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【解析版】广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟考试数学(文)试题


2013 年广东省肇庆市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分) (2013?肇庆二模)若 a+bi=(1+i) (2﹣i) (i 是虚数单位,a,b 是实数) ,则 a+b 的值是( ) A.1 B .2 C.3 D.4 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵ a+bi=(1+i) (2﹣i)=3+i,∴ a=3,b=1. ∴ a+b=3+1=4. 故选 D. 点评: 熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键. 2. (5 分) (2013?肇庆二模)已知集合 M={x|0<x<3},N={x|x ﹣5x+4≤0},则 M∩ N=( ) A.{x|1≤x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|0<x<4} D.{x|0<x≤4} 考点: 交集及其运算. 分析: 通过解二次不等式求出集合 N,然后直接求出 M∩ N. 2 解答: 解:因为 N={x|x ﹣5x+4≤0}={x|1≤x≤4}, 所以 M∩ N={x|0<x<3}∩ {x|1≤x≤4}={x|1≤x<3}, 故选 A. 点评: 本题考查二次不等式的求解,集合的基本运算,考查计算能力,属于基础题.
2

3. (5 分) (2013?肇庆二模)在△ ABC 中,已知 A.2 B.﹣2 C.

,则向量 D.

=(



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 直接利用向量的数量积的定义即可求解 解答: 解: 故选 B 点评: 本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用,属于基础试题 4. (5 分) (2013?肇庆二模)下列函数为奇函数的是( ) A.y=|sinx| B.y=|x| C.y=x3+x﹣1

D.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义及性质逐项判断即可. 解答: 解:由|sin(﹣x)|=|sinx|,得 y=|sinx|为偶函数,排除 A; 由|﹣x|=|x|,得 y=|x|为偶函数,排除 B;

y=x +x﹣1 的定义域为 R,但其图象不过原点,故 y=x +x﹣1 不为奇函数,排除 C; 由 且 ln 得﹣1<x<1,所以函数 y=ln =ln =﹣ln 的定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称, 为奇函数,

3

3

,故 y=ln

故选 D. 点评: 本题考查函数奇偶性的判断,属基础题,定义是解决该类题目的基本方法.

5. (5 分) (2013?肇庆二模)已知实数 x,y 满足

,则 z=2x﹣3y 的最大值是(



A.﹣6

B.﹣1

C.6

D.4

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的四边形 ABCD 及其内部,再将目标函数 z=2x﹣3y 对 应的直线进行平移,可得当 x=0 且 y=﹣2 时,z=2x﹣3y 取得最大值 6. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的四边形 ABCD 及其内部, 其中 A(0,﹣2) ,B(0,2) ,C(1,1) ,D(1,﹣1) 设 z=F(x,y)=2x﹣3y,将直线 l:z=2x﹣3y 进行平移, 可得当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴ z 最大值=F(0,﹣2)=2×0﹣3×(﹣2)=6 故选:C 点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区 域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 6. (5 分) (2013?肇庆二模)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果 k 的值是( )

A.5

B .6

C.7

D.8

考点: 程序框图. 专题: 计算题;图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计 算累加并输出不满足条件 S<100 时的 k 值,模拟程序的运行结果,即可得到答案. 解答: 解:第一次进入循环后:S=1,k=1 1 第二次进入循环后:S=1+2 ,k=2 1 2 第三次进入循环后:S=1+2 +2 ,k=3 … 第七次进入循环后:S=1+2 +2 +2 +2 +2 +2 =
1 2 3 4 5 6

=127,k=7

由于 S=127,不满足条件 S<100,退出循环,输出 k=7. 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,其中利用模拟程序执行过程的方法,求解程序的运行结果是解答此 类问题常用的方法,是基础题. , (A>0,ω>0,x∈(﹣∞,+∞) ) ,的 ) C.﹣2

7. (5 分) (2013?肇庆二模)已知函数 最小正周期为 2,且 A. ,则函数 f(3)=( B.

D.2

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数的值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由周期公式可得 ω 的值,再由 可得 A,进而可得函数的解析式,把 x=3 代入由三角函 数的诱导公式计算可得答案. 解答: 解:由题意可得:函数的最小正周期 T= =2,解得 ω=π, 又 f(0)= = = ,可得 A= ,

故函数的解析式为: 故 f(3)= = = = =﹣

故选 A 点评: 本题考查三角函数解析式的求解,涉及诱导公式和函数的值的求解,属中档题. 8. (5 分) (2013?肇庆二模)设过点(0,b)且斜率为 1 的直线与圆 x +y ﹣2x=0 相切,则 b 的值为( A. B. C.﹣ D.
2 2



考点: 点到直线的距离公式;圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将圆化成标准方程得(x﹣1)2+y2=1,得到圆心为 C(1,0)且半径 r=1.将过点(0,b)且斜率为 1 的直线化成一般方程得 x﹣y+b=0,结合题意由点到直线的距离公式建立关于 b 的等式,解之即可 得到 b=﹣1 . 解答: 解:∵ 直线过点(0,b)且斜率为 1, ∴ 设直线为 l,得其方程为 y=x+b,即 x﹣y+b=0 ∵ 圆 x +y ﹣2x=0 化成标准方程,得(x﹣1) +y =1 2 2 ∴ 圆 x +y ﹣2x=0 的圆心为 C(1,0) ,半径 r=1 由直线 l 与圆相切,可得点 C 到直线 l 的距离等于半径, 即 故选:C =1,解之得 b=﹣1
2 2 2 2

点评: 本题给出斜率为 1 且过点(0,b)的直线与已知圆相切,求参数 b 的值,着重考查了直线的方程、 圆的方程与直线与圆的位置关系等知识,属于中档题. 9. (5 分) (2013?肇庆二模)对于平面 α 和直线 m,n,下列命题中假命题的个数是( ① 若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α; ② 若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n; ③ 若 m∥ α,n?α,则 m∥ n; ④ 若 m∥ n,n∥ α,则 m∥ α A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 )

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面垂直的性质与线面平行的判定,可得① 是假命题;以正方体的上底面为 α,可得下底面内的 直线 m、n 均与 α 平行,但不一定有 m∥ n,因此② 是假命题;根据线面平行的性质,并以正方体下底 面内的直线 m 与上底面 α 平行为例,举出反例可得③ 是假命题;根据线面平行的判定定理,可得④ 是 假命题. 解答: 解:对于① ,因为 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α 或 n?α, 不一定得到 n∥ α,故① 是假命题; 对于② ,设正方体的上底面为 α,则在下底面内任意取两条直线 m、n,

有 m∥ α 且 n∥ α,但不一定有 m∥ n 成立,故② 是假命题; 对于③ ,设正方体的上底面为 α,在下底面内任意取直线 m, 则 m∥ α,而直线 m 与 α 内的直线 n 可能平行,也可能是异面直线, 不一定有 m∥ n 成立,故③ 是假命题; 对于④ ,若 m∥ n,n∥ α,则 m∥ α 或 m?α, 不一定得到 m∥ α,故④ 是假命题 综上所述,可得假命题有① ② ③ ④ ,共 4 个 故选:D 点评: 本题给出空间线面平行的判定与性质的几个命题,叫我们找出其中的真命题.着重考查了线面平行 判定定理、性质定理,直线与平面垂直的性质和命题真假的判断等知识,属于基础题. 10. (5 分) (2013?肇庆二模)各项互不相等的有限正项数列{an},集合 A={a1,a2,…,an,},集合 B={(ai, aj)|ai∈A,aj∈A,ai﹣aj∈A,1≤i,j≤n},则集合 B 中的元素至多有( )个. ﹣ A. B.2n 1﹣1 C. D.n﹣1

考点: 集合中元素个数的最值. 分析: 根据各项互不相等的有限正项数列{an},不妨假设数列是单调递增的,进而分类讨论,利用数列的 求和公式,即可得到结论. 解答: 解:因为各项互不相等的有限正项数列{an},所以不妨假设数列是单调递增的 因为集合 A={a1,a2,…,an},集合 B={(ai,aj)|ai∈A,aj∈A,ai﹣aj∈A,1≤i,j≤n}, 所以 j=1,i 最多可取 2,3,…,n j=2,i 最多可取 3,…,n …, j=n﹣1,i 最多可取 n 所以集合 B 中的元素至多有 1+2+…+(n﹣1)= 故选 A. 点评: 本题主要考查集合与元素的关系,考查组合的有关知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 二、 填空题: 本大题共 5 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分.必做题 (11~13 题) 选做题 (14、 15 题) 11. (5 分) (2013?肇庆二模)函数 的定义域是 .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分子的对数式的真数大于 0,由分母的根式内部的代数式大于 0 联立不等式组求解. 解答: 解:由 .

所以原函数的定义域为( 故答案为( ) .

) .

点评: 本题考查了函数定义域及其求法,函数的定义域,就是使函数解析式有意义的自变量 x 的取值集合, 是基础题. 12. (5 分) (2013?肇庆二模)在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则 a35= 99 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可知,a15,a25,a35 成等差数列,结合已知可求 解答: 解:由等差数列的性质可知,a15,a25,a35 成等差数列 ∴ 2a25=a15+a35 ∵ a15=33,a25=66, ∴ a35=2×66﹣33=99. 故答案为:99 点评: 本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题 13. (5 分) (2013?肇庆二模)从某项综合能力测试中抽取 50 人的成绩,统计如表,则这 50 人成绩的平均 数等于 3 、方差为 分数 人数 5 10 . 4 5 3 15 2 15 1 5 .

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可. 解答: 解:这 50 人成绩的平均数 = =3, 方差 S = 故答案为:3, . 点评: 本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算,比较简单. 14. (5 分) (2013?肇庆二模) (坐标系与参数方程选做题) 若以直角坐标系的 x 轴的非负半轴为极轴,曲线 l1 的极坐标系方程为 0≤θ≤2π) ,直线 l2 的参数方程为 (ρ>0,
2



(t 为参数) ,则 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是 (1,2) .

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;两条直线的交点坐标;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,把参数方程化为普通方程,联立方程组求得 l1 与 l2 的交点 A 的直 角坐标. 解答: 解:把曲线 l1 的极坐标系方程为 (ρ>0,0≤θ≤2π) ,化简可得

,即 y=x+1.

由于直线 l2 的参数方程为

(t 为参数) ,消去参数化为普通方程为 x+y=3,

再由

,可得

,故 l1 与 l2 的交点 A 的直角坐标是(1,2) ,

故答案为 (1,2) . 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程,把参数方程化为普通方程的方法,求两条曲线的交 点坐标,属于基础题 15. (2013?肇庆二模) (几何证明选讲选做题) 如图,在 Rt△ ABC 中,斜边 AB=12,直角边 AC=6,如果以 C 为圆心的圆与 AB 相切于 D,则⊙ C 的半径长 为 .

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: 在 Rt△ ABC 中,利用勾股定理即可得出 BC.又 AB 与⊙ C 相切与点 D,连接 CD,得到 CD⊥ AB.利 用 S△ABC= 解答: ,即可得出⊙ C 的半径 CD. = =6 .

解:在在 Rt△ ABC 中,斜边 AB=12,直角边 AC=6,∴ ∵ AB 与⊙ C 相切与点 D,连接 CD,∴ CD⊥ AB. ∴ S△ABC= ,∴ = .

∴ ⊙ C 的半径长为 . 故答案为 . 点评: 熟练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2013?肇庆二模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c, (1)求 cos(A+C)的值; (2)求 (3)若 的值; ,求△ ABC 的面积. .

考点: 两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦

函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角形的内角和,可以得出 A+C=π﹣B,即可知 cos(A+C)=cos(π﹣B) ,直接求的结果. (2)首先根据同角三角函数的基本关系求出 sinB 的值,然后由两角和与差公式求得答案. (3)平面向量数量积的运算公式,可以得出 ac=25,再由三角形的面积公式 S= acsinB 求出面积. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵ A+B+C=π,∴ A+C=π﹣B(1 分) ∵ ,∴ (3 分)

(2)在△ ABC 中,∵

,∴

(5 分)

∴ (3)∵ ∴ ,即 ,即 ac=25(10 分)

= , (9 分)

(8 分)

∴ △ ABC 的面积

(12 分)

点评: 本题考查了两角差与和公式、同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式,熟练掌握公式是解 题的关键,属于中档题. 17. (12 分) (2013?肇庆二模)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 ,Tn 为数列{n+bn}的前 n 项和,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: ( 1)结合等差数列的求和公式

,可表示 S7=7,S15=75,解方程可求 d,

a1,代入等差数列的 通项公式可求 an, (2)由(1)可求 bn,然后利用分组求和,结合等差数列与等比 数列的求和公式即可求和 解答: 解: ( 1)设等差数列{an}的公差为 d,则 , (1 分)

∵ S7=7,S15=75,∴

(3 分)



. (6 分)

∴ an=a1+(n﹣1)d=﹣2+n﹣1=n﹣3(7 分) (2)由(1)得 (8 分)



(9 分)

=(1+2+3+…+n)+(2+2 +2 +…+2 )=

2

3

n

(11 分)

=

(12 分)

点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等比数列的求和公式的应用,还考查了分组求和 方法的应用 18. (14 分) (2013?肇庆二模)某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图 1)和频率分布直方图 (图 2)都受到不同程度的破坏,可见部分如图所示,据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数; (2)计算频率分布直方图中[80,90)的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况,在抽取的试卷中,求至少有一 份分数在[90,100]之间的概率. 考点: 频率分布直方图;茎叶图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据分数在[50,60)的频率为 0.008×10,和由茎叶图知分数在[50,60)之间的频数为 2,得 到全班人数.最后根据差值 25﹣2﹣7﹣10﹣2 求出分数在[80,90)之间的频数即可. (2)分数在[80,90)之间的频数为 4,做出频率,根据小长方形的高是频率比组距,得到结果. (3)本题是一个等可能事件的概率,将分数编号列举出在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事 件,至少有一份在[90,100]之间的基本的事件有 9 个,得到概率. 解答: 解: (1)由茎叶图可知,分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=0.08, 所以全班人数为 (人) (2 分)

故分数在[80,90)之间的频数为 n1=25﹣2﹣7﹣10﹣2=4. (3 分) (2)分数在[80,90)之间的频数为 4,频率为 所以频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为 (5 分) (7 分)

(3)用 a,b,c,d 表示[80,90)之间的 4 个分数,用 e,f 表示[90,100]之间的 2 个分数,则满足 条件的所有基本事件为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b, f) , (c,d) , (c,e) (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 15 个, (10 分) 其中满足条件的基本事件有: (a,e) , (a,f) , (b,e) , (b,f) , (c,e) (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 9 个 (12 分)

所以至少有一份分数在[90,100]之间的概率为

. (14 分)

点评: 本题考查频率分步直方图和等可能事件的概率,本题解题的关键是在列举时要做到不重不漏,本题 是一个基础题. 19. (14 分) (2013?肇庆二模)已知四棱锥 P﹣ABCD(图 1)的三视图如图 2 所示,△ PBC 为正三角形, PA 垂直底面 ABCD,俯视图是直角梯形. (1)求正视图的面积; (2)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (3)求证:AC⊥ 平面 PAB.

考点: 直线与平面垂直的判定;由三视图求面积、体积;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程;空间位置关系与距离. 分析: (1)过 A 作 AE∥ CD,可得 E 是 BC 的中点,且 BE=CE=AE=CD=1.正三角形 PBC 中,算出中线 PE= ,由 PA⊥ 平面 ABCD, 在 Rt△ PAE 中, 算出 PA= 即为正视图三角形的高长, 由此结合 BC=2 即可求出正视图的面积; (2)由(1)的证明,结合题意可得四棱锥 P﹣ABCD 是以 PA 为高、底面 ABCD 是直角梯形的四 棱锥,结合题中的数据即可算出四棱锥 P﹣ABCD 的体积; (3)分别在在 Rt△ ABE、Rt△ ADC 中,算出 AB=AC= ,结合 BC=2 利用勾股定理的逆定理证出 AC⊥ AB,再由 PA⊥ 平面 ABCD 得 PA⊥ AC,根据线面垂直的判定定理即可证出 AC⊥ 平面 PAB. 解答: 解: (1)过 A 作 AE∥ CD,根据三视图可知,E 是 BC 的中点, (1 分) 且 BE=CE=1,AE=CD=1(2 分) 又∵ △ PBC 为正三角形,∴ BC=PB=PC=2,且 PE⊥ BC 2 2 2 ∴ PE =PC ﹣CE =3(3 分) ∵ PA⊥ 平面 ABCD,AE?平面 ABCD,∴ PA⊥ AE(4 分) 2 2 2 可得 PA =PE ﹣AE =2,即 (5 分) 因此,正视图的面积为 (6 分) , (7 分)

(2)由(1)可知,四棱锥 P﹣ABCD 的高为 PA, 底面积为 ∴ 四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 (8 分)

(10 分)

(3)∵ PA⊥ 平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ PA⊥ AC(11 分) 2 2 2 2 2 2 ∵ 在 Rt△ ABE 中,AB =AE +BE =2,在 Rt△ ADC 中,AC =AD +CD =2(12 分) 2 2 2 ∴ BC =4=AA +AC ,可得△ BAC 是直角三角形 (13 分) ∴ AC⊥ AB.

由此结合 AB∩ PA=A,可得 AC⊥ 平面 PAB(14 分)

点评: 本题给出四棱锥的三视图的形状,求证线面垂直并求四棱锥的体积,着重考查了线面垂直的判定与 性质、锥体体积公式和三视图的认识与理解等知识,属于中档题.

20. (14 分) (2013?肇庆二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C:

的左右焦点.

(1)设椭圆 C 上的点

到 F1,F2 两点距离之和等于

,写出椭圆 C 的方程;

(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点 F2 且斜率为 1 的直线与其相交于 A,B,求△ ABF1 的面积; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM,PN 的斜率 都存在,并记为 kPN,kPN 试探究 kPN?kPN 的值是否与点 P 及直线 l 有关,并证明你的结论. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 利用点 在椭圆上, 椭圆 C 上的点 求出几何量,即可求得椭圆 C 的方程; (2)直线方程与椭圆方程联立,利用 ,即可求△ ABF1 的面积;

到 F1, F2 两点距离之和等于



(3)利用 M,N,P 在椭圆上,代入椭圆方程,两方程相减,再计算 kPN?kPN 的值,即可得到结论. 解答: 解: (1)由于点 在椭圆上,所以 (2 分)

解得

, (4 分)

故椭圆 C 的方程为

(5 分)

(2)由(1)知椭圆 C 的左右焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,|F1F2|=2 所以,过椭圆的焦点 F2 且斜率为 1 的直线方程为 y=x﹣1 将其代入 ,整理得 3x ﹣4x=0,解得 时,
2

当 x1=0 时,y1=﹣1,当 所以△ ABF1 的面积:

= (9 分)

(3)过原点的直线 L 与椭圆

相交的两点 M,N 关于坐标原点对称,

设 M(x0,y0) ,N(﹣x0,﹣y0) ,P(x,y) , ∵ M,N,P 在椭圆上, ∴

两式相减得

又∵



∴ 故:kPN?kPN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 l 无关. (14 分) 点评: 本题考查椭圆的定义,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

21. (14 分) (2013?肇庆二模)已知函数 (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 围.



.若至少存在一个 x0∈[1,e],使得 f(x0)>g(x0)成立,求实数 a 的取值范

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 a=2 时求出 f(1) ,切线斜率 k=f′ (1) ,利用点斜式即可求得切线方程; (2)求出函数定义域,分① 当 a≤0,② 当 a>0 两种情况讨论解不等式 f'(x)>0,f'(x)<0 即可; (3) 存在一个 x0∈[1, e]使得 f (x0) >g (x0) , 则 ax0>2lnx0, 等价于 等价于“当 x∈[1,e]时,a>F(x)min”.利用导数易求其最小值. 解答: 解:函数的定义域为(0,+∞) , . , 令 ,

(1)当 a=2 时,函数

,f′ (x)=



因为 f(1)=0,f'(1)=2. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣0=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . 2 ① 当 a≤0 时,h(x)=ax ﹣2x+a<0 在(0,+∞)上恒成立, 则 f'(x)<0 在(0,+∞)上恒成立,

此时 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 2 ② 当 a>0 时,△ =4﹣4a , (ⅰ )若 0<a<1, 由 f'(x)>0,即 h(x)>0,得 或 ;

由 f'(x)<0,即 h(x)<0,得



所以函数 f(x)的单调递增区间为





单调递减区间为



(ⅱ )若 a≥1,h(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,则 f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,此时 f(x) 在(0,+∞)上单调递增. (3) )因为存在一个 x0∈[1,e]使得 f(x0)>g(x0) , 则 ax0>2lnx0,等价于 令 .

,等价于“当 x∈[1,e]时,a>F(x)min”. .

对 F(x)求导,得

因为当 x∈[1,e]时,F'(x)≥0,所以 F(x)在[1,e]上单调递增. 所以 F(x)min=F(1)=0,因此 a>0. 点评: 本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题,考查学生分析问题解决问题 的能力,对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决.


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