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通用版2017届高考数学专题训练第一部分知识方法篇专题9平面直角坐标与不等式第35练坐标系与参数方程文


第 35 练

坐标系与参数方程

[题型分析·高考展望] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、 直线和圆的极坐标方 程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、 参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知 识.

体验高考 1.(2016·课标全国甲)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6) +y =25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是? 求 l 的斜率. 解 (1)由 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 可得圆 C 的极坐标方程 ρ +12ρ cos θ +11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R). 设 A, B 所对应的极径分别为 ρ 1, ρ 2, 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ +12ρ cos α +11=0. 于是 ρ 1+ρ 2=-12cos α ,ρ 1ρ 2=11. |AB|=|ρ 1-ρ 2|= ?ρ 1+ρ 2? -4ρ 1ρ 2= 144cos α -44. 3 15 2 由|AB|= 10得 cos α = ,tan α =± . 8 3 所以 l 的斜率为 15 15 或- . 3 3
2 2 2 2 2 2

? ?x=tcos α , ?y=tsin α ?

(t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点,|AB|= 10,

π? ? 2 2.(2015·江苏)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ ·sin?θ - ?-4=0,求圆 C 的半 4? ? 径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标 系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ ?
2 2

2 ? 2 ? sin θ - cos θ ?-4=0, 2 ?2 ?

化简,得 ρ +2ρ sin θ -2ρ cos θ -4=0. 则圆 C 的直角坐标方程为 x +y -2x+2y-4=0, 即(x-1) +(y+1) =6, 所以圆 C 的半径为 6.
2 2 2 2

1

高考必会题型 题型一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中 取相同的长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、 极 坐 标 分 别 为 (x , y) 和 (ρ , θ ) , 则 ? ρ =x +y , ? ? ? y tan θ = ?x≠0?. ? x ? 例 1 在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 2cosθ +sin θ )=1 与曲线 C2:ρ =a(a>0)的一个交 点在极轴上,求 a 的值. 解 ρ ( 2cosθ +sin θ )=1, 即 2ρ cosθ +ρ sinθ =1 对应的普通方程为 2x+y-1=0, ρ =a(a>0)对应的普通方程为
2 2 2

?x=ρ cos θ , ? ?y=ρ sin θ , ?

x2+y2=a2.
在 2x+y-1=0 中,令 y=0,得 x= 将? 2 ? 2 ? 2 2 2 ,0?代入 x +y =a 得 a= . 2 ?2 ? 2 . 2

点评 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则 点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性. 变式训练 1 在以 O 为极点的极坐标系中, 直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是 ρ cos(θ + π 2 )=3 2和 ρ sin θ =8cos θ ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、B,求线段 AB 的长. 4 π π π 解 ∵ρ cos(θ + )=ρ cosθ cos -ρ sinθ sin 4 4 4 = 2 2 ρ cosθ - ρ sinθ =3 2, 2 2

∴直线 l 对应的直角坐标方程为 x-y=6. 又∵ρ sin θ =8cos θ ,∴ρ sin θ =8ρ cos θ . ∴曲线 C 对应的直角坐标方程是 y =8x.
2
2 2 2 2

解方程组?

?x-y=6, ? ?y =8x. ?
2

得?

? ?x=2, ?y=-4 ?

或?

? ?x=18, ?y=12, ?

所以 A(2,-4),B(18,12), 所以 AB= ?18-2? +[12-?-4?] =16 2. 即线段 AB 的长为 16 2. 题型二 参数方程与普通方程的互化 1.直线的参数方程 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? 2.圆的参数方程 圆心在点 M(x0 , y0) ,半径为 r 的圆的参数方程为 ? 0≤θ ≤2π ). 3.圆锥曲线的参数方程 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为?
?x=x0+rcos θ , ? ? ?y=y0+rsin θ ? ?x=x0+tcos α , ?y=y0+tsin α ?
2 2

(t 为参数).



为参数,

x2 y2 a b
2

?x=acos θ , ? ? ?y=bsin θ
2

(θ 为参数).

(2)抛物线 y

? ?x=2pt , =2px(p>0)的参数方程为? ?y=2pt ?

(t 为参数).
? ?x=1+3cos

例 2 (2015·福建)在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的参数方程为?

t, t

? ?y=-2+3sin

(t 为

参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x π? ? 轴非负半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 2ρ sin?θ - ?=m(m∈R). 4? ? (1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值. 解 (1)消去参数 t,得到圆 C 的普通方程为 (x-1) +(y+2) =9. π? ? 由 2ρ sin?θ - ?=m,得 ρ sinθ -ρ cosθ -m=0. 4? ? 所以直线 l 的直角坐标方程为 x-y+m=0. |1-?-2?+m| (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即 =2,解得 m=-3±2 2. 2
3
2 2

点评

(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方

法.常见的消参方法有代入消参法,加减消参法,平方消参法等. (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若 x、y 有范 围限制,要标出 x、y 的取值范围. 变式训练 2 已知直线 l 的参数方程为?
? ?x=4-2t, ? ?y=t-2

(t 为参数),P 是椭圆 +y =1 上的 4

x2

2

任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值. 解 由于直线 l 的参数方程为?
?x=4-2t, ? ?y=t-2 ?

(t 为参数),

故直线 l 的普通方程为 x+2y=0. 因为 P 为椭圆 +y =1 上的任意一点, 4 故可设 P(2cos θ ,sin θ ),其中 θ ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离是 π ?? ? ? 2 2?sin?θ + ?? 4 ?? |2cos θ +2sin θ | ? ? d= = . 2 2 1 +2 5 π 2 10 所以当 θ =kπ + ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5 题型三 极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、 圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时, 要注意普通方程与参数方程的互化公式, 主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等. 例 3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1:?
?x=tcos α , ? ? ?y=tsin α

x2

2

(t 为参数,

t≠0), 其中 0≤α <π , 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρ =2sin
θ ,曲线 C3:ρ =2 3cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值. 解 (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y -2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 x +y -2 3x =0.
2 2 2 2

?x +y -2y=0, 联立? 2 ?x +y2-2 3x=0,

2

2

4

? ?x=0, 解得? ?y=0 ?

3 ? ?x= 2 , 或? 3 ? ?y=2.

所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和?

? 3 3? , ?. ? 2 2?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 θ =α (ρ ∈R,ρ ≠0),其中 0≤α <π . 因此 A 的极坐标为(2sin α ,α ),B 的极坐标为(2 3cos α ,α ). π ?? ? ? 所以|AB|=|2sin α -2 3cos α |=4?sin?α - ??. 3 ?? ? ? 5π 当 α = 时,|AB|取得最大值,最大值为 4. 6 点评 (1)利用参数方程解决问题,要理解参数的几何意义. (2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化 为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化 与化归思想的应用. 1 ? ?x=3+2t, (2015·陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 3 y= t ? ? 2

变式训练 3

(t 为参数). 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, ⊙C 的极坐标方程为 ρ =2 3 sin θ . (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标. 解 (1)由 ρ =2 3sin θ ,得 ρ =2 3ρ sin θ , 从而有 x +y =2 3y,所以 x +(y- 3) =3. 3 ? ? 1 (2)设 P?3+ t, t?,又 C(0, 3), 2 2 ? ? 则|PC|=
2 2 2 2 2

? ?3+1t?2+? 3 ? 2 ? ? t- 3?2= t2+12, ? ? ?2 ?

故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).

5

高考题型精练 π 1.已知圆的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,圆心为 C,点 P 的极坐标为(4, ),求 CP 的长. 3 解 由 ρ =4cos θ 得 ρ =4ρ cos θ , 即 x +y =4x, π 2 2 即(x-2) +y =4,∴圆心 C(2,0),又由点 P 的极坐标为(4, )可得点 P 的直角坐标为 3 (2,2 3), ∴CP= ?2-2? +?2 3-0? =2 3. π 2.(2015·安徽改编)在极坐标系中,求圆 ρ =8sin θ 上的点到直线 θ = (ρ ∈R)距离 3 的最大值. π 2 2 2 2 解 圆 ρ =8sin θ 化为直角坐标方程为 x +y -8y=0,即 x +(y-4) =16,直线 θ = 3 (ρ ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3x,结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆 心到直线的距离再加上半径. 圆心(0,4)到直线 y= 3x 的距离为 的点到直线的最大距离为 6. π π 3.在极坐标系中,已知三点 M(2,- )、N(2,0)、P(2 3, ). 3 6 (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上. 解 (1)由公式?
?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ
2 2 2 2 2

4 ? 3? +?-1?
2 2

=2,又圆的半径 r=4,所以圆上

得 M 的直角坐标为(1,- 3);

N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为(3, 3).
3 3-0 (2)∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3-2 ∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上. 4.(2015·重庆改编)已知直线 l 的参数方程为?
? ?x=-1+t, ?y=1+t ?

(t 为参数),以坐标原点为
2

极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ cos 2θ = 3π 5π ? ? 4?ρ >0, <θ < ?,求直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标. 4 4 ? ?

6

解 直线 l 的直角坐标方程为 y=x+2,由 ρ cos 2θ =4 得 ρ (cos θ -sin θ )=4,直角 坐标方程为 x -y =4,把 y=x+2 代入双曲线方程解得 x=-2,因此交点为(-2,0),其极 坐标为(2,π ). 5.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是?
? ?x=t+1, ? ?y=t-3
2 2

2

2

2

2

(t 为参数),圆 C 的极坐标方

程是 ρ =4cos θ ,求直线 l 被圆 C 截得的弦长. 解 直线 l 的参数方程?
?x=t+1, ? ?y=t-3 ?

(t 为参数)化为直角坐标方程是 y=x-4, 圆 C 的极坐
2 2

标方程 ρ =4cos θ 化为直角坐标方程是 x +y -4x=0.圆 C 的圆心(2,0)到直线 x-y-4 =0 的距离为 d= 2 2. 1 x=1+ t, ? 2 ? 6. (2016·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为? 3 ? ?y= 2 t, 为参数),椭圆 C 的参数方程为?
?x=cos θ , ? ? ?y=2sin θ

2 2

= 2.又圆 C 的半径 r=2, 因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d =

2

2

(t

(θ 为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,

B 两点,求线段 AB 的长.
解 直线 l 的方程化为普通方程为 3x-y- 3=0, 椭圆 C 的方程化为普通方程为 x + =1, 4
2

y2

? ? 3x-y- 3=0, 联立方程组得? 2 y2 x + =1, ? 4 ?
1 x =- , ? 7 ? 或? 8 3 ? ?y =- 7 ,
2 2

?x1=1, ? 解得? ? ?y1=0

8 3? ? 1 ∴A(1,0),B?- ,- ?. 7 7 ? ? 故 AB=

?1+1?2+? 8 3?2=16. ? 7? ?0+ ? 7 ? ? ? 7 ?

7

3 ? ?x=5+ 2 t, 7.(2015·湖南)已知直线 l:? 1 ? ?y= 3+2t

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|·|MB|的值. 解 (1)ρ =2cos θ 等价于 ρ =2ρ cos θ .① 将 ρ =x +y ,ρ cosθ =x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0.② 3 ? x = 5 + t, ? 2 (2)将? 1 ? ?y= 3+2t
2 2 2 2 2 2

代入②式,得 t +5 3t+18=0.

2

设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|= 18. 8.已知直线 l 的参数方程是 ? π? ? cos?θ + ?. 4? ? (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2,求实数 a 的值. π? ? 解 (1)由 ρ =4 2cos?θ + ?, 4? ? 得 ρ =4cos θ -4sin θ . 即 ρ =4ρ cos θ -4ρ sin θ . 由?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ ?
2 2 2

? ?x=2t, ?y=4t+a ?

(t 为参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ =4 2

得 x +y -4x+4y=0,

2

2

得(x-2) +(y+2) =8. 所以圆 C 的直角坐标方程为(x-2) +(y+2) =8. (2)直线 l 的参数方程?
?x=2t, ? ? ?y=4t+a
2 2

可化为 y=2x+a,

则由圆的半径为 2 2知,圆心(2,-2)到直线 y=2x+a 的距离恰好为 2. |6+a| 所以 = 2,解得 a=-6± 10. 5

8


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