 ? 1.二元一次方程组的解法:代入消元法、 平行、重合、相交 ___________. ? 2.平面上两条直线的位置关系: A1A2+B1B2 __________________. A1B2-A2B1 ? 3.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+ B2y+C2=0,l1⊥l2的条件为_____________= 0,l1与l2平行或重合的条件为_____________ =0,l1与l2相交的条件为A1B2-A2B1≠0.

? 新知导学 ? 两条直线的交点坐标 ? (1)求法:两直线方程联立组成方程组,此方 程组的解就是这两条直线的交点坐标,因此 交点个数 解方程组即可. ? (2)应用:可以利用两直线的__________判断 一般地,将直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和直线 l2:A2x+B2y 两直线的位置关系.
+C2=0 的方程联立,得方程组
? ?A1x+B1y+C1=0, ? ? ?A2x+B2y+C2=0.

有唯一 ? 当方程组__________ 解时,l1和l2相交,方程 组的解就是交点坐标; 无 ? 当方程组_______ 解时,l1与l2平行; ? 当方程组有无数组 __________解时,l1与l2重合. ? [破疑点] 若两直线方程组成的方程组有解, 则这两条直线不一定相交,还可能有重合.

? [知识拓展] 直线系方程
? 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直 线系,表示直线系的方程叫做直线系方 程.它的方程的特点是除含坐标变量x,y以 外,还含有特定系数(也称参变量). ? (1)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y +C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系 方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0, 其中λ是待定系数.在这个方程中,无论λ取 什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此 它不能表示直线l2.

? (2)平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平 行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C),λ是参 变量. ? (3)垂直直线系方程:与Ax+By+C=0(A≠0, B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0. ? (4)特殊平行线与过定点(x0,y0)的直线系方程: 当斜率k一定而m变动时,y=kx+m表示斜率 为k的平行直线系,y-y0=k(x-x0)表示过定 点(x0,y0)的直线系(不含直线x=x0).
? 在求直线方程时,可利用上述直线系设出方 程,再利用已知条件求出待定系数,从而求 出方程.

? ? ? ? ?

●自我检测 1.直线x=1与直线y=2的交点坐标是( A.(1,2) B.(2,1) C.(1,1) D.(2,2) [答案] A

)

? 2.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11 =0的交点坐标为( ) ? A.(3,2) B.(2,3) ? C.(-2,-3) D.(-3,-2) ? [答案] B
[解析]
? ?2x-y-1=0, 解方程组? ? ?x+3y-11=0. ? ?x=2, 得? ? ?y=3.

故选 B.

3.直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0, 当 l1 与 ( ) A.0 C.2 B.1 D.无数个
? ?A1x+B1y+C1=0, l2 平行时,方程组 ? ? ?A2x+B2y+C2=0

解的个数是

? [答案] A

互动课堂

●典例探究
两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系, 若相交, 求出交 点坐标: (1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0; (2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0; (3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.

? [分析] 题中给出了两条直线的方程,要判断 它们的位置关系,只需看它们组成的方程组 的解的个数.

[解析]

? ?2x+y+3=0 (1)解方程组? ? ?x-2y-1=0

? ?x=-1 ,得? ? ?y=-1

,所以直

线 l1 与 l2 相交,交点坐标为(-1,-1).
? ?x+y+2=0 ① (2)解方程组? ? ?2x+2y+3=0 ②

,①×2-②得 1=0,矛

盾,方程组无解. 所以直线 l1 与 l2 无公共点,即 l1∥l2.

? ?x-y+1=0 ① (3)解方程组? ? ?2x-2y+2=0 ②

, ①×2 得 2x-2y+2=0,

因此, ①和②可以化为同一个方程, 即①和②表示同一条直线. 所以两直线重合.

?

规律总结:1.方程组的解的组数与两条 直线的位置关系

? 2.两条直线相交的判定方法: ? (1)两直线方程组成的方程组只有一组解,则 两直线相交; ? (2)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不 相等,则两直线相交. ? 特别提醒:若两直线的斜率一个不存在,另 一个存在,则两直线一定相交.

? (1)已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0,直线l2 的方程为2x-3y+4=0,若l1,l2的交点在y轴 上,则C的值为( ) ? A.4 B.-4 ? C.±4 D.与A有关 ? (2)已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a 3 的交点位于第四象限,则 a的取值范围是 [答案] (1)B (2)-2<a<2 ________.

[解析] (1)由题意, l2 与 y 轴的交点在 l1 上, 又 l2 与 y 轴的 4 4 交点为(0,3),所以 A×0+3×3+C=0,C=-4. ? ?x=2a+3 ? 7 ? ?5x+4y=2a+1, (2)解方程组? 得? ? ?2x+3y=a, ? a-2 y= 7 , ? ? ? ?2a+3>0, ? 7 四象限,所以? ?a-2 <0, ? ? 7

交点在第

3 解得-2<a<2.

直线恒过定点问题

求证:不论 m 为何实数,直线(m-1)x+(2m- 1)y=m-5 恒过一个定点.

? [分析] 既然m不论取何值,直线恒过定点, 可以任取m的两个不同值,得到两条直线都 过定点,再利用两直线交点求出定点,最后 证明直线恒过该点.

[证明] 证法一:取 m=1,得直线 y=-4. 1 取 m=2,得直线 x=9. 故两直线的交点为(9,-4),下面验证直线 (m-1)x+(2m -1)y=m-5 恒过点(9,-4). 将 x=9,y=-4 代入方程, 左边=(m-1)· 9-4· (2m-1)=m-5=右边, ∴直线恒过点(9,-4).

证法二:直线方程可变形为 (x+2y-1)m-(x+y-5)=0. ∵对任意 m 该方程恒成立,
? ?x+2y-1=0, ∴? ? ?x+y-5=0 ? ?x=9, ?? ? ?y=-4.

故直线恒过定点(9,-4).

?

规律总结:解决含参数的直线恒过定点 问题,常用的方法有两种. ? (1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到 两个不同的直线方程,那么定点必在这两个 方程表示的直线上,解这两个方程组成的方 程组,即得定点坐标.

(2)分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项, 整理成等号左边为 0 的形式,然后令参数的系数和不含参数的 项分别为零,解得的此方程组的解即为已知含参直线恒过的定 点. 即将所给方程化成(A1x+B1y+C1)+m(A2x+B2y+C2)=0 的 形式,
? ?A1x+B1y+C1=0, 方程组? ? ?A2x+B2y+C2=0

的解即为定点坐标.

直线(2m-1)x-(m+2)y+m=-3(m∈R)恒过定点( 1 A.(2,2) 3 4 C.(5,5) B.(2,-1) 1 7 D.(5, 5)

)

? [答案] D

1 7 [解析] 方法 1:取 m=2得 y=5, 1 取 m=-2 得 x=5, 故选 D. 方法 2:直线方程变形为 m(2x-y+1)-x-2y+3=0,∵ ? 1 ? ?x=5 ?2x-y+1=0 对任意 m 恒成立得? 解得? ? ?x+2y-3=0 ?y=7 ? 5 故选 D.



用过两直线交点的直线系方程解题

已知直线 l1:x-2y+3=0,l2:2x+3y-8=0. 求经过 l1,l2 的交点且与已知直线 3x+4y-2=0 平行的直线 l 的方程.

? [分析] 可先求l1与l2的交点,再求过交点与 已知直线平行的直线,也可以先写出所求直 线的直线系方程,再利用平行条件确定参数 的值.

[解析] =2,

? ?x-2y+3=0, 解法一:解方程组:? ? ?2x+3y-8=0

得 x= 1 , y

∴l1 与 l2 的交点为(1,2), ∵直线 l 过点(1,2)且与直线 3x+4y-2=0 平行, ∴设方程为 3x+4y+c=0,把(1,2)代入得:c=-11, ∴所求方程为:3x+4y-11=0.

解法二:∵l 过 l1 与 l2 的交点, ∴设 l 的方程为 x-2y+3+λ(2x+3y-8)=0, 即(2λ+1)x+(3λ-2)y+(3-8λ)=0, ∵l 与直线 3x+4y-2=0 平行, ? ?-2λ+1=-3, 4 ? 3λ - 2 ∴? ?8λ-3 1 ≠2, ? 3 λ - 2 ?

∴λ=10,

∴l 的方程为 x-2y+3+10(2x+3y-8)=0, 即 3x+4y-11=0.

?

规律总结: (1)过两条直线l1:A1x+B1y +C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2 =0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m, n为参数,且m,n不同时为0). ? (2)上面的直线系方程可改写成(A1x+B1y+C1) +λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ为参数).这个参 数形式的方程在解题中较为常用. ? 求直线方程的问题时,如果知道所求直线过 已知两直线的交点,可利用此直线系方程求 解,这样可以避免求交点的繁杂计算.

? 求过两直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交 点且垂直于直线6x-7y-3=0的直线方程. ? [分析] 既可以用通过两直线交点的直线系求 解,也可以先解出两直线的交点,然后再求 解.

[解析] 解法一: 设过两直线交点的直线方程为 3x+4y-2 +λ(2x+y+2)=0. 整理为一般式, 得(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0, 其斜率为 3+2λ 6 6 - .而直线 6x-7y-3=0 的斜率为7,由垂直条件可得7 4+ λ 3+2λ ×(- )=-1,解得 λ=2. 4+λ 故所求直线方程为(3+2×2)x+(4+2)y-2+2×2=0,即 7x+6y+2=0.

? ?3x+4y-2=0, 解法二:将两直线方程联立得? ? ?2x+y+2=0, ? ?x=-2, ? ? ?y=2,

解得

即两直线的交点坐标为(-2,2).

由于所求直线与直线 6x-7y-3=0 垂直, 故设所求直线的 方程为 7x+6y+m=0.而此直线过点(-2,2),所以 7×(-2)+ 6×2+m=0,所以 m=2. 故所求的直线方程为 7x+6y+2=0.

?

规律总结:使用过两直线交点的直线系 方程避免了求两条直线的交点,但解题过程 不一定简捷.若使用与直线垂直的直线系方 程,要先求交点,求交点有时也不繁杂,适 当选择不同方法求解,有助于训练自己的解 题思路,使自己的思路更宽阔.

●误区警示 易错点 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误 若三条直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0, l3:x+y+a=0 共有三个不同的交点,则 a 的取值范围为( A.a≠± 1 C.a≠-2 B.a≠1 且 a≠-2 D.a≠± 1 且 a≠-2 )

? [错解] 选A或选B

? [错因分析] 在解题过程中,若由①处得a≠1 且a≠-2,错选B,原因在于考虑问题不全面, 只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两 条平行或重合的情况. ? 由②处得a≠±1,错选A,只考虑了三条直线 斜率不相等的条件,忽视三条直线相交于一 点的情况.

[解析] 求解.

因为三条直线有三个不同的交点,需三条直线两

两相交且不共点,由条件不易直接求参数,可考虑从反面着手

? ?x+ay+1=0, (1)若三条直线交于一点,由? ? ?x+y+a=0, ? ?x=-a-1, 解得? ? ?y=1,

将 l2, l3 的交点(-a-1,1)代入 l1 的方程

解得 a=1 或 a=-2.

? ? ? ? ? ? ?

(2)若l1∥l2,由a×a-1×1=0,解a=±1, 当a=1时,l1与l2重合. (3)若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,解得a=1, 当a=1,l2与l3重合. (4)若l1∥l3,则a×1-1×1=0得a=1, 当a=1时,l1与l3重合. 综上,当a=1时,三条直线重合;当a=-1 时,l1∥l2; ? 当a=-2时,三条直线交于一点, ? 所以要使三条直线共有三个交点,需a≠±1且 a≠-2.

? 若三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y -5=0共有三个不同的交点,则a的取值范围 为________. 1
[答案] a∈R 且 a≠3,a≠3,a≠-6

[ 解析 ]

? ?x+y+1=0, 解方程组 ? ? ?2x-y+8=0,

? ?x=-3, 得? ? ?y=2,

即两条 满 足

直 线 的 交 点 坐 标 为 ( - 3,2) , 故 实 数 ?a×?-3?+3×2-5≠0, ? ?-a≠-1, ? 3 ? a ?- ≠2 ? 3

a

1 ? ?a≠ , ,解得? 3 即实数 ? ?a≠3,a≠-6,

1 a 满足的条件为 a∈R 且 a≠3,a≠3,a≠-6.

随堂测评

1.下列直线中,与直线 x+3y-4=0 相交的直线为( A.x+3y=1 x y C.2+3=1 1 B.y=-3x-12 1 D.y=-3x+4

)

? [答案] C

2.直线 l1:3x+4y-5=0 与 l2:3x+5y-6=0 相交,则交 点是( ) 1 B.(3,1) 1 D.(-1,-3) 1 A.(-1,3) 1 C.(1,3)

? [答案] B

3.经过两点 A(-2,5),B(1,-4)的直线 l 与 x 轴的交点的 坐标是( ) B.(-3,0) D.(3,0) 1 A.(-3,0) 1 C.(3,0)

? [答案] A
[解析] 过点 A(-2,5)和 B(1,-4)的直线方程为 3x+y+1 1 =0,故它与 x 轴的交点的坐标为(-3,0).

? 4.已知直线l1:4x+3y=10,l2:2x-y=10, l3:ax+2y+8=0,则l1与l2的交点为________; 若l1,l2,l3三直线相交于同一点,则a= ________. ? [答案] (4,-2) -1 ? [解析] 联立l1与l2的方程,解方程组得交点 坐标;当交点也在l3上,即交点坐标也满足l3 的方程,可解得a的值.

? 5.不论λ取何值,直线(2+λ)x+(1-2λ)y+4 -3λ=0过定点________. ? [答案] (-1,-2)
[解析] 把直线方程整理为 2x+y+4+λ(x-2y-3)=0, 解
? ?2x+y+4=0 方程组? ? ?x-2y-3=0 ? ?x=-1 ,得? ? ?y=-2

,所以,不论 λ 取何值,直

线(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0 过定点(-1,-2).

? 6.求经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2 =0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l 的方程.
3 ? ? ?x=-5, ?2x-3y-3=0, [解析] 由方程组? 解得? ? ?x+y+2=0, ?y=-7. 5 ? ∵所求直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, 7 ∴直线 l 的斜率 k=-3,根据点斜式可得 y-(-5)=-3[x 3 -(-5)].即所求直线方程为 15x+5y+16=0.

课后强化作业
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