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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十一章 第三节坐标系 理


第三节 坐 标



知识梳理 一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :?
? ?x′=λ ?y′=μ ?

x,λ >0, y,μ >0,



作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸 缩变换. 二、极坐标系的概念 1.极坐标系.

如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再 选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建 立了一个极坐标系. 注意: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数 轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标系都 是平面坐标系. 2. 极坐标. 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ ;以极轴 Ox 为 始边,射线 OM 为终边的角∠xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ .有序数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极 坐标,记作 M(ρ ,θ ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ ≥0,θ 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0,θ )(θ ∈R),和直角坐标不同,平面内一 个点的极坐标有无数种表示.

如果规定 ρ >0,0≤θ <2π ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ ,θ ) 表示;同时,极坐标(ρ ,θ )表示的点也是唯一确定的. 三、极坐标和直角坐标的互化 1.互化条件:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标 系中取相同的长度单位,如图所示: 2.互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y ),极坐标是(ρ ,
1

θ )(ρ ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公 式如表: 点M 直角坐标(x,y)
2

极坐标(ρ ,θ )
2 2

互化公式

?x=ρ cos θ , ? ? ?y=ρ sin θ ?

ρ = x +y , ? ? ? y ?tan θ =x x ?

在一般情况下,由 tan θ 确定角时,可根据点 M 所在的象限取最小正角. 四、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 ρ =r(0≤θ <2π ) π π ρ =2rcos θ ?- ≤θ < ? ? 2 2? ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) (1) θ =α (ρ ∈R)

圆心为(r,0),半径为 r 的圆 圆心为?r, π? ,半径为 r 的圆 2?

?

过极点,倾斜角为 α 的直线 (2)θ =α (ρ ≥0)和 θ =π +α (ρ ≥0) 过点(a,0),与极 轴垂直的直线 过点?a, π? ,与极轴平行的直线 2?

ρ cos θ =a?-

π π <θ < ? ? 2 2?

?

ρ sin θ =a(0<θ <π )

基础自测 1.在极坐标系中,圆 C:ρ =10cos θ 和直线 l:3ρ cos θ -4ρ sin θ -3 0=0 相 交于 A,B 两点,则线段 AB 的长是________. 解析:分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程:圆 C:x2 +y2 =10x,即(x 2 2 -5) +y =25,圆心 C(5,0).直线 l:3x-4y-30=0. |15-0-30| 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= =3 .所以|AB|=2 25-d2 =8. 5 答案: 8 2.在极坐标系中,过圆 ρ =4cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ________________. 解析:圆的直角坐标方程为 x +y -4x=0,圆心为(2,0),过该点的直线的极坐标方程 为 ρ cos θ =2. 答案: ρ cos θ =2 π? , 点 P 是曲线 ρ sin2 θ =4cos θ ? 2? 上任一点,设点 P 到直线 ρ cos θ +1=0 的距离为 d,则|PA|+d 的最小值为________. 3. (2013·广州二模)在极坐标系中, 已知点 A?1,
2 2

2

解析: ρ sin2 θ =4c os θ 的直角坐标方程为 y2 =4x,它是抛物线,焦点为 F(1,0), π 准线为 x+1=0,即直线 ρ cos θ +1=0,点 A?1, ?是直角坐标为 A(0,1).根据抛物线 ? 2? 的定义,d=|PF|,所以|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|= 2. 答案: 2 π 4.已知曲线 C1 ,C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ ρ ≥0,0≤θ < , 2 则曲线 C1 ,C2 交点的极坐标为________.

? ?ρ cos θ =3, 解析:联立解方程组? ?ρ =4cos θ , ?

? ? ρ =2 3, π ρ ≥0,0≤θ < ,解得? π 2 θ = , ? ? 6

即两

曲线的交点为 2 3, 答案: 2 3, π 6

π . 6

1. (2013·北京卷)在极坐标系中, 点?2,

?

π? 到直线 ρ sin θ =2 的距离等于________. 6?

π? 对应直角坐标系中坐标为( 3, 1), 极坐标系直线 ρ sin θ 6? =2 对应直角坐标系中直线方程为 y=2,所以点到直线 y=2 的距离为 d=1. 答案: 1

解析:极坐标系中点?2,

?

2.(201 3·天津卷)已知圆的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,圆心为 C,点 P 的极坐标为 π ?4, ?,则|CP|=________________. ? 3? 解析:由 ρ =4cos θ 得:ρ 2 =4ρ cos θ ,化为直角坐标方程得 x2 +y2 =4x,即(x- 2 2) +y =4, π 圆心 C(2,0),点 P?4, ?的直角坐标为 P(2,2 3). ? 3? 由两点间距离公式得 |CP|=2 3.
2

答案: 2 3

1.(2013·深圳二模)在极坐标系中,已知两圆 C1 :ρ =2cos θ 和 C2 :ρ =2sin θ , 则过两圆圆心的直线的极坐标方程是____________. 解析:两圆的直角坐标方程分别为 x2 +y2 -2x=0,x2 +y2 -2y=0,两圆的圆心分别为 (1,0),(0,1),过这两点的直线方程为 x+y-1=0,化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ -1=0. 答案: ρ cos θ +ρ sin θ -1=0
3

2. (2013·揭阳二模)在极坐标 系中, O 是极点, 直线 l 过圆 C: ρ =2 2cos?θ -

?

π? 的 4?

圆心 C,且与直线 OC 垂直,则直线 l 的极坐标方程为__________. π? 2 2 化为直角坐标方程为 x +y -2x-2y=0,圆心 C 的坐标 4? 为(1,1), 与直线 OC 垂直的直线方程为 x+y-2=0, 化为极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ π? ? ? ? -2=0 也可以写成ρ cos θ - = 2 . ? ? 4? ? π 答案: ρ cos θ +ρ sin θ -2=0?也可以写成ρ cos θ ? θ - ? = 2 ? ? ? 4? ? 解析:把 ρ =2 2cos θ -

? ?

4


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