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2012届高三数学二轮复习专题15等差数列、等比数列_图文

高考复习系列课件105

数学第二轮复习
15《等差数列、等比数列》

105《等差数列、等比数列》

an?1 ? man ? f (n)

考试背景
递推列:

an?1 ? man ? f (n)

在06-08年的高考中,历年都有涉及, 如(不完全统计): 06年:全国理Ⅰ,福建; 07年:全国理Ⅰ,理Ⅱ; 08年:全国理Ⅱ.

一、基础知识
1.等差数列的概念:an+1-an=d

an ? q; 2.等比数列的概念: an ?1
3.an=(an-an-1)+( an-1-an-2)+…+( a2-a1)+a1;

an an ?1 a2 4.an ? ? ? ? ? ?a1; an ?1 an ?2 a1
5.换元法,待定系数法.

二、例析
例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+3,则{an}的通 项为_______. 解法1:由an+1=an+3得an+1-an=3,故数列{an} 是首项为2,公差为3的等差数列,因此,由通项 公式得:an=2+(n-1)×3=3n-1. 解法2:由an+1=an+3得an+1-an=3,故 an=(an-an-1)+( an-1-an-2)+…+( a2-a1)+a1 =3(n-1)+2=3n-1.

例2.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an,则{an}的通 项为_______.

an?1 解法1:由a n?1 ? 3an得: ? 3, 故 an
数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列, 因此an=2×3n-1

解法2 :由an ?1

an?1 ? 3an得 : ? 3, 故 an

an an?1 a2 n ?1 an ? ? ? ? ? ?a1? 2 ? 3 an?1 an?2 a1

例3.已知数列{an}中,a1=2, an+1=4an+3,则{an}的 通项为_______. 解法1:由an+1=4an+3得, an+1+1=4(an+1),故 数列{an+1}是首项为a1+1=3,公比为4的等比数列,

an?1 ? 1 ? 4, 故 解法2:由an?1 ? 4an ? 3得 : an?1 ? 1 ? 4(an ? 1), an ? 1

因此an+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1

an ? 1 an?1 ? 1 a2 ? 1 n ?1 an ? 1 ? ? ??? ? (a1?1) ? 3 ? 4 an?1 ? 1 an?2 ? 1 a1 ? 1
因此an+1=3×4n-1,即an=-1+3×4n-1

小结:待定系数法在变形转化中的作用
用观察的方法将an+1=4an+3变形成 an+1+1=4(an+1), 是 一大难点,这个变形可以运用待定系数法来完成. 引伸:已知数列{an}的首项是a1, an+1=man+r (m1,r ≠0),则{an}的通项为_______.

解:设 an+1+k=m(an+K),则 an+1=man+(m-1)K,

r r 由此将 an ?1 ? ma n ? r变形成了 an ?1 ? ? m( a n ? ), m ?1 m ?1 这样就可以运用解法1和解法2的方法了(下解略).

r 因此,(m-1)k=r,故 k ? m ?1

解法3:由 an+1=4an+3 an+2=4an+1+3 ②

①得

②-①得:an+2-an+1=4(an+1-an).则数列{an+1-an}是 首项为a2 -a1 =(4 a1+3)-a1= 3 a1+3=9,公比 为4的等比数列. 所以, an-an-1=9×4n-2

所以,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1
=9×4n-2+ 9×4n-3 +…+ 9×40+2

1? 4 n ?1 ? 9? ? 2 ? ?1 ? 3 ? 4 1? 4

n ?1

解法4:同解法3得:an+2-an+1=4(an+1-an).则

an ? 2 ? an ?1 ? 4, 故 an ?1 ?a n an ? an?1 an?1 ? an?2 a3 ? a2 an ? an?1 ? ? ??? ? (a2 ? a1 ) an?1 ?a n?2 an?2 ?a n?3 a2 ? a1

? 9 ? 4n?2 ,
所以,an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1

=9×4n-2+ 9×4n-3 +…+ 9×40+2
=-1+3×4n-1.

1 例4. 已知数列 ?an ?, a1 ? , an ? 3an ?1 ? 3n ?1 , 求an . 2
解:两边同除以3n得:

an an ?1 1 an an ?1 1 ? n ?1 ? , 即 : n ? n ?1 ? ? . n 3 3 3 3 3 3 a1 1 1 ? an ? . ? n ?是以 ? 为首项, 公差为? 的等差数列 3 6 3 ?3 ? an 1 1 1 1 ? n ? ? (n ? 1)( ? ) ? ? n.即 3 6 3 2 3 1 n n ?1 an ? ? 3 ? n ? 3 . 2

?an ?, a1 ? 3, an ? 4an?1 ? 5 ? 3n , 求an . 例5. 已知数列
解法1:两边同除以3n得:

an 4 令 n ? An , 则得 An ? An ?1 ? 5.(以下用例 3的方法解 ) 3 3 4 4 1 又令 An ? k ? ( An ?1 ? k ), 则An ? An ?1 ? k . 3 3 3 1 4 ? k ? 5, k ? 15.从而得 : An ? 15 ? ( An ?1 ? 15). 3 3 a1 4 而{ An ? 15}是首项为A1 ? 15 ? ? 15 ? 16, 公比为 3 3 的等比数列 .

an 4 an ?1 ? ? n ?1 ? 5. n 3 3 3

4 n ?1 4 n ?1 ? An ? 15 ? 16 ? ( ) , An ? ?15 ? 16 ? ( ) 3 3 4 n ?1 n n ? an ? 3 ? An ? 3 (?15 ? 16? ( ) ) 3 ? ?15? 3n ? 3 ? 4 n ?1
解法2: 令a ? k ? 3n ? 4(a ? k ? 3n?1 ),则 n n?1

k n k an ? 4an ?1 ? ? 3 , 从而得 ? 5, k ? 15. 3 3

?an ?15? 3n ? 4(an?1 ?15? 3n?1 ),则

而{an ? 15? 3n }是首项为a1 ? 15? 3 ? 48, 公比为4 的等比数列 .

?an ?15? 3 ? 48? 4 ? 3? 4 n n?1 ? an ? ?15? 3 ? 3? 4
n

n?1

n?1

说明2:解法1是在两边同除了bn后,再通过换元将 an=can-1+dbn化成了An=mAn-1+r的形式.此时就可以用 例3的各种解法求解了. 解法2,通过直接利用待定系数法将an=can-1+dbn 的形式化成了an+kbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比数 列.然后再进行求解.特别要注意“所要待定等式”左 右两边b的幂次方的差异.

三、练习
1.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an-3,则{an}的通 项为_______. 2.已知数列{an}中,a1=3,an+1=-2an,则{an}的通 项为_______. 3.已知数列{an}中,a1=1, an+1=2an-3,则{an}的 通项为_______.

?an ?, a1 ? 2, an ? 3an?1 ? 2 ? 3n , 求an . 4. 已知数列
5.已知数列{an},a1=1,an=an-1+3n,则{an}的通项为 _______.

三、解答:
1.答an=-3n+4

2.答an=3×(-2)n-1
3.解: a1 =1 a2 =-1, a2- a1=-2,

an+1-an=2(an-an-1),
∴an-an-1=(-2)×2n-2=- 2n-1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)

=-2n-1- 2n-2-…-2=2-2n.

an an ?1 4.解 :由an ? 3an ?1 ? 2 ? 3 得 : n ? n ?1 ? 2 3 3 an an ?1 a1 2 ? n ? n ?1 ? 2, ? , 3 3 3 3 an an an ?1 an ?1 an ? 2 a2 a1 a1 ? n ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ? ? ( 2 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 ?? (n ? 1) ? 2 ? ? 2n ? , 3 3 an an ?1 3n ? 1 n 5.解 : 两边同除以 2 得 : n ? n ?1 ? 2 2 22 an an ?1 3n ? 1 即 : n ? n ?1 ? 2 2 22
n

an an an ?1 an ?1 an ?2 a2 a1 a1 ? n ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ? ? ( 2 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 2 2 3n ? 1 3(n ? 1) ? 1 3? 2 ?1 1 ? n ? ??? ? n ?1 2 2 2 2 2 3n ? 1 3(n ? 1) ? 1 3? 2 ?1 令S n ? n ? ??? ? (1), n ?1 2 2 2 2 1 3n ? 1 3(n ? 1) ? 1 3? 2 ?1 则 S n ? n ?1 ? ??? ? (2), n 3 2 2 2 2 3n ? 5 由(1) ? (2)并化简整理得 : S n ? 4 ? n 2 1 3n ? 5 1 n n n ?1 ? an ? 2 ? ( S n ? ) ? 2 ? (4 ? n ? ) ? 9 ? 2 ? (3n ? 5) 2 2 2

四、小结
递推数列 (an ), 满足an?1 ? man ? f (n)
1.m=1,f(n)=r(常量),就成了等差数列; 2.m≠1,f(n)= 0,就成了等比数列; 3.m≠1,f(n)= r (常量), 就用待定系数法转化成等比数 列; 4.m≠1,f(n)= bn , 先在两边同除以bn,变形成3的形 式后再用待定系数法转化成等比数列;
5.f(n)= bn+c , 先在两边同除以bn,变形成与3类似 的形式后,再用待定系数法转化成等比数列或用其 它办法进行处理;

五、作业
1(05江苏文22题). 已知数列 {an }前n项和S n 满足 1 n ?1 3 S n ? S n ?1? 3 ? (? ) (n ? 3)且S1 ? 1, S1 ? ? , 求 2 2 数列{an }的通项公式 . 2(06全国Ⅰ理22题). 已知数列 {an }前n项和
4 1 2 n ?1 S n ? an ? ? 2 ? , n ? 1,2,3, ?. 3 3 3 ( Ⅰ)求首项与通项 an ;
n 2n 3 ( Ⅱ )设Tn ? , n ? 1,2,3, ? , 证明 : ? Ti ? Sn 2 i ?1

六、结束