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《3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式》 教案


同角三角函数的基本关系与诱导公式
适用学科 适用区域 数学 新课标 适用年级 课时时长(分钟) 高三 60

同角三角函数的基本关系;利用同角关系进行化简和求值

知 识 点

π 诱导公式二(π+α) ;诱导公式三(-α) ;诱导公式四(π-α) ;诱导公式五( -α) 2 π 诱导公式六( +α) ;诱导公式二的综合应用 2

教学目标

π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 sin x 2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, =tan x. cos x 1.利用诱导公式求某角的三角函数值或求某三角函数式的值. 2.借助诱导公式对三角函数式进行化简或证明. 灵活应用诱导公式

教学重点 教学难点

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教学过程 一、课堂导入 哲学中有个命题:任何事物之间都存在着某种联系,联系是普遍存在的.比如蝴蝶效应,在南美洲亚马孙河流域的 热带雨林中,一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.这从一个侧面说明事物的 普遍联系性.既然这样,作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗?它们具有怎样的关系?这些关系又有哪 些应用呢?

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二、复习预习

1. 弧度制角度制的关系 2. 任意角的三角函数的求法、三角函数符号、三角函数线

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三、知识讲解 考点 1 同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1; (2)商数关系:tan α= sin α . cos α

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考点 2

诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α(k ∈Z) sin_α cos_α tan_α 二 π+α -sin_α -cos_α tan_α 三 -α -sin_α cos_α -tan_α 四 π-α sin_α -cos_α -tan_α 函数名改变符号看象限 五 π 2-α cos_α sin_α 六 π 2+α cos_α -sin_α

函数名不变符号看象限

即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号; π α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 2±

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考点 3

三角形中的诱导公式

在三角形 ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, C ?A B? ? π C? sin? 2 + 2 ?=sin?2- 2 ?=cos 2 , ? ? ? ? C ?A B? ?π C? cos? 2 + 2 ?=cos?2- 2 ?=sin 2 . ? ? ? ?

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四、例题精析 【例题 1】 【题干】已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α.

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【解析】∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β.② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β.③ 由①+③得 sin2α+9cos2α=4. 又 sin2α+cos2α=1, 3 6 ∴cos2α=8,∴cos α=± 4 .

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【例题 2】 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?cos? 2 -α?tan2?π-α? ? ? ? ? 【题干】 (1)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根, 且 α 是第三象限角, 则 =( ?π ? ?π ? cos?2-α?sin?2+α? ? ? ? ? 9 A.16 3 C.-4 9 B.-16 3 D.4 )

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 1? ? 23π? ?sinα≠-2?,则 f?- 6 ?=________. (2)设 f(α)= ? ? ? ?3π ? ?π ?? 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ?

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3 【解析】(1)选 B ∵方程 5x2-7x-6=0 的根为 x1=2,x2=- , 5 3 4 3 由题知 sin α=-5,∴cos α=-5,tan α=4. ∴原式= cos α?-sin α?tan2α 9 2 =- tan α =- sin αcos α 16. ?-2sin α??-cos α?+cos α 1+sin2α+sin α-cos2α

(2)∵f(α)= =

2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = , 2sin2α+sin α sin α?1+2sin α? tan α 1 1 = = π? π= 3. ? 23π? ? tan?- 6 ? tan?-4π+6? tan6 ? ? ? ? 1

? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? 答案: 3

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【例题 3】 【题干】在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

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【解析】∵sin A+cos A= 2, ∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1. ∵A 为△ABC 的内角, π π ∴2A=2,∴A=4. ∵ 3cos A=- 2cos(π-B), π 3 ∴ 3cos4= 2cos B,∴cos B= 2 . π ∵0<B<π,∴B=6. 7π ∵A+B+C=π,∴C=12. π π 7π ∴A=4,B=6,C=12.

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五、课堂运用 【基础】 3 1.α 是第一象限角,tan α=4,则 sin α=( 4 A.5 4 C.-5 3 B.5 3 D.-5 )

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解析:选 B tan α=

sin α 3 3 = ,sin2 α+cos2α=1,且 α 是第一象限角,所以 sin α= . cos α 4 5

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2.(2013· 安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin2x+1=( A.0 4 C.3 9 B.5 5 D.3

)

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2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 解析:选 B sin x+1= 2 = 2 = . sin x+cos2x tan x+1 5
2

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π 3.(2013· 西安模拟)已知 2tan α· sin α=3,-2<α<0,则 sin α=( 3 A. 2 C. 1 2 3 B.- 2 D.- 1 2

)

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2sin2α 解析:选 B 由 2tan α· sin α=3 得, =3, cos α π 即 2cos2α+3cos α-2=0,又-2<α<0, 1 解得 cos α=2(cos α=-2 舍去), 3 故 sin α=- 2 .

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【巩固】 ?π ? ?π ? sin?2+α?· cos?2-α? ? ? ? ? 4.化简 + +α -α ?π ? ?2+α? ? ? +α

=________.

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解析:原式=

cos α· sin α -cos α



sin α-sin α -sin α

=-sin α+sin α=0. 答案:0

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2?π ? 5.已知 sin(π-α)-cos(π+α)= 3 ?2<α<π?.则 sin α-cos α=________. ? ?

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解析:由 sin(π-α)-cos(π+α)= 2 得 sin α+cos α= 3 ,①

2 , 3

2 将①两边平方得 1+2sin α· cos α=9, 7 故 2sin αcos α=-9. ? 7? 16 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-?-9?= 9 . ? ? π 又∵2<α<π,∴sin α>0,cos α<0. 4 ∴sin α-cos α=3. 答案: 4 3

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【拔高】 6.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=( 1 A.2 1 C.-2 B.2 D.-2 )

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2 5 5 解析:选 B ∵cos α+2sin α=- 5,结合 sin2α+cos2α=1 得( 5sin α+2)2=0,∴sin α=- ,cos α=- , 5 5 ∴tan α=2.

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7.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050)° +tan 945° .

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解:原式=-sin 1 200° · cos 1 290° +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120° · cos 210° +cos 300° · (-sin 330° )+tan 225° =(-sin 60° )· (-cos 30° )+cos 60° · sin 30° +tan 45° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2× 2+1=2.

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8.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ,θ∈(0,2π),求: sin2θ cos θ (1) + 的值; sin θ-cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值.

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sin2θ-cos2θ cos θ sin2θ cos2θ 解:(1)原式= + = + = =sin θ+cos θ. sin θ-cos θ 1- sin θ sin θ-cosθ cos θ-sin θ sin θ-cos θ cos θ sin2θ 由条件知 sin θ+cos θ= 3+1 2 ,



3+1 sin2θ cos θ + = 2 . sin θ-cos θ 1-tan θ

3 (2)由 sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,得 m= 2 . 3+1 ? ?sin θ+cos θ= 2 , (3)由? 3 ? sin θ · cos θ = ? 4 π π 又 θ∈(0,2π),故 θ=6或 θ=3. 3 ? ?sin θ= 2 , 知? 1 cos θ = ? ? 2, 1 ? ?sin θ=2, 或? 3 cos θ = ? ? 2.

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课程小结 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负号—脱周期—化 锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

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