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相似三角形 模型题

相似基本模型———“三点定型”法在相似证明中的应用
一类:直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型” 0 例1, 已知:在△ABC 中,∠ACB=90 ,CD⊥AB。求证:AC2=AD?AB

分析: 要证 AC2=AD?AB, 只需证

AC AB , 这时看等号的左边 A、 C、 ? AD AC

D 三点可确定一个三角形,而等号右边 A、C、B 三点也可确定一个三角 形,即证△ACD∽△ABC。或者都看上面的分子为 A、B、C 及都看下面 的分母为 A、C、D 也可确定去证△ACD∽△ABC。 例2, 已知:等边三角形 ABC 中,P 为 BC 上任一点,AP 的垂直平分线交 AB、AC 于 M、N 两点。 求证:BP?PC=BM?CN 分析:要证 BP?PC=BM?CN,只需证

BP CN ? BM PC

看等号的左边 B、P、M 和等号右边 C、N、P 可确定证 △PBM∽△NCP。

二类:当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时,如果有相等的线段时,可用相 等的线段去替换。 例1, 已知; 平分∠BAC, 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于 F。 AD EF 求证: 2 DF =BF?CF 2 分析:由已知可得 DF=AF,直接证 DF =BF?CF 找不出相似三角形,可 改证 AF =BF?CF,即证
2

AF CF ,这时用“左看、右看”或“上看、下看” ? BF AF

定出△ABF∽△CAF 0 例2, 已知;在 Rt△ABC 中,∠A=90 ,四边形 DEFG 为正方形。 2 求证:EF =BE?FC 分析:要证 EF =BE?FC,可证
2

EF FC ,这时我们不论是“左看、右看” ? BE EF

还是“上看、下看”B、E、F、C 都在同一直线上,不能确定两个三角形。 但在图形中有相等的线段 DE=EF=FG,这时用相等的线段去替换即证

DE FC 即可。 再用 “左看、 右看” 的方法确定证△BDE∽△GCF 从而完成证明。 ? BE FG
例 3、如图,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 的中点,BE⊥AC 且交 AC 于 F,过 F 作 FG∥AB,交 AE 于 G. 求证:AG2=AF ? FC. 证明:∵E 是 CD 中点,∴DE=CE; 又∵AD=BC,∠D=∠BCE=90°, ∴△DEA≌△CEB,即 AE=BE; ∵GF∥AB,∴ EG/EA=EF/EB,即 AG/AE=BF/BE , ∵AE=BE,则 AG=BF;
1

在 Rt△ABC 中,BF⊥AC,则△ABF∽△BCF,

∴BF 2 =AF?FC,即 AG 2 =AF?FC.

三类:既不能直接用“三点定形” ,又没有相等的线段可以替换时,可以找中间比或中间量来转化搭桥, 充分体现了转化的思想在数学中的应用。 例 1,已知:梯形 ABCD 中,AD//BC,AC 与 BD 相交于 O 点,作 BE//CD,交 CA 的延长线于点 E. 求证:OC2=OA.OE 分析:要证 OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看” 都发现 O,C,A,E 在同一直线上,并且没有相等的线段可以替换;这时,我们可 以利用转化的数学思想, 先证 然后再证

OC OB , “上看、 用 下看” 定出△OBC∽△ODC, ? OA OD

OB OE ,用同样的方法确定证△OBE∽△ODC 相似即可。 ? OD OC

例 2、已知:BD、CE 是△ABC 的两个高,DG⊥BC,与 CE 交于 F,GD 的延长线 与 BA 的延长线交于 H。 2 求证:GD =GF?GH 2 分析:要证 GD =GF?GH,这时我们发现 G、D、E、F 在同一直线上,并且没有相等 的线段可以替换,这时,我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三 2 角形和原三角形相似得出 GD =BG?CG,从而把原题转化为证 BG?CG=GF?GH, 再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证△BGH∽△FGC 相似即可。

相似基本模型——射影定理的推广及应用
直角三角形 ABC 中∠A=90°,AD⊥BC,则有:

AB 2 ? BD ? BC AC 2 ? CD ? CB AD 2 ? BD ? CD
变式推广 如图(2) :△ABC中,D 为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△C DB∽△ACB,可得BC2=BD?AB; 例 1 已知:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, 是 AC 上一点,CF⊥BE 于 F。 求证:△BFD∽△BAE。 证明:∵ ∠ACB=90° ∴ Rt△ECB,CF⊥BE ∴ 由射影定理得 BC ? BF ? BE 又∠ACB=90°,CD⊥AB
2

CD⊥AB 于 D,E

∴ BC ? BD ? AB
2

∴ BF ? BE ? BD ? AB 又 ∵ ∠FBD=∠ABE

BF BD ? BE ∴ AB
∴ △BFD∽△BAE

例 2 如图(3) ,已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:4D H?DA=BC


2

分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式,可得BD2=DH? DA,又BC=2BD,故有结论成立。 (证明略)

相似基本模型———

一线三等角问题

A D

问题引入 如图, ?ABC 中, ?B ? 90? , CD ? AC ,过 D 作 DE ? AB 交
BC 延长线与 E。 求证: ?ABC ? ?CED 其他常见的一线三等角图形
B C E

(等腰三角形中底边上一线三等角)

(等腰梯形中底边上一线三等角)
A E D

F

B

C

(直角坐标系中一线三等角) (1)等腰三角形中一线三等角

(矩形中一线三等角)

例 1、 如图,已知在△ABC 中, AB=AC=6,BC=5,D 是 AB 上一点,BD=2,E 是 BC 上一动点, 联结 DE,并作 ?DEF ? ?B ,射线 EF 交线段 AC 于 F. (1)求证:△DBE∽△ECF; (2)当 F 是线段 AC 中点时,求线段 BE 的长; (3)联结 DF,如果△DEF 与△DBE 相似,求 FC 的长.

A F

A

D B E

D
C

B

C

例 2、 如图,等边△ABC 中,边长为 6,D 是 BC 上动点,∠EDF=60° (1)求证:△BDE∽△CFD (2)当 BD=1,FC=3 时,求 BE
3

例 3、在 ?ABC 中, AB ? AC ? 5 , BC ? 8 ,点 P 、 Q 分别在射线 CB 、 AC 上(点 P 不与点 C 、 点 B 重合) ,且保持 ?APQ ? ?ABC . ①若点 P 在线段 CB 上(如图) ,且 BP ? 6 ,求线段 CQ 的长; ②若 BP ? x , CQ ? y ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取 值范围; (3) 当点 P 是 BC 的中点时,试说明△APQ 是什么三角形,并说明理由. A Q B P C

变式练习 1 (浦东新区 22 题) 如图,已知等边△ ABC 的边长为 8,点 D 、 F 、 E 分别在边 AB 、 BC 、 AC 上, BD ? 3 , E 为 AC 中点,当△ BPD 与△ PCE 相似时,求 BP 的值.

(2)等腰梯形中一线三等角 例 1、 (长宁区 18 题)如图,等腰梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD ?

2 , BC ? 4 2 ,∠ B ? 45? ,

直角三角板含 45 度角的顶点 E 在边 BC 上移动,一直角边始终经过点 A ,斜边与 CD 交于点 F .若△ . ABE 为等腰三角形,则 CF 的长等于

A

D F

B

E

C 第18题

例 2、 (徐汇区 25) .如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ? CD ? BC ? 6 , AD ? 3 .点 M 为 边 BC 的中点,以 M 为顶点作 ?EMF ? ?B ,射线 ME 交腰 AB 于点 E ,射线 MF 交腰 CD 于点 F , 联结 EF . (1)求证:△ MEF ∽△ BEM ; (2)若△ BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形,求 EF 的长; (3)若 EF ? CD ,求 BE 的长.

4

(3)坐标系中一线三等角 例、 (金山区 24)如图,住平面直角系中,直线 AB : y ?

4 x ? 4 ? a ? 0 ? 分别交 x 轴、 y 轴于 B 、 A 两 a

点,直线 AE 分别交 x 轴、 y 轴于 E 、 A 两点, D 是 x 轴上的一点, OA ? OD ,过 D 作 CD ? x 轴交 连接 B C , 当动点 B 在线段 OD 上运动 (不 AE 于 C , O 点 D 重合)且 AB ? BC 时 (1)求证: ?ABO ∽ ?BCD ; (2)求线段 CD 的长(用 a 的代数式表示) ; 与点

变式练习、在平面直角坐标系 XOY 中, ?AOB 的位置如图所示,已知 ?AOB ? 90 , ?A ? 60 ,点 A 的
0 0

坐标为 ? 3 ,

?

1 ,求点 B 的坐标;

?

(4)矩形、正方形中一线三等角 例 1、 (长宁区 24 题) .如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 6 ,点 P 是射线 DA 上的一个动点, 将三角板的直角顶点重合于点 P ,三角板两直角中的一边始终经过点 C ,另一直角边交射线 BA 于点 E. (1)判断△ EAP 与△ PDC 一定相似吗?请证明你的结论; (2)设 PD ? x , AE ? y ,求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (3)是否存在这样的点 P ,是△ EAP 周长等于△ PDC 周长的 2 倍?若存在,请求出 PD 的长度;若 不存在,请简要说明理由.
P A D

E

5

B

C

例 2、如图正方形 ABCD 的边长为 4,点 p 是 BC 边上一动点(点 p 不与点 B、C 重合) ,连接 AP,过点 P 作 PQ⊥AP 交 DC 于点 Q,设 BP 的长为 x,CQ 的长为 y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的 取值范围。
A D

Q B P C

(东城一模)24. 等边△ ABC 边长为 6,P 为 BC 边上一点,∠MPN=60° ,且 PM、PN 分别于边 AB、 AC 交于点 E、F. (1)如图 1,当点 P 为 BC 的三等分点,且 PE⊥AB 时,判断△ EPF 的形状; (2)如图 2,若点 P 在 BC 边上运动,且保持 PE⊥AB,设 BP=x,四边形 AEPF 面积的 y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)如图 3,若点 P 在 BC 边上运动,且∠MPN 绕点 P 旋转,当 CF=AE=2 时,求 PE 的长.

图1 (1)△EPF 为等边三角形. (2)设 BP=x,则 CP=6-x.

图2 --------------1 分

图3

由题意可 △BEP 的面积为

3 2 x . 8

△CFP 的面积为

3 (6 ? x) 2 . 2

△ABC 的面积为 9 3 . 设四边形 AEPF 的面积为 y. ∴ y ?9 3?

3 2 3 5 x ? (6 ? x) 2 = ? 3x 2 ? 6 3x ? 9 3 . 8 2 8
6

自变量 x 的取值范围为 3<x<6. --------------4 分 (3)可证△EBP∽△PCF. ∴

BP BE . ? CF CP
解得 x1 ? 4, x2 ? 2 . --------------7 分
?

设 BP=x, 则 x(6 ? x) ? 8 .

∴ PE 的长为 4 或 2 3 .

(延庆一模)25. 在 Rt△ABC 中, ?BAC ? 90 ,AB ? AC ? 2 ,点 D 在 BC 所在的直线上运动, ? A 作 ?ADE ? 45 ( A D,E 按逆时针方向) . , (1)如图 1,若点 D 在线段 BC 上运动, DE 交 AC 于 E . ①求证: △ABD ∽△DCE ; ②当 △ADE 是等腰三角形时,求 AE 的长. B (2)①如图 2,若点 D 在 BC 的延长线上运动, DE 的 写出所有点 D 的位置;若不存在,请简要说明理由; ②如图 3, 若点 D 在 BC 的反向延长线上运动, 是否存在点 D , △A E 是等腰三角形?若存在, 使 D 写出所有点 D 的位置;若不存在,请简要说明理由. A A E D 第 25 题图 1

45?

E C

反向延长线与 AC 的延长线相交于点 E? ,是否存在点 D ,使 △ADE? 是等腰三角形?若存在,

45?
B D C

D

45?

C B E

第 25 题图 2 第 25 题图 3 ? 25. ①证明:在 Rt△ABC 中,∵ ?BAC ? 90 ,AB ? AC ? 2

E?

∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45° ∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC ∴ △ABD ∽△DCE ② 当 △ADE 是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况:DE=AE ∵DE=AE ∴∠ADE=∠DAE=45° ∴ ∠AED=90°, 此时,E 为 AC 的中点, ∴AE=

??????1 分 ??????2 分

1 AC=1. 2

??????3 分

第二种情况:AD=AE(D 与 B 重合) AE=2 第三种情况 :AD=DE
7

如果 AD=DE,由于 △ABD ∽△DCE , ∴ △ABD≌△DCE, ∴BD=CE,AB=DC,设 BD=CE= x 在 Rt△ABC 中,∵ ?BAC ? 90 ,AB ? AC ? 2 ,
?

∴ BC= 2 2 , DC= 2 2 - x ∴ 2 2 - x =2 ,解得, x = 2 2 -2 , ∴ AE= 4 -2 2 综上所述:AE 的值是 1,2,4 -2 2 ??????4 分

(2)①存在。 当 D 在 BC 的延长线上,且 CD=CA 时, △ADE ? 是等腰三角形. ??????5 分 证明:∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′, ∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又 CD=CA , ∴ ∠CAD=∠CDA , ∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′, ∴ △ADE? 是等腰三角形. ??????6 分 ②不存在. 因为 ∠ACD=45°>∠E , ∠ADE=45° ∴∠ADE≠∠E ??????7 分 ∴ △ADE? 不可能是等腰三角形。

8


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