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浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等2016届高三第一次五校联考数学试卷(文)


2015 学年浙江省第一次五校联考 数学(文科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式 V=Sh 柱体的高 锥体的体积公式 V= Sh
3 1

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示

锥体的高 台体的体积公式 V 积 球的表面积公式 S=4π R 球的体积公式 V= π R
3 4
3 2

?

1 3

h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面

其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
x 1.已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2 ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? (



A. ?

B. {x |

1 ? x ? 1} 2

C. {x | x ? 1}

D. x 0 ? x ? 1 )

?

?

2.设 x ? 0 ,则“ a ? 1 ”是“ x ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

a ? 2 恒成立”的( x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
6

) ,把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移
)

? 个单位,得到函 6

数 g ( x) 的图象.关于函数 g ( x) ,下列说法正确的是( A. 在 [

? ?

, ] 上是增函数 4 2

B. 其图象关于直线 x ? ? D. 当 x ? [0,

?
4

对称

] 时,函数 g ( x) 的值域是 [?1, 2] ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a, b 为平面向量,若 a ? b 与 a 的夹角为 , a ? b 与 b 的夹角为 ,则 ? =( ) 3 4 b
C. 函数 g ( x) 是奇函数

?

3

1

A.

3 3

B.

6 3

C.

5 3

D.

6 4

2

5.设 a、b 是两条不同的直线, 则下面四个命题中错误 的是 ( ?、? 是两个不同的平面, .. (A)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? (C)若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ?



(B)若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? (D)若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ?

CB 的值为 6. 在 ?ABC 中,AB ? 3 , AC ? 4 , BC ? 5 ,若 I 为 ?ABC 的内心, 则 CI · (
A. 6 B. 10 C. 12 D.15

??? ??? ?



7. 已知等差数列 ?a n ?的公差 d ? 0 , 且 a1 , a3 , a13 成等比数列, 若 a1 ? 1 ,S n 为数列 ?a n ?的 前 n 项和,则

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3

) C. 2 3 ? 2

A. 4

D.

9 2

8. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? ?2 x ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 至少有 6 个零点,则 a 的取值范
2

围是( A. (0,

)

2 ) 2

(0,

3 ) 3

B.

C.

(0,

5 ) 5

D. (0,

6 ) 6

第Ⅱ卷 非选择题部分(共 110 分) 二、填空题: (本大题共 7 小题, 前 4 小题每题 6 分, 后 3 小题每题 4 分,共 36 分) . 9. 已知 ?an ? 为等差数列, 若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? , 则 ?an ? 前 9 项的和 S9 ? ▲ ,

cos(a3 ? a7 ) 的值为
10. 已知 cos(? ?



. ▲ , sin(2? ?

?

1 ) ? ? , ? 为锐角,则 sin 2? = 4 3

?
3

)= ▲

11. 所谓正三棱锥, 指的是底面为正三角形, 顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱 锥,在正三棱锥 S ? ABC 中, M 是 SC 的中点,且 AM ? SB ,底面边长 AB ? 2 2 ,则正 三棱锥 S ? ABC 的体积为 ▲ ,其外接球的表面积为 12. 己知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 1, 则 ? ▲

? 1 ?? 1 ? ? 1?? 2 ? 1? 的最小值为___▲____. 2 ?a ?? b ?

a2 ? 1 的最小值为 ab





3

13. 已知不等式组

? x ? 2 y ? 1≥ 0, ? ? x ≤ 2, ? x ? y ? 1≥ 0 ?

表示的平面区域为 D, 若函数 y ? x ?1 ? m 的图像上存在

区域 D 上的点,则实数 m 的取值范围是



??2 x 2 ? 2 x, x ? 1 ? 14.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若对任意 x ? R, f ( x) ? x ? k ? x ?1 ? 0 恒成立, ? 1, x ? 1 ? ? x
则实数 k 的取值范围是 ▲ 15.如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻 折成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下面四个选 项中正确的是 ▲ (填写所有的正确选项) (2)点 M 在某个球面上运动 (4)存在某个位置,使 MB//平面 A1DE

(1)|BM|是定值 (3)存在某个位置,使 DE⊥A1 C

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分) 已知命题 p : x1 , x2是方程x2 ? mx ?1 ? 0 的两个实根,且不等式

a 2 ? 4a ? 3 ?| x1 ? x2 | 对任意 m ? R 恒成立;命题 q: 不等式 x2 ? 2 x ? a ? 0 有解,若命题
p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)
3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? , ( x ? R ) 2 2 ? 5? (1)当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 12

已知函数 f ( x) ?

?? (2) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a , b, c , 且c ? 3 若向量 m ? (1,sin A) , fC () 0 ? , ? 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值。

4

5

18. (本题满分 15 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面 互相垂直, AB // CD ,AD ? CD , AB ? AD ? ?, CD ? ? , M 、 N 分别为 EC 和 BD 的中 点. (1)求证: BC ? 平面 BDE (2)求直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值. F M E

D N A B

C

19.(本题满分 15 分) 已知数列 {an } 为等比数列, 其前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? a4 ? ?
S n ? 2 , S n ?1 成等差数列.

7 , 且对于任意的 n ? N ? 有 S n , 16

(1)求数列 {an } 的通项公式. (2)已知 bn ? n ( n ? N ? ) ,记 Tn ?
b b b1 b ? 2 ? 3 ? ? ? n ,若 (n ?1) 2 ? m(T n ? n ?1) 对 a1 a2 a3 an

于 n ? 2 恒成立,求实数 m 的范围.

20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 x ? a , g ( x) ? (1)若 a ? 0, 解不等式 f ( x) ? a (2)若 a ? 1 ,对任意 t ? [3,5] , f ( x) ? g (t ) 在 x ? [3,5] 总存在两不相等的实数根,求 a 的 取值范围.

x2 ? a (a?R ) x ?1

6

2015 学年浙江省第一次五校联考 数学(文科)答案 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 D 7 A 8 B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 36 分. 9.

24?

?

1 2

10.

7 9

,

7?4 6 18

11.

4 3

,

12?

12.

9

, 2?2 2

13.

[ ?2,1]

14.

k ? 1或k ?

1 2

15. (1)(2)(4)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 答案: P: ?5 ? a ? 1 ????5 分 Q: a ? 1 ????10 分

P,Q 一真一假

? a ? ?5

或a ?1

????14 分

17. 解:(1) f ( x) ?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 2 2
7

? sin(2 x ? ) ? 1 。?????3 分 6 ? 5? ? ? 2? ?x? ∵? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 12 3 6 3
∴?

?

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6 3 ,最大值是 0 。?????7 分 2

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? . 3 6 6 6 6 2
∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2

?


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3



由①②解得 a ? 1, b ? 2 .?????15 分

18. (Ⅰ) 在梯形 ABCD 中, 取 CD 中点 H, 连接 BH, 因为 AD ? AB,AB // CD ,AD ? CD , 所以四边形 ADHB 为正方形,又 BD ? ? AD ? ? AB ? ? ? , BC ? ? HC ? ? HB ? ? ? ,所以

CD? ? BD? ? BC ? ,所以 BC ? BD
又平面 ADEF ? 平面 ABCD,平面 ADEF ? 平面 ABCD ? AD ,DE ? AD , 所以 DE ? 平面 ABCD,

BC ? DE ,又 BD ? DE ? D ,故 BC ? 平面 BDE .

??5 分

z E F

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? 平面 ABCD ,
AD ? CD ,所以 DE,DA,DC 两两垂直.

以 D 为坐标原点建立如图所示直角坐标 M H N C y 系 D ? xyz ,则 C (?,?,? ) , B(?,?,? ) ,

? ? ? E (?,?,?) , M (?,?, ) , N ( , ,?) , ? ? ?

D A x B

8

? BC ? (??,?,?) , MC ? (?,?,? ) ? ??7 分
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BMC 的法向量,则 ? 可取 n ? (?,?,?) ,

?? x ? y ? ? ? ? ? n ? BC ? ? ? ,即 ? y? z?? ? ? ?n ? MC ? ? ? ?

又 MN ? ( , , MN ?? - , - ) ,所以 cos ? n

? ?

? ?

? ?

n ? MN | n || MN |
? ?

??

? ?

直线 MN 与平面 BMC 所成的角的正弦值为 19. (本题 15 分) 解析 :解:

??15 分

1 (1) 设公比为q, ? S1 , S3 , S2成等差,? 2S3 ? S1 ? S 2 , ? 2a1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1 (2 ? q ), 得q =- , 2

7 1 1 , ? a1 =- ,所以an ? a1q n ?1 ? (? ) n ????5 分 16 2 2 b 1 (2)? bn ? n, an ? (? )n ,? n ? n ? 2n , 2 an
3 又a1 +a4 =a ( =1 1+q )

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? ?(n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
??Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
2 ? 2n?1 ?Tn ? ?( ? n ? 2n?1 ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 ????10 分 1? 2 2 若 (n ?1) ? m(Tn ? n ?1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ?1)2 ? m[(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? n ?1] , n ?1 (n ?1)2 ? m(n ?1) ? (2n?1 ?1) ,? m ? n ?1 , 2 ?1 n n ?1 (2 ? n) ? 2n?1 ? 1 n ?1 令 f (n) ? n ?1 , f (n ? 1) ? f (n) ? n? 2 ? n?1 ? n?2 ?0 2 ?1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2n?1 ? 1) 1 1 ? m ? ????15 分 所以 f ( n) 为减函数, ? f (n) ? f (2) ? 7 7
20. 解答: (1) ? a ? 0, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减,在 [ , ??) 单调递增, 若 f( )??

a 2

a a 2 4

a 4

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 ?8 ? a ? 0 时,令 x(a ? 2 x) ? a 解得: x1 ? 8 4
9

? 不等式的解为: x ?

a ? a 2 ? 8a ????2 分 4

若 f( )??

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 a ? ?8 时,令 x(2 x ? a) ? a 解得: x1,2 ? 8 4

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a 据图像:不等式的解为: ??4 分 ?x? 或x ? 4 4 4
综上: ?8 ? a ? 0 不等式的解为: x ?

a ? a 2 ? 8a 4 2 a ? a ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a a ? ?8 不等式的解为: ??5 分 ?x? 或x ? 4 4 4
2

a 2 a a ? (x- )+    x ? ? ?2 4 8 2 (2) f ( x) ? x 2x ? a ? ? a 2 a2 a 2 (x- ) ?    x ? ? 4 8 2 ? a a a ? a ? 1, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减 4 4 2 a a a 在 [ , ??) 单调递增,? 3 ? ? 5或3 ? ? 5 2 2 4

即 6 ? a ? 10或12 ? a ? 20

? g ( x) ?

1? a x2 ? a ? 1 在 x ? [3,5] 单调递增, = x ?1? x ?1 x ?1 9 ? a 25 ? a , ] 2 4 a 2
?????????8 分

? g ( x) ? [

1)当 6 ? a ? 10 时, f ( x) 在 [3, ] 单调递减在 [ , 5] 单调递增

a 2

a ? 必须 [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), min{ f (3), f (5)}] 2


) ? g (3)? f ( a 2 ? g (5)? f (3), g (5)? f (5) ? ?
a 4

?

97 ? a ? 9 ?????????12 分 13 a 4

2) 当 12 ? a ? 20 时, f ( x) 在 [3, ] 单调递增,在 [ , 5] 单调递减

a [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), max{ f (3), f (5)}] 4


10

) ? g (5)? f ( a 4 ? g (3)? f (3), g (5)? f (5) ? ?
综上

? a ? ? ?????????14 分

97 ? a ? 9 ?????????15 分 13

11


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