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新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用__证明问题课件新人教B版必修5

新课标导学

数 学
必修5 ·人教B版

第三章
不等式 3.2 均值不等式
第2课时 均值不等式的应用——证明问题

1

课前自主学习

2
3

课堂典例讲练

课 时 作 业

课前自主学习

现有A、B、C、D四个长方体容器,A、B的底面积均为a2,高分别为a和b,
C、D的底面积均为b2,高分别为a和b(其中a≠b).现规定一种游戏规则:每人一 次从四个容器中取两个,盛水多者为胜.先取者有没有必胜的方案?若有,有

几种?

常见的不等式:
2ab a、b∈R). 1.a2+b2≥________( a+b 2 2 2 a + b ( ) 2 2.ab≤________ ≤ (a、b∈R). 2

1.已知 a、b∈R+,则下列不等式不一定成立的是 导学号 27542680 ( D ) 1 A.a+b+ ≥2 2 ab a2+b2 C. ≥a+b ab 1 1 B.(a+b)( + )≥4 a b 2ab D. ≥ ab a+b

1 1 [解析] A 中 a+b+ ≥2 ab+ ≥2 2, ab ab 1 1 B 中(a+b)· ( + )≥2 ab· 2 a b 1 =4,当且仅当 a=b 时取等号. ab

C 中(a2+b2)2-ab(a+b)2=(a-b)(a3-b3)≥0 当且仅当 a=b 时,取等号.∴选 D.

2.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是 导学号 27542681 ( D ) A.a2+b2 C.2ab B.2 ab D.a+b

[解析] 解法一:∵0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2,故选 D. 1 1 13 2 2 解法二:取 a= ,b= ,则 a +b = , 2 3 36 6 1 5 5 2 ab= ,2ab= ,a+b= ,显然 最大. 3 3 6 6

3.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,若 a、b、c 成等差数列, 则 B 的取值范围是 导学号 27542682 ( B ) π A.0<B< 4 π C.0<B≤ 2 π B.0<B≤ 3 π D. <B<π 2

[解析] ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c. a+c 2 a2+c2-b2 a +c -? 2 ? ∴cosB= = 2ac 2ac
2 2

3?a2+c2? 1 6ac 1 1 = - ≥ - = , 8ac 4 8ac 4 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. π ∵余弦函数在(0,π)上为减函数,∴0<B≤ .故选 B. 3

8 4 .已知正数 x 、 y 满足 x + 2y - xy = 0 ,则 x + 2y 的最小值为 ________.

导学号 27542683
1 2 [解析] ∵x+2y-xy=0,∴ + =1. y x 1 2 x 4y ∵x>0,y>0,∴(x+2y)( + )= + +4≥2 y x y x x 4y 当且仅当 = ,即 x=2y 时,等号成立. y x 2 1 ? ? ? + =1 ?x=4 由?x y ,得? . ? ?y=2 ? x = 2 y ? ∴x=4,y=2 时,x+2y 取最小值 8. x 4y · +4=8, y x

5.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是
①③⑤ 写出所有正确命题的编号). 导学号 27542684 _________(

①ab≤1; ② a+ b≤ 2; ③a2+b2≥2; 1 1 ④a +b ≥3; ⑤ + ≥2. a b
3 3

[解析]

?a+b? ?2 ①ab≤? ? 2 ? =1,成立. ? ?

②欲证 a+ b≤ 2,即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0 显然不成立. ③欲证 a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即证 4-2ab≥2,即 ab≤1,由①知成立. 3 3 3 2 ④a +b = (a+ b)(a - ab+b )≥3?a -ab+b ≥ ?(a + b) -3ab≥ ?4 - 2 2 2
3 3 2 2 2 2

5 5 ≥3ab?ab≤ ,由①知,ab≤ 不恒成立. 6 6 a+b 1 1 ⑤欲证 + ≥2,即证 ≥2,即 ab≤1,由①成立. a b ab

课堂典例讲练

命题方向1 ?不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
已知 a、b、c 为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc + ca. 导学号 27542685

[解析] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.

[点评]

本题中的表达式具有轮换对称关系,将表达式中字母轮换

a→b→c→a后表达式不变,这类问题证明一般变为几个表达式 (通常几个字母就 需几个表达式)迭加(乘),从而获解.

〔跟踪练习 1〕 导学号 27542686 若 a、b、c 均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abc.
[解析] b), ∵a、b 为正数,∴(a-b)2≥0,a+b>0, ∴a3+b3≥a2b+ab2,① 同理可得 b3+c3≥b2c+bc2,② a3+c3≥a2c+ac2.③ a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+

将①②③式两边分别相加,得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2 =(a2b+bc2)+(ab2+ac2)+(b2c+a2c) =b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥b·2ac+a·2bc+c·2ab=6abc,
∴a3+b3+c3≥3abc. 显然,当且仅当a=b=c时, a3+b3+c3=3abc.

命题方向2 ?利用均值不等式证明不等式
1 1 1 已 知 a>0 , b>0 , c>0 , 且 a + b + c = 1. 求 证 : + + a b c ≥9. 导学号 27542687

[解析] 证法一:∵a>0,b>0,c>0, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b c a c a b ∴ + + = + + =3+ + + + + + a b c a b c a a b b c c b a c a c b =3+( + )+( + )+( + )≥3+2+2+2=9. a b a c b c 1 1 1 即 + + ≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号). a b c

证法二:∵a>0,b>0,c>0, 1 1 1 1 1 1 ∴ + + =(a+b+c)( + + ) a b c a b c b c a c a b =1+ + + +1+ + + +1 a a b b c c b a c a c b =3+( + )+( + )+( + )≥3+2+2+2 a b a c b c =9. 1 1 1 ∴ + + ≥9(当且仅当 a=b=c 时取等号). a b c

[点评]

含条件的不等式证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形

的思路,构造出均值不等式,在条件“a+b+c=1”下,1的代换一般有上面两 种情况,切忌两次使用均值不等式,用传递性证明,有时等号不能同时取到.

〔跟踪练习 2〕 导学号 27542688 已知 x>0,y>0,z>0,且 x+y+z=1. 求证: x+ y+ z≤ 3.
[解析] ∵x>0,y>0,z>0, ∴x+y≥2 xy,x+z≥2 xz,y+z≥2 yz, ∴2(x+y+z)≥2( xy+ xz+ yz). ∵x+y+z=1,∴ xy+ xz+ yz≤1 成立. ∵x+y+z+2( xy+ xz+ yz)≤3, 即( x+ y+ z)2≤3,∴ x+ y+ z≤ 3.

命题方向3 ?均值不等式的综合应用
已知 a、b、c、d 都是实数,且 a2+b2=1,c2+d2=1,求证:|ac+ bd|≤1. 导学号 27542689
[解析] 证法一(综合法):因为 a、b、c、d 都是实数,所以|ac+bd|≤|ac|+|bd| a2+c2 b2+d2 a2+b2+c2+d2 ≤ + = . 2 2 2 又因为 a2+b2=1,c2+d2=1,所以|ac+bd|≤1.

证法二(比较法):显然有|ac+bd|≤1?-1≤ac+bd≤1. 先证 ac+bd≥-1. 1 1 ∵ac+bd-(-1)=ac+bd+ + 2 2 a2+b2 c2+d2 ?a+c?2+?b+d?2 =ac+bd+ + = ≥0, 2 2 2 ∴ac+bd≥-1.再证 ac+bd≤1.

1 1 ∵1-(ac+bd)= + -(ac+bd) 2 2 a2+b2 c2+d2 ?a-c?2+?b-d?2 = + -ac-bd= ≥0, 2 2 2 ∴ac+bd≤1.综上得|ac+bd|≤1. 证法三(分析法):要证|ac+bd|≤1, 只需证明(ac+bd)2≤1, 即只需证明 a2c2+2abcd+b2d2≤1.①

由于a2+b2=1,c2+d2=1,因此①式等价于 a2c2+2abcd+b2d2≤(a2+b2)(c2+d2).② 将②式展开化简得(ad-bc)2≥0. 因此a、b、c、d全是实数∴此式成立,故①式成立,从而原命题得证.

[点评] 三种证法各有侧重点,但都植根于条件a2+b2=1与c2+d2=1的灵
活运用上,解题时要善于展开联想,不放过一种可能的思路火花,多方探索、 对比,对开阔视野,训练思维很有帮助.

〔跟踪练习 3〕 导学号 27542690 1 1 25 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(a+ )(b+ )≥ . a b 4 1 1 [解析] 左边=(a+ )(b+ ) a b

1 b a 1 b a 2 =ab+ + + =( - ab) + + +2. ab a b a b ab ∵a、b∈(0,+∞), b a ∴ + ≥2,又 a>0,b>0,a+b=1, a b

∴1=a+b≥2 ab. 1 1 1 ∴ ab≤ , ≥2,- ab≥- , 2 2 ab 1 3 1 2 9 ∴ - ab≥ ,∴( ab- )≥ . 2 4 ab ab 9 25 1 ∴左边≥ +2+2= ,(当且仅当 a=b= 时取等号). 4 4 2

x2+5 求函数 y= 2 的最小值. 导学号 27542691 x +4 x2+5 x2+4+1 1 2 [错解] y= 2 = = x +4+ 2 ≥2.∴函数的最小值为 2. 2 x +4 x +4 x +4
[辨析] 误解中忽视了判定等号是否成立.

x2+5 x2+4+1 1 2 [正解] y= 2 = = x +4+ 2 ≥2. 2 x +4 x +4 x +4 1 当且仅当 x +4= 2 ,即 x2+4=1 时,等号成立,这显然不可能. x +4
2

∴令 t= x2+4,∵x2+4≥4,∴t≥2. 1 5 ∴y=t+ 在[2,+∞)上为增函数,∴当 t=2 时,函数取最小值 . t 2