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2015年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)


2015 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2015 年 4 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知全集 U ? Z , 则 (CU A) ? B 是 (▲) A ? {x | x ? 2n, n ? Z}, B ? {x | x ? 3n, n ? Z} , A. {x |? x ? 6n ? 1, n ? Z } C. {x | x ? 6n ? 3, n ? Z } B. {x | x ? 6n ? 2, n ? Z } D. {x |? 3n ? 1, n ? Z }

2.已知扇形的面积为 2 ,扇形圆心角的弧度是 4 ,则扇形的周长为(▲) A. 6 B. 6 2 C. 10 D. 12

3. 函数 y ? 2 x 4 ? x 2 的值域是(▲) A. [0,4] 4.设 f ( x) ? B. [?4,4] C. [?2,2] D. [0,2]

x ?1 , 记 f1 ( x) ? f ( x) ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) ,则 f 2015 ( x) ? (▲) x ?1
B. ?

A. x

1 x

C.

x ?1 x ?1

D.

1? x 1? x

5.化简
2

cos2? 4 sin ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4

?

?

? (▲)

A. cos?

B. sin ?

C. 1

D.

1 2

6.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? .若 | a ? b |? 1,则 ? 的取值范围为(▲) A. 0 ? ? ?

?
3

B.

?
3

?? ?

?
2

C.

?
3

?? ??

D.

?
3

?? ??

7.设 x ? (?

1 ,0) ,以下三个数 ?1 ? cos(sin?x),? 2 ? sin(cos?x),? 3 ? cos(x ? 1)? 的大 2

小关系是(▲) A. ? 3 ? ? 2 ? ?1 B. ?1 ? ? 3 ? ? 2 C. ? 3 ? ?1 ? ? 2 D. ? 2 ? ? 3 ? ?1

3 3 2 2 8.若对任意的实数 m, n ,有 m ? n ? log 3 ( m ? 1 ? m) ? log 3 ( n ? 1 ? n) 成立,则

有(▲) A. m ? n ? 0 C. m ? n ? 0 9.方程 A. 62
3

B. m ? n ? 0 D. m ? n ? 0

1 log 2 x ? sin( 4?x) 的实根个数是(▲) 4
B. 63 C. 64 D. 65

10.设方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的三个实根是 x1 、 x2 、 x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) .则代数式

( x3 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) 的值为(▲)
A. ? 2 B. ? 1 C. 1 D. 0

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.

11.函数 y ?

2? x 的定义域为 log2 x



. ▲ ▲ . .

12.若 log3 (log9 x) ? log9 (log3 x) ,则 x ? 13. 不等式 | x |3 ?2 x 2 ? 5 | x | ?6 ? 0 的解集是

14.已知 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) 在区间 [0,??) 上是增函数,若 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 在区 间 [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是

1 2



.

15. 定义区间 [ x1 , x 2 ] 的长度为 x2 ? x1 ( x2 ? x1 ) ,已知函数 f ( x) ?

(a 2 ? a) x ? 1 (a ? R, a ? 0) a2 x
▲ .

的定义域与值域都是 [m, n](n ? m) ,则区间 [m, n] 取最大长度值为

16.若 ?ABC 的重心为 G ,AB ? 2, AC ? 3, BC ? 4 , 动点 P 满足 GP ? xGA ? yGB ? zGC ( 0 ? x, y, z ? 1 ) ,则点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ▲ .

17.已知函数

f ( x) ? x 2 ? 3 | x ? a | ,若 [ f ( x) ? b]2 ? 4 对任意 x ?[?1,1] 恒成立,
▲ .

则 3a ? b 的取值集合

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3(? ? 0) 的最 小正周期为 ?. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的 6

图像.若 y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 上至少有 20 个零点,求 b 的最小值.

19. (本题满分 18 分)已知 O 为坐标原点, OA ? (a,0),OB ? (0, a),OC ? (3,4) . (I)当 a ? [?4,0] 时,求 | OA ? OB ? OC | 的取值范围; (II)若 OP ? ( x, y) ,记 M ? max{| PA |, | PB |, | PC |} ,当 a 取遍一切实数时,求 M 的 最小值.

20. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) , g ( x) ? dx ? ex ? f (d , e, f ? R) .
2 2 2 (I)当 a ? 1 时,对任意实数 x 均有 | f ( x) |?| 2x ? 3x ? 1 | ,求函数 f ( x) 的解析式; 2 2 (II)若 f ( x) ?| g ( x) | 对任意实数 x 成立,求证: 4ac ? b ?| 4df ? e | .

2015 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2015 年 4 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已 知 全 集 U ? Z , A ? {x | x ? 2n, n ? Z}, B ? {x | x ? 3n, n ? Z} , 则 (CU A) ? B 是 ( C ) A. {x |? x ? 6n ? 1, n ? Z } C. {x | x ? 6n ? 3, n ? Z } B. {x | x ? 6n ? 2, n ? Z } D. {x |? 3n ? 1, n ? Z}

解析: CU A ? {x | x ? 6n ? 1, x ? 6n ? 3, n ? Z}, B ? {x | x ? 6n, x ? 6n ? 3, x ? Z} , 则 (CU A) ? B = {x | x ? 6n ? 3, n ? Z },故答案选 C . 2.已知扇形的面积为 2 ,扇形圆心角的弧度是 4 ,则扇形的周长为( A ) A. 6 B. 6 2 C. 10 D. 12

?1 lr ? 2 ? ?r ? 1 ?2 解析:设扇形的半径为 r , 弧长为 l . 由题意: ? ,解得 ? ,所以扇形的周长为 l l ? 4 ? ? ?4 ? ?r
l ? 2r ? 6 ,故答案选 A .
3.函数 y ? 2 x 4 ? x 2 的值域是( B ) A. [0,4] B. [?4,4] C. [?2,2] D. [0,2]

解析:? 函数 y ? 2 x 4 ? x 2 是在 [?2,2] 上的奇函数,? 只需考虑当 x ? [0,2] 时函数的取

y ? 2 4 x 2 ? x 4 ? 2 ? ( x 2 ? 2) 2 ? 4 ? [0,4] , 值范围, 当 x ? [0,2] 时, 所以函数 y ? 2 x 4 ? x 2
的值域为 [?4,4] ,答案选 B. 4.设 f ( x) ?

x ?1 , 记 f1 ( x) ? f ( x) ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) ,则 f 2015 ( x) ? ( D ) x ?1

A. x

B. ?

1 x

C.

x ?1 x ?1

D.

1? x 1? x

x ?1 1 ?1 ? ?1 x ?1 x ?1 1 1 x ?1 解析: f 2 ( x) ? f ( , )? ? ? , f 3 ( x) ? f (? ) ? x ?? 1 x ?1 x ?1 x x x ?1 ? ?1 ?1 x x ?1 x ?1 f 4 ( x) ? f (? )? x ?1 x ?1 ?1 x ? 1 ? x , f ( x) ? x ? 1 ? f ( x) ,依次类推可知: f ( x) ? f ( x). 5 1 n? 4 n x ?1 x ?1 ? ?1 x ?1 ?
x ?1 ,故答案选 D. x ?1

所以 f 2015 ( x) ? f 3 ( x) ? ?

5. 化简
2

cos2? 4 sin ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4

?

?

?( D )

A. cos?

B. sin ?

C. 1

D.

1 2

1 ? cos( ? 2? ) ? 1 ? tan? 2 ? 2 解析:先考虑分母: 4 sin ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4 ? 4 4 2 1 ? tan?
? 2(1 ? sin 2? ) ? cos ? ? sin ? 1 ? 2(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2 cos 2? ,所以原式等于 . cos ? ? sin ? 2

?

6.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? .若 | a ? b |? 1,则 ? 的取值范围为( C ) A. 0 ? ? ?

?
3

B.

?
3

?? ?

?
2
2

C.

?
3

?? ??
2

D.

?
3

?? ??

解析:? | a ? b |? 1,两边平方可得: a ? 2a ? b ? b ? 1 ,因为 a 与 b 均为单位向量,则

cos ? ?

1 ? ,又因为 ? ? [0, ? ] ,则 ? ? ? ? ,答案选 C . 2 3

7.设 x ? (?

1 ,0) ,以下三个数 ?1 ? cos(sin?x),? 2 ? sin(cos?x),? 3 ? cos(x ? 1)? 的大 2

小关系是( A ) A. ? 3 ? ? 2 ? ?1 B. ?1 ? ? 3 ? ? 2 C. ? 3 ? ?1 ? ? 2 D. ? 2 ? ? 3 ? ?1

解析:法一:取特殊值 x ? ?

1 2 2 2 ,则 ? 1 ? cos , ? 2 ? sin ,?3 ? ? , 4 2 2 2

0?

2 ? ? ,则 ? 3 ? ? 2 ? ?1 ,答案选 A . 2 4
1 ? ? ,0) 时,?1 ? 0,? 2 ? 0,? 3 ? 0 ,? 1 ? sin( ? sin ?x) ,此时 ? sin ?x 2 2 2

法二:当 x ? (?

与 cos?x 都属于区间 (0,

?
2

) ,易知

?
2

? sin ?x ? cos ?x ,则 ?1 ? ? 2 .

3 3 2 2 8.若对任意的实数 m, n ,有 m ? n ? log 3 ( m ? 1 ? m) ? log 3 ( n ? 1 ? n) 成立,则

有( B ) A. m ? n ? 0 C. m ? n ? 0 B. m ? n ? 0 D. m ? n ? 0

3 3 2 2 2 2 解析: 因为 m ? n ? log 3 ( m ? 1 ? m) ? log 3 ( n ? 1 ? n) ? ? log 3 ( m ? 1 ? m) ? log 3 ( n ? 1 ? n) ,

3 2 3 2 3 2 则 m ? log 3 ( m ? 1 ? m) ? ?n ? log 3 ( n ? 1 ? n) , 构造函数 f ( x ) ? x ? log 3 ( x ? 1 ? x) 是

单调递增函数,则 m ? ?n ,所以 m ? n ? 0 ,答案选 B. 9.方程 A. 62

1 log 2 x ? sin( 4?x) 的实根个数是( B ) 4
B. 63 C. 64 D. 65

4?x) 的图像可知有 63 个交点,所以 方程 解析:考虑函数 y ? log2 x 和函数 y ? 4 sin (
1 log2 x ? sin(4?x) 的实根个数是 63 个. 4

10.设方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的三个实根是 x1 、 x2 、 x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) .则代数式
3

( x3 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) 的值为(D)
A. ? 2 B. ? 1
3

C. 1

D. 0
? ?

解析:利用三倍角公式得到方程: x ? 3x ? 1 ? 0 的三个根是 2 cos140 、 2 cos100 、

2 cos 20? ,再化为三角求值,答案为 0 .
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分.

11.函数 y ?

2? x 的定义域为___________. log2 x

?2 ? x ? 0 ? , 则函数的定义域为 {x | 0 ? x ? 2且x ? 1} . 解析: ? x ? 0 ?log x ? 0 ? 2
12. 若 log3 (log9 x) ? log9 (log3 x) ,则 x ? .

解析:设 log9 x ? t ,则 log3 x ? 2t ,所以 log 3 t ? log 9 (2t ) ? 所以 t ? 2 ,故 x ? 81 . 13.不等式 | x | ?2 x ? 5 | x | ?6 ? 0 的解集是_________.
3 2

1 log 3 (2t ) , t 2 ? 2t , 2

3 2 解析:观察可知 x ? 1 是方程 | x | ?2 x ? 5 | x | ?6 ? 0 的一个根,则

| x |3 ?2x 2 ? 5 | x | ?6 ? (| x | ?1)(| x | ?3)(| x | ?2) ? 0 ,所以1 ?| x |? 3 ,
所以原不等式的解集为 (?3,?1) ? (1,3) . 14.已知 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) 在区间 [0,??) 上是增函数,若 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 在区 间 [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是__________. 解析: 则 f (| ax ? 1 |) ? f (| x ? 2 |) , 又 f ( x) 在区间 [0,??) 上是增函数, ? f ( x) 是偶函数,

1 2

3 ? 1 ?| a ? 1 |? 则 | ax ? 1 |?| x ? 2 | ,由数形集合可知只需: ? 2 2 ,解得 ? 2 ? a ? 0 . ? ?| a ? 1 |? 1

15. 定义区间 [ x1 , x 2 ] 的长度为 x2 ? x1 ( x2 ? x1 ) ,已知函数 f ( x) ?

(a 2 ? a) x ? 1 (a ? R, a ? 0) a2 x
▲ .

的定义域与值域都是 [m, n](n ? m) ,则区间 [m, n] 的最大长度值为

(a 2 ? a) x ? 1 解析:由题意知:函数 f ( x) ? 的定义域为 {x | x ? 0} , [m, n] 是函数 f ( x) 的定 a2 x
义域的子集, 所以 [m, n] ? (??,0) 或 [m, n] ? (0,??) , 而 f ( x) ?

a ?1 1 ? 在区间 [m, n] 上 a a2x

单调递增,则 ?

? f (m) ? m , 即 m, n 时方程 f ( x) ? x 的两个根,即 m, n 是方程 ? f ( n) ? n

a 2 x 2 ? (a 2 ? a) x ? 1 ? 0 的同号的相异实根, ? ? 0 ,解得: a ? 1 或 a ? ?3.
1 1 4 2 3 . ? 3( ? ) 2 ? ,当 a ? 3 时, n ? m 的最大值为 3 a 3 3

而n?m ?

16.若 ?ABC 的重心为 G ,AB ? 2, AC ? 3, BC ? 4 , 动点 P 满足 GP ? xGA ? yGB ? zGC ( 0 ? x, y, z ? 1 ) ,则点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于___________. 解析: 极端值方法: 令 x ? 0, 则 GP ? yGB ? zGC , 则点 P 位于平行四边形 GBG1C 内 (如 图所示) ,同理可得另外两种情况,

则点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积 S 是 ?ABC 的面积的两
倍, 令 BD ? x ,则 CD ? 4 ? x ,由勾股定理:

AB2 ? BD2 ? AC 2 ? CD 2 可求得: x ?

11 . 8

则 AD ?

1 3 15 3 15 3 15 ? . ,所以 S ? 2S ABC ? 2 ? ? 4 ? 2 8 2 8

17. 已知函数

f ( x) ? x 2 ? 3 | x ? a | ,若 [ f ( x) ? b]2 ? 4 对任意 x ?[?1,1] 恒成立,
▲ .{?2}

则 3a ? b 的取值集合

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin ?x cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3(? ? 0) 的最 小正周期为 ?. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的 6

图像.若 y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 上至少有 20 个零点,求 b 的最小值. 解: (Ⅰ)f ( x) ? 2 sin ?x cos ?x ? 2

3 cos2 ?x ? 3 ? sin 2?x ? 2 3 ?
?
3 )

1 ? cos 2?x ? 3 2

? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

…………3 分 …………5 分 , …………6 分

? 函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,则 T ?
所以 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 解得 k? ?

?
3

) ,令 2k? ? 5? , 12

?
2

2? ? ? ,则 ? ? 1 , 2? ? 2x ?

?

?
12

3

? 2k? ?

?

2

? x ? k? ?

则函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?
12

, k? ?

5? ], k ? Z . 12

…………8 分

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 sin 2 x ? 1 ,令 g ( x) ? 0 , 得 x ? k? ?

7 11 ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z . 12 12

…………11 分

所以在每个周期上恰好有两个零点,若 y ? g ( x) 在 [0, b] 上至少有 20 个零点,即 b 应该大 于等于第 20 个零点的横坐标, 则 bmin ? 9? ? …………13 分 …………15 分

11 119 ?? ?. 12 12

19. (本题满分 18 分)已知 O 为坐标原点, OA ? (a,0),OB ? (0, a),OC ? (3,4) . (I)当 a ? [?4,0] 时,求 | OA ? OB ? OC | 的取值范围; (II)若 OP ? ( x, y) ,记 M ? max{| PA |, | PB |, | PC |} ,当 a 取遍一切实数时,求 M 的 最小值. 解: (Ⅰ)由题意: OA ? OB ? OC ? (a ? 3, a ? 4) , …………1 分

则 | OA ? OB ? OC |?

(a ? 3) 2 ? (a ? 4) 2 ? 2a 2 ? 14 a ? 25

…………3 分 …………4 分 …………6 分 …………8 分

令 f (a) ? 2a 2 ? 14a ? 25,对称轴 a ? ? 则 f (a) min ? f (? ) ?

7 ? [ ?4,0] 2

7 2

1 , 2

由对称轴易知: f (0) ? f (?4) ,所以 f (a) max ? 25 , 故 | OA ? OB ? OC |?

(a ? 3) 2 ? (a ? 4) 2 ? 2a 2 ? 14a ? 25 ? [

2 ,5] .…………10 分 2

(II)对于某个固定的 a , M 的最大值显然可以趋向 ? ? ,实际上就是当 P 为 ?ABC 的外 心时,此时 | PA |?| PB |?| PC | 取最小值,因为当 P 不是外心时,| PA |, | PB |, | PC | 至少有 一个会变大,这样 M 就变大, 外心坐标为 P( …………12 分

a 2 ? 25 a 2 ? 25 , ), 2a ? 14 2a ? 14

…………14 分

要使 | PA |?| PB |?| PC | 最小,需要 故 M 的最小值为 7 ? 2 6. 20. (本题满分 18 分)

a 2 ? 25 ? a ,解得 a ? 7 ? 2 6 , 2a ? 14

…………17 分

…………18 分

已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) , g ( x) ? dx ? ex ? f (d , e, f ? R) .
2 2 2 (I)当 a ? 1 时,对任意实数 x 均有 | f ( x) |?| 2x ? 3x ? 1 | ,求函数 f ( x) 的解析式; 2 2 (II)若 f ( x) ?| g ( x) | 对任意实数 x 成立,求证: 4ac ? b ?| 4df ? e | .

解: (Ⅰ)设方程 2 x ? 3x ? 1 ? 0 的两个实根分别为 1 和
2

1 2

则由条件可知: | f (1) |? 0, | f ( ) |? 0 ,从而 f (1) ? f ( ) ? 0 , 由韦达定理知: b ? ?

1 2

1 2

3 1 ,c ? , 2 2
2

故函数 f ( x) 的解析式为: f ( x) ? x ?

3 1 x? . 2 2

…………6 分

(II) 若a ? 0, 则d ? 0 , 此时式子转化为 | ex ? f |? bx ? c , 即 ? bx ? c ? ex ? f ? bx ? c 对任意 x ? R 恒成立,易知 b ? e ? 0 ,故要证明的不等式显然成立. …………8 分

当 a ? 0 时, ax2 ? bx ? c ?| dx2 ? ex ? f |? 0 恒成立,因此 a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0 .进一步, 我们不妨设 d ? 0 ,则 ax2 ? bx ? c ?| dx2 ? ex ? f |? dx2 ? ex ? f ,可以知道 a ? d ? 0 . 记 g ( x) ? dx2 ? ex ? f ,下面分两种情况: (ⅰ)若 e 2 ? 4df ? 0 ,则由 ax2 ? bx ? c ?| g ( x) | 可以得到:

? ax2 ? bx ? c ? dx2 ? ex ? f ? ax2 ? bx ? c 对任意 x ? R 恒成立
即: (a ? d ) x 2 ? (b ? e) x ? c ? f ? 0 及 (a ? d ) x 2 ? (b ? e) x ? c ? f ? 0 对任意 x ? R 同时 恒成立. 所以 (b ? e) 2 ? 4(a ? d )(c ? f ) ? 0 及 (b ? e) 2 ? 4(a ? d )(c ? f ) ? 0 同时成立, 两个式子相加可以得到: b 2 ? e 2 ? 4ac ? 4df ? 0 ,则 4ac ? b 2 ? e 2 ? 4df ?| 4df ? e 2 | , 即要证明的不等式成立. (ⅱ)若 e ? 4df ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,且 g ( x) min
2

…………14 分

4df ? e 2 ? . 4d

在已知条件中取 x ? ?

b 4ac ? b 2 b 4df ? e 2 ? g (? ) ? ,则可以得到: , 2a 4a 2a 4d
…………18 分

由 a ? d ? 0 可以知道: 4ac ? b 2 ? 4df ? e 2 ?| 4df ? e 2 | .


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