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2013年-高考试卷及答案解析-数学-文科-陕西(精校版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西文)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共 10 小题,每小 题 5 分,共 50 分) 1. 设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M ,则 CR M 为 A.(-∞,1) B. (1, + ∞) C. (??,1] D. [1, ??)

2. 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) ,若 a//b,则实数 m 等于 A. ? 2 C. ? 2 或 2 B. 2 D. 0

3. 设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A. loga b· logc b ? logc a C. loga (bc) ? loga b? loga c B. loga b· loga a ? loga b D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c
输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出 y

4. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 A.25 B. 30 C.31 D. 61 5.对一批产品的长度(单位: 毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的 频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上为一等品, 在 区间 [15,20)和区间 [25,30) 上为二等品 , 在区间 [10,15) 和 [30,35)上为 三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取 1 件, 则其为二 等品的概率为 (A) 0.09 B.0.20 C.0.25

D.0.45

6. 设 z 是复数, 则下列命题中的假 命题是 . A.若 z 2 ? 0 , 则 z 是实数 C.若 z 是虚数, 则 z 2 ? 0 B.若 z 2 ? 0 , 则 z 是虚数 D.若 z 是纯虚数, 则 z 2 ? 0

7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 A.-6 B.-2 C. 0 D. 2

8. 已知点 M(a,b)在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax ? by ? 1与圆 O 的位置关系是

A.相切

B. 相交

C.相离

D.不确定

9 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形 状为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

10. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x,有 A. [? x] ? ? x C. 2x

? ?

B. [ x ? ] ? ? x ?
1 D. [ x] ? [ x ? ] ? [2x] 2

1 2

? ?

? 2 ? x?

二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

x2 y 2 . ? ? 1 的离心率为 16 9 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表 面积为 .
11. 双曲线 13. 观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

.

x

40m

40m

… 照此规律, 第 n 个等式可为 .

14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边 长x为 (m).

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集 是 .
C B D A

B. (几何证明选做题) 如图, AB 与 CD 相交于点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 ?A ? ?C , PD = 2DA = 2, 则 PE =
2

.
P

?x?t C. ( 坐标系与参数方程选做题 ) 圆锥曲线 ? (t 为参数 ) 的焦点坐标 ? y ? 2t

E



.

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

1 b. 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2

(1) 求 f (x)的最小正周期.
? ?? (2) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

17. (本小题满分 12 分) 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (1) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (2) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD,

AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

(1) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (2) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄 将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中 从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(2) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评 委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.

20. (本小题满分 13 分) 已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (1) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (2) 证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2

f (b) ? f (a) ?a?b? (3) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

参考答案 1.答案:B 解析:?1 ? x ? 0,? x ? 1.M ? (??,1], CR ? (1, ?) ,所以选 B
M

2.答案:C 解析:? a ? (1, m), b ? (m, 2), a / / b,?1 ? 2 ? m ? m ? m ? ? 2. ,所以选 C 3.答案:B

?

?

?

解析: a, b, c ? 1 . 考察对数 2 个公式: log a xy ? log a x ? log a y, log a b ?

log c b log c a

对选项 A: log a b ? log c b ? log c a ? log a b ?

log c a ,显然与第二个公式不符,所以为假。 log c b log c b ,显然与第二个公式一致,所以为真。 log c a

对选项 B: log a b ? log c a ? log c b ? log a b ?

对选项 C: log a (bc) ? log a b ? log a c ,显然与第一个公式不符,所以为假。 对选项 D: log a (b ? c) ? log a b ? log a c ,同样与第一个公式不符,所以为假。 所以选 B 4.答案:C 解析:? x ? 60,? y ? 25 ? 0.6 ? ( x ? 50) ? 31 ,所以选 C 5.答案:D 解析:组距为 5,二等品的概率为 1 ? (0.02 ? 0.06 ? 0.03) ? 5 ? 0.45 。所以,从该批产品中 随机抽取 1 件,则其是二等品的概率为 0.45. 所以选 D 6.答案:C 解析:设 z ? a ? bi, a, b ? R ? z ? a ? b ? 2abi 。经观察,C 和 D 选项可能是互相排斥
2 2 2

的,应重点注意。 对选项 A: 若z ? 0, 则b ? 0 ? z为实数 ,所以 z为实数 为真。
2

对选项 B: 若z ? 0, 则a ? 0, 且b ? 0 ? z为纯虚数 ,所以 z为纯虚数 为真.
2

对选项 C: 若z为纯虚数, 则a ? 0, 且b ? 0 ? z ? 0 ,所以 z 2 ? 0 为假
2

对选项 D: 若z为纯虚数, 则a ? 0, 且b ? 0 ? z ? 0 ,所以 z 2 ? 0 为真.
2

所以选 C 7.答案:A 解析: y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的坐标分别是

? 0,0? , ? ?2,2? , ? 2,2?.
8.答案:B

且当取点 ? ?2, 2 ? 时, 2 x ? y ? ?6 取最小值。所以选 A

解析:点 M (a, b) 在圆 x ? y ? 1外 ? a ? b ? 1.
2 2 2 2

.圆O(0, 0)到直线ax ? by ? 1距离d ?
所以选 B. 9.答案:A

1 a ? b2
2

? 1 =圆的半径,故直线与圆相交。

解析:因为 b cos C ? c cos B ? a sin A ,所以 sin B cos C ? sin C cos B ? sin A sin A 又 sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A 。联立两式得 sin A ? sin A sin A 。 所以 sin A ? 1, A ? 10.答案:D 解析:代值法,故 D 选项为真。所以选 D 11.答案:

?
2

。选 A

5 4

5 b2 9 c 2 25 5 2 解析: 2 ? ?e ? 2 ? ? e ? , 所以离心率为 . 4 a 16 a 16 4
12.答案: 3? 解 析 : 综 合 三 视 图 可 知 , 立 体 图 是 一 个 半 径 r ?1 的 半 个 球 体 。 其 表 面 积 =

1 ? 4?r 2 ? ?r 2 ? 3? 2
13.答案: ( n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?( n ? n) ? 2
n

?1 ? 3 ? 5? ? (2n ? 1)

解析:考察规律的观察、概况能力,注意项数,开始值和结束值。 第 n 个等式可为: 14.答案:400 解析:利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为 y, 由三角形相似得:

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ?1 ? 3 ? 5? ? (2n ? 1)

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , x ? y ? 20, 矩形的面积 s ? xy 取最大值 400.
15. A.答案:R 解析:考察绝对值不等式的基本知识.函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b | 的值域为:

[| a ? b |, ??).,?x ? R,f ( x) ?| a ? b |? 2 .

所以,不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集为 R. B.答案: 6 . 解析: ? BC / / PE ??BCD ? ?PED. 在圆中 ?BCD ? ?BAD ? ?PED ? ?BAD.

? ?EPD ∽ ?APE ?
C 答案:(1, 0) 解析

PE PD ? ? PE 2 ? PA ? PD ? 3 ? 2 ? 6.所以PE ? 6 . PA PE

?x ? t2 . ? y 2 ? 4 x ? 焦点坐标 F (1, 0) ? ? y ? 2t
b = cos x ? 3 sin x ? 16.解:(1) f ( x) ? a·

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 。 2 2 2 6

最小正周期 T ?

2? ?? 。 2

所以 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? 。

(2) 当x ? [0,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数 y ? sin x在[-

? 5?
6 , 6

]上的图像知, .

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? ? 1 ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1, ? . ? 2? 2
17 解:(1) 设公差为 d ,则 an ? a1 ? (n ? 1)d

?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 ? a n ? 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a2 ? a n?1 ) ? ? ? (a n?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? ?S n ? an ? an?1 ? ? ? a 2 ? a1
? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ? n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

,q ? 0,由题知q ? 1。 (2) a1 ? 1
?n ? N *,S n ? 1? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q

?1 a n ? ? n?1 ?q

n ?1 n?2

? a n ? q n?1,n ? N * .

所以, 数列 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列。 18.解:(1) 设 B1D1 线段的中点 O1 .? BD 和 B1D1 是 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对应棱,

? BD / / B1D1 同理,? AO 和 A1O1 是棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的对应线段 ? AO / / AO 1 1 , AO / /OC ? AO 1 1 / /OCAO 1 1 ? OC ? AOCO 1 1 为平行四边形 ? AO 1 / /O 1C.且AO 1 ? BD ? O, O 1C ? B 1D 1 ?O 1 ? .面 A 1 BD / / 面 CD 1B 1
(2) ? AO .是三棱柱 A1B1D1 ? ABD 的高 ? ABCD ? AO 1 1 . AO ? 1. 在 RT ?AOA ,AO ? 1. 1 1 .三棱柱 A1B1D1 ? ABD 的体积 VA1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ? 所以,三棱柱 A1B1D1 ? ABD 的体积 VA1B1D1 ? ABD ? 1 19.解(1) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽取 6 人,从 100 人中抽取 9 人。 (2) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 3 人中任选 1 人,支持支持 1 号歌手的概 率为

1 ? ( 2) 2 ?1 ? 1 2

2 · 3 2 · 6

B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手, 则从 6 人中任选 1 人, 支持支持 1 号歌手的概率为 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率

P?

2 2 2 ? ? . 3 6 9 2 . 9

所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 20.解:(1) 点 M ( x, y ) 到直线 x ? 4 的距离,是到点 N (1, 0) 的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

x2 y2 ? ? 1. 4 3

所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)

P ? 0, 3? , 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题知 2x1 ? 0 ? x2, 2 y1 ? 3 ? y2

椭圆 的上下顶点坐标分别是 即直线 m 斜率 (0, 3)和(0,- 3), 经检验直线 m 不经过这 2 点,

k 存在。 设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24 kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 24 k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x2 1 ( x ? x2 ) 2 ? 2 x1 ? x2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k ?? 2 x2 x1 2 x1 ? x2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ? 21. 【答案】(1) y ? x ? 1

3 2

e2 e2 e2 ( , ? ?) (2)当 m ? (0, ) 时,有 0 个公共点;当 m ? ,有 1 个公共点;当 m ? 有 2 个公共 4 4 4
点; (3) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
x x x

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增,

, 而g (0) ? 0, 且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 .


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