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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教案)


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

三维目标:
1、知识与技能: (1)理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义; (2)掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; (3)理解平面向量的数量积与向量投影的关系; (4)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向 量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法

(1)在学习和运用向量的数量积的过程中,进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联 系,认识事物的统一性,并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法; (2)培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神,培养学生的运 算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 (3)通过对向量的数量积的探究、交流、总结,从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和 作用,不断从感性认识提高到理性认识, 。 3、情态与价值观 (1)通过用向量数量积解决问题的思想的学习,使学生加深认识数学知识之间的联系,体会数 学知识抽象性、概括性和应用性,培养起学生学习数学的兴趣,形成学数学、用数学的思 维和意识,培养学好数学的信心,为远大的志向而不懈奋斗。 (2)通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索,不断培养自主学习、主动探索、善 于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神,并提高参与意识和合作精神;

教学重点:
平面向量的数量积定义及应用(能利用数量积解决求平行、垂直、夹角等问题)

教学难点:
平面向量的数量积与向量投影的关系; 运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学过程:
一、情景导入、引出新课 1、 提出问题 1: 请同学们回顾一下, 我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么 ? 期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的 顺序研究了这种运算的? 期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量数量积 的物理背景及其含义 二、合作探究,精讲点拨 探究一:数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, F

α

S

那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cosα 。 (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④α 是 量, 量, 量, 。

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 (1) 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b b︱cos ? 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? (2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有 哪些? 期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量

a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关。
(4)学生讨论,并完成下表:

? 的范围
a · b 的符号

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

(5)探究题组一 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角 是 60°时,分别求 a · b . 解:①当 a ∥ b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ =0°, ∴ a · b =| a |·| b |cos0°=3×6×1=18; 若 a 与b反向,则它们的夹角 θ =180°, ∴ a · b =| a || b |cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当 a ⊥ b 时,它们的夹角 θ =90°, ∴ a · b =0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有

1 a · b =| a || b |cos60°=3×6× =9 2
评述: 两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0° ,180° ],因此,当 a ∥ b 时,

有 0° 或 180° 两种可能.

探究二:研究数量积的几何意义 1.给出向量投影的概念: 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 注:投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角 时投影为 0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么? 期望学生回答:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影 ︱ b ︱cos ? 的乘积。 探究三:探究数量积的运算性质 1、数量积的性质 性质:若a和b均为非零向量 (1)a⊥b ? a·b=0 (垂直) (2)a与b同向时,a·b =︱a︱·︱b︱,a与b 反向 时,a·b =-︱a︱·︱b︱ 特别地:a·a=︱a︱2 = a ? a (长度) (3)cosθ =

a ?b (夹角) a?b

(4)︱a·b︱ ≤︱a︱·︱b︱(注意等号成立的条件) 2 、探究题组二(师生共同完成)已知︱ a ︱ =6 ,︱ b ︱ =4, a 与 b 的夹角为 60 °, 求 ( a +2 b ) · ( a -3 b ) ,并思考此运算过程类似于实数哪种运算? 解: ( a +2 b ) · ( a -3 b )= a . a -3 a . b +2 a . b -6 b . b =36-3×4×6×0.5-6×4×4 = -72

评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律 变式: (1)( a + b ) = a +2 a · b + b
2 2 2 2

(2)( a + b )·( a - b )= a — b

2

探究四、数量积的运算律:
(1)交换律: (2)对数乘的结合律: (3)分配律: 注意:数量积不满足结合律和消去律,即: (1) ; ;

? ? ? ? ? ? ? ? a ? kb 与a ? kb 互相垂直? 探究题组 3:已知 a ? 3, b ? 4, a与b 不共线, k为何值时,向量

(2)_______________

解: (a ? kb) ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0
? a ? k 2 b ? 0 ? 9 ? 16 k 2 ? 0 ? k ? ?
2 2

3 4

三、思悟小结:
知识线: (1)平面向量的数量积; (2)平面向量的数量积的几何意义; (3)平面向量数量积的重要性质及运算律; (4)平面向量的数量积与向量投影的关系。 思想方法线: (1)公式或定义法; (2)数形结合、分类讨论等思想方法。

四、针对训练
1、

巩固提高:

? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? ? (4) a ? b ? c ? a ? b ? c
(1) ??a ? ? b ? ? a ? b ? a ?

下列各式:

? ?

? ?

? ? ? ?
? ? ?

? ?

2、 已知: a ? ?2,3?, b ? ?? 4,7? ,则 a 在 b 上的投影为 3、 下列命题中 (1) 若a ? 0, 则对任意向量 b 有a ? b ? 0

正确的个数为

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? (2) 若a ? 0, 则对任一个非零向量 b ,有a ? b ? 0 ? ? ? ? ? (3) 若a ? 0, a ? b ? 0, 则b ? 0 ? ? ? ? ? (4) 若a ? b ? 0, 则a, b 中至少有一个为 0 ? ? ? ? ? ? ? ? (5) 若a?0,a ?b=a?c,则b=c ? ? ? ? ? ? (6) 若a ? b ? a ? c , 则b ? c , 当且仅当 a ? 0时成立

?

其中真命题的个数有

4、 已知 a ? 3, b ? 4, a与b 的夹角? ? 150 , 求a ? b , a ? b , a ? b
0

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

2

?

?

5、已知:三角形 ABC中,a ? 5, b ? 8, C ? 600 , 求B C ? C A

?

?


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