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第十六讲 三角函数图象与性质三角函数图象与性质复习讲义

第十六讲 三角函数图象与性质 理论知识: 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R (2)值域:都是[-1,1]

k 对于 y ? sin x , x ? 2 ? ? 当
取最小值-1;

?
2

k ? ?Z ? 时, y 取最大值 1;当 x ? 2k ? ?

3? k ?Z ? 2

? 时,y

对于 y ? cos x ,当 x ? 2k ? ?k ?Z 小值-1。

? 时, y 取最大值 1,当 x ? 2k ? ? ? ?k ?Z ? 时, y 取最

(3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是

T?

2? |? |
(4)奇偶性与对称性: 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;
? ?

余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对称中心是 ? k? ?

?

x ? k? ? k ? Z ?
(5)单调性:

? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 2 ?

? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x 在区间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增,? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 2 2? 2 2? ? ?
单调递减;

y ? cos x 在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增,在区间 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单
调递减,。 (6)正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域: {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } 。

(2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
1

(3)周期性:周期是 ? . (4)奇偶性与对称性:奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ?k ? Z ? , ? 2 ?

(5)单调性:正切函数在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。 2 ? 2 ?

一、最值、对称轴、对称中心、周期、单调区间的确定 1、单调性 例 1、函数 y ? sin( x ?

?
4

) 在闭区间(



A

[?

? ?

, ] 上是增函数 2 2

B

[?

3? ? , ] 上是增函数 4 4

C

[?? ,0] 上是增函数

D

[?

? 3?
4 , 4

] 上是增函数

例 2、 y ? 2 sin( A. [k? ? C. [ k? ?

?
3

? 2 x) 单调增区间为( 5 ?] 12
B. [k? ? D. [k? ?



?
12

, k? ?

5 11 ? , k? ? ? ] 12 12

?
3

, k? ?

?
6

]

?

2 , k? ? ? ]其中 k ? Z 6 3

例 3、已知 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a ,则 f ( x ) 的单调增区间___________________ 变式练习 1、函数 f ? x ? ? tan ? x ?

? ?

??

? 的单调增区间为 4?
B

(

)

A

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 2 2? ?
? ? 3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4?

? k? , ? k ?1?? ? , k ? Z
? ?

C ? k? ?

D ? k? ?

?
4

, k? ?

3? 4

? ?,k ? Z ?

2、 y ? sin( ? x ? 2、周期 例 1、求下列函数的周期: (1) y ? sin(

?
4

) 在 x ? [0, 2? ] 的增区间是

?
3

?

?
2

x) ;

(2) y ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ; 2 2 2 2

2

(3) y ? sin x ? cos x ;

(4) y ? cos

2

x x ? sin 2 ; 2 2

(5) y ? cos2 x .

例 2、函数 y ?| sin( 例 3、函数 y=|

x ? ? ) | 的周期为 2 6

1 + sin2x|的周期为 4

变式练习 1、已知函数 y ? 2 sin( kx ?

3? 3? ) 的周期为 ,则k的值为 5 2



2、函数 y=|sin(3x+

? )|的周期为 3

3、函数 y=|2-sinx|的周期为 3、最值和对称轴、对称中心 例 1、对于函数 f(x)=sin(2x+

? ),下列命题: 6
②函数图象关于点(

①函数图象关于直线 x=-

? 对称; 12

5? ,0)对称; 12

③函数图象可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个

? 单位而得到; 6

④函数图象可看作是把 y=sin(x+

? 1 )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 2 6
( )

(纵坐标不变)而得到;其中 正确的命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

例 2、设函数 f (x) = sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ) f (x) 图像的一条对称轴是直线 x ? , 求 ? 的值。

?
8



3

? ,给 出下列三个论断:① f ? x ? 的 2? ? ?? ? 图象关于直线 x ? ? 对称;② f ? x ? 的周期为 ? ; ③ f ? x ? 的图象关于点 ? , 0 ? 对 6 ? 12 ?
例 3、设函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ?

? ?

?

2

?? ?

??

称. 以其中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 题 。 例 4、已知 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? R ) . (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 的最大值,并指出此时 x 的值.

变式练习 1、关于函数 f(x)=4sin(2x+

?
3

), (x∈R)有下列命题:

①y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ② y=f(x)可 改写为 y=4cos(2x- ④ y=f(x)的图象关于直线 x= ?

?
6

);③y=f(x)的图象关于点(-

?
6

,0)对称;

5? 对称;其中正确的序号为 12



2、 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

? 对称, a 的值为 则 ( 8
D.-1



A. 2

B.- 2

C.1

3、已知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

. ? ? a ? 1 ( a 为常数) 6?

(1) 若 x ? ?0,

? ?? 时, f ? x ? 的最大值为 4,求 a 的值 ? 2? ?

(2) 求出使 f ? x ? 取最大值时 x 的集合.

4

二、三角函数图象的变换 例 1、将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 解析式是 ( ) B、 y ? 2 sin 2x C、 y ? sin( 2 x ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数 4

A、 y ? 2 cos 2 x

?
4

) ?1

D、 y ? 2 cos2 x

例 2、设函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,把 f ( x ) 的图像向右平移 m 个单位后,图像恰好为函数

y ? sin x ? cos x 的图像,则 m 的值可以是(
A、



? 4

B、

3? 4

C 、?

D、

? 2

变式练习 1、将函数 y ? sin 4 x 的图像向左平移 像,则 ? 的值为( )

? 个单位,得到函数 y ? sin(4 x ? ? ) 的图 12

A. ?

? 12

B. ?

?
3

C.

? 3

D.

? 12

2、对于函数 f(x)=cos(

? ? 2 x ),下列命题: 3
②函数图象关于点(

①函数图象关于直线 x=-

? 对称; 12

5? ,0)对称; 12

③函数图象可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个

? 单位而得到; 6

④函数图象可看作是把 y=sin(x+

? 1 )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍 2 6
( )

(纵坐标不变)而得到;其中 正确的命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

? 3、要得到函数 y=sin(2x- 3 )的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( ? A.向左平行移动 3 个单位 ? C.向右平行移动 3 个单位
5

)

? B.向左平行移动 6 个单位 ? D.向右平行移动 6 个单位

4、 已知函数 y ? sin 象经过怎样的变化得到的

x x ? 3 cos , x ? R. 的图象是由函数 y ? sin x( x ? R) 的图 2 2

三、根据一段三角函数图象写解析式 例 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )

(A) y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

(B) y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

[来源:学+科 (C) y ? 2 sin(

x ? ? ) 2 3

(D) y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

例 2、已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )+b(ω >0,| ? |<

? 的图象的一部分如图所示。 2

(1)求 f (x) 的表达式;(2)试写出 f (x) 的对称抽方程;(3)求 f (x) 的对称中心。

例 3、已知函数 y= f(x)的图象如图甲,则 y ? f ( ( )
6

?
2

? x ) sin x 在区间[0, ? ]上大致图象是

y
?
?
2

1

y x
? 2

-1

o


o

? 2

?

x

y o
? 2

y
?

x

o

? 2

?

x

y o
? 2

?

x

A

B

D

C

变式练习 1、函数 y ? f (x) 的部分图像如图所示,则 y ? f (x) 的解析式为( A. y ? sin( 2 x ?

)

4 ? ) ?1 5

B. y ? sin( 2 x ?

?
5

) ?1

y
2 1 o
? 10
7? 20

4 C. y ? 2 sin( 2 x ? ? ) ? 1 5

D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
5

) ?1

x

2、函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, | ? | ? 是?

? ?

??

? 在它的某一个周期内的单调减区间 2?

? 5? 11? ? . , ? 12 12 ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式;

? 个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来 6 1 ? ? 3? ? 的 倍 (纵坐标不变) 所得到的图象对应的函数记为 g ? x ? , , 求函数 g ? x ? 在 ? , 2 ?8 8 ? ?
(2)将 y ? f ? x ? 的图象先向右平移 上的最大值和最小值.

7


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