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解析几何2013-2014期末试卷(A卷)


杭州师范大学理学院 2013-2014 学年第一学期期末考试

《解析几何》试卷(A)
一、填空(共 15 分,每空格 3 分)

? 3x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 ? 1、 已知三个平面 ? x ? 7 y ? z ? 2 ? 0 两两相交成的直线互相平行,则 ? = 。 ?2 x ? ? y ? 3z ? 10 ? 0 ? x ? 2 y z ?1 x ? 3 y ?1 z ? 7 ? ? ? ? 2、 已知两直线 与 ,则 l ? 时它们相交。 2 ?3 4 l 4 2
3、 在直角坐标系中,通过原点同时垂直于两平面 2 x ? y ? 5 z ? 3 ? 0 与 x ? 3 y ? z ? 7 ? 0 的平面 方程是 姓名: 线 。

4、 已知四面体的顶点为 A(2,3,1) , B(4,1, ?2) , C (6,3, 7) 和 D(?5, ?4,8) ,则从顶点 D 所引的 高的长度为 。 。

5、 向量 a ? (4, ?3, 2) 在方向角为相等锐角的轴上的投影为 订

?

二、选择(共 21 分,每小题 3 分)
1、 下列叙述错误的是 (A)空间四向量线性相关; (B)两向量的数量积具有交换律; (D)单叶双曲面是直纹面。 ( ) ( )



(C)三向量的向量积具有结合律; 2、 下列叙述正确的是 (A) (a, b , c ) ? (c , b , a) ;

? ? ?

? ? ?

学号:

(B)

x2 y2 ? ? 2 z 是直纹曲面; a 2 b2
2

(C)在空间直角坐标系中, x ? 4 z 表示抛物线;

x y z ? ? 平行于平面 3x ? 2 y ? 7 z ? 1 。 3 ?2 7 ?2 x ? 3 y ? 6 z ? 10 ? 0 3、 判别下列直线与平面的相关位置: ? 与 y ? 4 z ? 17 ? 0 。 ( ? x? y ? z ?5 ? 0
(D)直线 (A) 直线与平面平行(不重合) ; (C) 直线与平面相交; 4、 下列各对直线互相平行的是 班级: (A) (B) 直线与平面垂直; (D) 直线在平面上。 (





x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 与 x ? 1 ? y ?1 ? z ; 1 2 3
《解析几何》试题(第 1 页 共 3 页)

(B) ?

? x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? x ? 2 y ? z ? 11 ? 0 与? ; 3 x ? 2 y ? 6 ? 0 2 x ? z ? 14 ? 0 ? ?

? x?t x ?1 y ? 4 z ? 2 ? ? ? (C) ? y ? 2t ? 1 与 ; 4 7 ?5 ? z ? ?t ? 2 ? x ?3 y ?8 z ?3 x ?3 y ? 7 z ?6 ? ? ? ? (D) 与 。 3 ?1 1 ?3 2 4
5、 两平面 3x ? 6 y ? 2 z ? 7 ? 0 与 3x ? 6 y ? 2 z ? 14 ? 0 之间的距离为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 ) ( )

6、 点 M (2, ?1,3) 和坐标原点在平面 ?1 : x ? 5 y ? z ? 1 ? 0 和 ? 2 : 2 x ? 17 y ? z ? 2 ? 0 的( (A)同一个二面角内; (B)相邻二面角内; (C)对顶二面角内; (D)不能确定。 7、 空间有两条互不垂直的异面直线,将一条绕另一条直线旋转所得的图形为 (A)圆锥面; (B)圆柱面; (C)双曲抛物面; (

)

(D)单叶双曲面。

三、计算题(共 50 分)
1、已知四面体 ABCD 的三个顶点为 A(2,1, ?1) , B(3, 0,1) , C (2, ?1,3) ,其体积 V ? 5 ,且它的 第四个顶点 D 在 Oy 轴上,求 D 的坐标。 (7 分)

2、求通过点 A(4, ?3,1) 且平行于两直线

?x ? 2 y ? z ?1 ? 0 x y z ? ? 和? 的平面。 (6 分) 6 2 ?3 ? 2 x ? z ? 2 ? 0
x ?1 y ?1 z ? 3 ? ? 相交的直线 3 2 ?5

3、求通过点 A(?1, 2, ?3) , 垂直于向量 a ? {6, ?2, ?3} 且与直线 的方程。 (7 分)

?

4、已知三个向量 a ? {3, ?6, ?1}, b ? {1, 4, ?5} 与 c ? {3, ?4,12} ,求向量 a ? b 在轴 c 上的射影。 (6 分)

?

?

?

?

?

?

5、已知准线为 ?

?x ? y2 ? z2 ? x ? 2z

且其母线垂直于这准线所在的平面, 求柱面的方程。 (8 分)

6、求双曲抛物面

x2 y 2 ? ? z 上平行于平面 3x ? 2 y ? 4 z ? 1 ? 0 的直母线方程。 (8 分) 16 4
《解析几何》试题(第 2 页 共 3 页)

7、已知两异面直线 l1 :

x ? 3 y z ?1 x ?1 y ? 2 z ? ? ? ? ,试求 l1 与 l2 间的距离与它 与 l2 : 2 1 0 1 0 1

们的公垂线方程。(8 分) 四、证明题(共 14 分)
1、 (本题 7 分)证明:如果三个矢量 a ? b , b ? c 与 c ? a 共面, 则它们也共线。

? ? ? ?

? ?

2、 (本题 7 分)证明: P 是 ?ABC 重心的充要条件是 PA ? PB ? PC ? 0 。

??? ? ??? ? ??? ?

《解析几何》试题(第 3 页 共 3 页)


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