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江苏省启东中学2012-2013学年高一上学期数学期中考试(含答案)

江苏省启东中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高 一 数 学 试 卷
(考试时间:120 分钟,满分:160 分)

命题人:倪生

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填写在答题卷相应位置上.

1. 已知 A ? {x | x ? ?2},B ? {x | x ? m} ,若 B ? A , 则实数 m 的取值范围是_____________. 2.已知 U ? [0,1] , A ? [0,1) ,则 CU A ? _____________. 3.设 A ? {( x, y) | y ? ?4 x ? 6}, B ? {( x, y) | y ? 5x ? 3} ,则 A ? B ? _____________. 4.已知 ? 是第四象限角,则 ?? 是第_____________象限角. 5.函数 f ( x) ?
x?2 的定义域为_____________. x ?1

6.设 x0 是方程 8 ? x ? lg x 的解,且 x0 ? (k , k ? 1)(k ? Z ) ,则 k ? _____________.
1 2 ) ,则 k ? ? ? _____________. 7.已知幂函数 f ( x) ? k ? x? 的图象过点 ( , 2 2

8.已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则 f ( x) ? _____________. 9.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 (a, b ? R) ,若 f (?2) ? 1 ,则 f (2) ? _____________. 10.若 sin x ? ?
3 ? (? ? x ? 0) ,则 tan x ? _____________. 5 2

11. 定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调增函数, 则不等式 f (1) ? f (a) 的
解集是_____________.

12.已知 a ?

1 ? 3 ,那么 a2 ? a?2 ? _____________. a

13.期中考试,某班数学优秀率为 70%,语文优秀率为 75%,上述两门学科都优秀的百分
率至少为_____________.

14. 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 , x ? [?2,2] 和 函 数 g ( x) ? ax ? 1, x ? [?2,2] , 若 对 于 任 意
x1 ? [?2,2] ,总存在 x0 ? [?2,2] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围为
_________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题 14 分)已知集合 A ? {a ? 2,2a 2 ? a},若 3 ? A ,求实数 a 的值.

1

2 2 2 16. (本题 14 分) 设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 0}, B ? {x | x ? 2(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0, m ? R} ,

若 B ? A ( B ? ? ) ,求实数 m 的取值集合.

17. (本题 14 分)已知奇函数 f (x) 的定义域为 (?1,1) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ?
(1)求 f (x) 在 (?1,1) 上的解析式; (2)判断 f (x) 在 (0,1) 上的单调性,并证明之.

2x . 2x ? 1

18. (本题 16 分)设函数 y ? log 2 (ax 2 ? 2 x ? 2) 定义域为 A .
(1)若 A ? R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 log 2 (ax ? 2 x ? 2) ? 2 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

2

19.(本题 16 分) 若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数, 且存在区间 [a, b] ? D (其中 a ? b ) ,
使得当 x ? [a, b] 时, f ( x) 的取值范围恰为 [a, b] ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间

[a, b] 叫做等域区间.
(1)已知 f ( x) ? x 是 [0, ??) 上的正函数,求 f ( x) 的等域区间; (2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? x ? m 是 (??, 0) 上的正函数?若存在,
2

1 2

请求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

20. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | , a ? R .
(1)若 f (0) ? 1 ,求实数 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值.

3

江苏省启东中学 2012-2013 学年第一学期期中考试 高一数学答案
一、填空题:

1. m ? ?2 ; 6. 7 ; 7.

2. {1} ;
3 ; 2

3. {(1, 2)} ;

4. 一;

5. [?2, ?1) ? (?1, ??) ;
3 10. ? ; 4 5 5 14. (??,? ] ? [ ,??) 2 2

8. f ( x) ? x 2 ? 2 x ( x ? ?1) ; 12. 7 ; 13. 45% ;

9. 1 ;

11. (??, ?1) ? (1, ??) ;
二、解答题:

15. 解:因为 3 ? A ,所以 a ? 2 ? 3 或 2a 2 ? a ? 3
当 a ? 2 ? 3 时, a ? 1 , 此时 A ? {3,3} ,不合条件舍去, 当 2a ? a ? 3 时, a ? 1 (舍去)或 a ? ?
2

………………………2 分 ………………………5 分 ………………………7 分

3 ,………………………10 分 2
………………………12 分 ………………………14 分 ………………………2 分

由a ? ? 故a ? ?

3 1 ,得 A ? { ,3} ,成立 2 2

3 2

16. 解:因为 A ? {0, ?4} 由 B ? A ,且 B ? ?
故 B ? {0} 或 B ? {?4} 或 B ? {0, ?4} ①若 B ? {0} ,则 ?

………………………4 分

? ?2(m ? 1) ? 0 ,解得 m ? ?1 ,………………………7 分 2 ?m ? 1 ? 0

此时 B ? {0} ,成立 ②若 B ? {?4} ,则 ?

? ?2( m ? 1) ? 8 ,解得 m ? ? , ……………………10 分 2 ? m ? 1 ? 16 ?2(m ? 1) ? 4 ,解得 m ? 1 ,…………13 分 2 ? m ?1 ? 0
……………………14 分

③若 B ? {0, ?4} ,则 B ? A ,所以 ?

综上所述:实数 m 的取值集合为 {1, ?1}

17. 解: (1)设 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,

4

故 f (? x) ?

2? x 1 , ? x ?x 2 ?1 2 ?1
x

……………………2 分

又 f ( x) 为奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ?

1 ,…………………4 分 2 ?1

由于奇函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) ,所以 f (0) ? 0 …………………6 分
? 2x ? 2x ? 1 ? ? 0 所以 f ( x ) ? ? ? 1 ?? ? 1 ? 2x ? 0 ? x ?1 x?0 ?1 ? x ? 0
………………………9 分 ………………………7 分

(2)解: f ( x) 在 (0,1) 上单调递增. 证明:任取 x1 , x2 ? (0,1) ,且 x1 ? x2

2 x2 2 x1 2 x2 ? 2 x1 ? ? 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ……………11 分 1 ? 2 x2 1 ? 2 x1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

因为 y ? 2 x 在 x ? R 上递增,且 0 ? x1 ? x2 , 所以 2x2 ? 2x1 ? 0 , 因此 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 故 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增.
…………13 分

………………………14 分 ……………2 分

2 18. 解: (1)因为 A ? R ,所以 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? R 上恒成立.

① 当 a ? 0 时,由 ?2 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1,不成立,舍去,…………4 分 ② 当 a ? 0 时,由 ?

?a ? 0 1 ,得 a ? , 2 ? ? x ? 4 ? 8a ? 0

…………6 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ?
2

1 . 2

…………………8 分 …………10 分

(2)依题有 ax ? 2 x ? 2 ? 4 在 x ? [1, 2] 上恒成立, 所以 a ?

2x ? 2 1 1 …………12 分 ? 2( ? 2 ) 在 x ? [1, 2] 上恒成立, 2 x x x 1 1 令 t ? ,则由 x ? [1, 2] ,得 t ? [ ,1] , x 2 1 2 2 记 g (t ) ? t ? t ,由于 g (t ) ? t ? t 在 t ? [ ,1] 上单调递增, 2
5

所以 g (t ) ? g (1) ? 2 , 因此 a ? 4

…………15 分 …………16 分

19.解: (1)因为 f ( x ) ? x 是 [0, ??) 上的正函数,且 f ( x ) ? x 在 [0, ??) 上单调递增,
所以当 x ? [a, b] 时, ?

? a ? a, ? f ( a ) ? a, ? 即? ………………………3 分 ? f (b ) ? b , ? ? b ? b,
………………………5 分

解锝 a ? 0, b ? 1 ,故 f ( x) 的等域区间为 [0,1] (2)因为函数 g ( x) ? x ? m 是 (??, 0) 上的减函数,
2

所以当 x ? [a, b] 时, ?
2 2

? g ( a ) ? b, ? g (b ) ? a ,

即?

? a 2 ? m ? b,
2 ?b ? m ? a,

………………………7 分

两式相减得 a ? b ? b ? a ,即 b ? ?(a ? 1) , 代入 a ? m ? b 得 a ? a ? m ? 1 ? 0 ,
2 2

………………………9 分

由 a ? b ? 0 ,且 b ? ?(a ? 1) 得 ?1 ? a ? ?
2

1 , 2 1 2

………………………11 分

故关于 a 的方程 a ? a ? m ? 1 ? 0 在区间 (?1, ? ) 内有实数解,………13 分

? h(?1) ? 0, ? 记 h(a) ? a ? a ? m ? 1 ,则 ? 1 ?h(? 2 ) ? 0, ?
2

解锝 m ? (?1, ? ) . ………16 分

3 4

20. 解: (1)若 f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1
故?

…………………………2 分 …………………………6 分

?a ? 0 ,得 a ? ?1 2 ?a ? 1
2 2

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ,
2 ? f (a ), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

f ( x) min

……………………10 分

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a ,
2 2
2 ? f ( ? a ), a ? 0 ? ?2a , a ? 0 ? f ( x) min ? ? ?? 2 ……………………14 分 ? 2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ?

综上 f ( x) min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
6

……………………16 分


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