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江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷_图文

赣州市 2014~2015 学年度第二学期期末考试 高二数学(文科)试题
(共 150 分.考试时间 120 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每一小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 2015 年 6 月

1.

(1 ? i) 2 ? i
B. ?2i C. 2 D. ?2

A. 2i

2.已知 a, b 为实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知 z ? C ,若 z ? z ? 0 ,则 z ? A. i B. ? i C. 0 D. 0 或 ? i

4.已知 a ? b ? 0 ,则 a ? b 与 a ? b 的大小关系是 A. a ? b ? C. a ? b ?

a ?b a ?b
B. 8 D. 7

B. a ? b ? D.无法确定

a ?b

5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A. 6 C. 5

6.已知关于 x 与 y 之间的一组数据:

x
y

2 2

3 6

3 6

6 10

6 11

则 y 与 x 的线性回归方程 y ? bx ? a 必过点 A. (4, 7) B. (3.5, 6.5) C. (3.5, 7.5) D. (5, 6)

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1 ? x ? 1? t ? ? x ? cos ? 2 ? 7.设直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) ,直线 l 与曲线 C1 交 ? y ? sin ? ?y ? 3 t ? ? 2
于 A, B 两点,则 AB ? A. 2 8.不等式 x ? A. (??, ?1) B. 1 C.

1 2

D.

1 3

4 ? 1 的解集是 x ?1
(3, ??)
B. (?1,1)

(3, ??)

C. (??, ?1)

(1,3)

D. (?1,3)

9.极坐标方程 ( ? ? 1)(? ? ?) ? 0( ? ? 0) 表示的图形是 A.两个圆 B.一个圆和一条射线 C.两条直线 D.一条直线和一条射线

10.定义运算: x ? y ? ? A. x ? y ? y ? x C. ( x ? y ) ? x ? y
2 2 2

? x( x ? y ) ,例如 3 ? 4 ? 4 ,则下列等式不能成立的是 ? y( x ? y)
B. ( x ? y ) ? z ? x ? ( y ? z ) D. c ? ( x ? y ) ? (c ? y ) ? (c ? x)(c ? 0)

11.不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 的解集为 A. (??, 0)

2 ( , ??) 3

B. ( , ??)

2 3

C. (??, ?1)

2 ( , ??) 3

D. (??, 0)

12.设 x, y, z 均大于 0 ,则三个数: x ? A.都大于 2

1 1 1 , y ? , z ? 的值 y z x
C.都小于 2 D.至少有一个不小于 2

B.至少有一个不大于 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,答案填写在答题卷上. 13.复数 ? ? ?

1 3 ? i ,则在复平面内,复数 ? 2 对应的点在第 2 2

象限.

14. 2 ?

2 3 4 5 , 3 ? , 4 ? , 5 ? , L ,由此猜想出第 n(n ? N ? ) 个数是 3 8 15 24
.

.
开始

15.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为 16.在极坐标系中,极点为 O ,曲线 C1 : ? ? 6sin ? 与曲线

s ? 0, n ? 1

n ? 2011
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s ? s ? sin 3



输出 s

n ? n?1

结束

? C2 : ? sin(? ? ) ? 2 ,则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为 4

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 某地对 50 人进行运动与性别是否有关测试,其中 20 名男性中有 15 名喜欢运动, 30 名 女性中 10 名喜欢运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2 ? 2 列联表; (Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关? n(ad ? bc) 2 参考数据: ? 2 ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 临界值表:

P( ? 2 ? k )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ?

π , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

C3 : ? (cos ? ? 2sin ? ) ? 7 距离的最小值.
19.(本小题满分 12 分) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班 25 名女同学,15 名男同学中 随机抽取一个容量为 8 的样本进行分析.随机抽出 8 位,他们的数学分数从小到大排序是: 60 、65 、 70 、 75 、80 、85 、90 、95 ,物理分数从小到大排序是:72 、 77 、80 、84 、 88 、 90 、 93 、 95 . (Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,男女同学分别抽取多少人? (Ⅱ)若这 8 位同学的数学、物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 根据上表数据用变量 y 与 x 的相关系数或散点图说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间是否具 有线性相关性?如果具有线性相关性,求 y 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01 ) ;如果 不具有线性相关性,请说明理由.

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参考公式:相关系数 r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i i

n

n

? ? bx ? a . ;回归直线的方程是: y
2

其中对应的回归估计值: b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx;
8

2

参考数据: x ? 77.5, y ? 85,

? ( x1 ? x)2 ? 1050, ? ( y1 ? y)2 ? 456 ,
i ?1 i ?1

8

? ( x ? x)( y
i ?1 1

8

1

? y ) ? 688, 1050 ? 32.4, 456 ? 21.4, 550 ? 23.5 .

20.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知等差数列 ?an ? , bn ?

a1 ? a2 ? n

? an

(n ? N ? ) ,求证: ?bn ? 仍然为等差数列;

(Ⅱ)已知等比数列 ?cn ? , cn ? 0(n ? N ? ) ,类比上述性质,写出命题并证明. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. ? 2 2?

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? 6 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,过点 P (0, 2) ? y ? 2sin ?

,B . 且斜率为 k 的直线与曲线 C1 相交于不同的两点 A
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

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赣州市 2014~2015 学年度第二学期期末考试 高二数学文科答案
一、选择题 1~5. CCDBD; 二、填空题 13.三; 6~10.ABCBC(D) ; 11~12. AD. 2015.6

14. (n ? 1) ?

n ?1 ; (n ? 1) 2 ? 1

15.

3 ; 2

16. 3 ?

2 . 2

三、解答题 17.解: (Ⅰ)建立 2 ? 2 列联表 喜欢运动 男性 女性 合计 (Ⅱ) ? 2 ? 15 10 25
2

不喜欢运动 5 20 25

合计 20 30 50

……………………………………………………………5 分
n(ad ? bc) ? 8.333 ……………………………………………8 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

故有 99.5 0 0 的把握认为“是否喜欢运动与性别有关”…………………………………10 分 18.解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………2 分 64 9

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8 ,短半轴长是 3 的椭圆…………4 分
π 时, P (?4, 4), Q(8cos ? ,3sin ? ) …………………………………………6 分 2 3 故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) ……………………………………………………………7 分 2 C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ……………………………………………………………………8 分
(Ⅱ)当 t ?

M 到 C3 的距离 d ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 13 ……………………………………………10 分 5

从而当 cos ? ?

8 5 4 3 …………………………………12 分 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5

8 8 ,男生 15 ? ? 5 (个) ? 3 (个)………………………4 分 40 40 688 (Ⅱ)变量 y 与 x 的相关系数是 r ? ? 0.99 …………………………………6 分 32.4 ? 21.4
19.解(Ⅰ)应选女生 25 ? 可以看出,物理与数学成绩是高度正相关…………………………………………………8 分 若以数学成绩 x 为横坐标,物理成绩 y 为纵坐标做散点图
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从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近, 并且在逐步上升, 故物理与数学成绩是 高度正相关 ? ? bx ? a 设 y 与 x 线性回归方程 y 根据所给的数据,可以计算出

688 =0.66, a ? 85 ? 0.66 ? 77.5 ? 33.85 …………………………………………10 分 1050 ? ? 0.66 x ? 33.85 ……………………………………………12 分 所以 y 与 x 的回归方程是 y b?
20.证明(Ⅰ)因为 ?an ? 是等差数列,设其公差为 d ……………………………………1 分

bn ?

a1 ? a2 ? n d bn ?1 ? bn ? 为常数…………………………………………………………………………5 分 2

n(a1 ? an ) ? an a ?a a ?a 2 ? ? 1 n , bn ?1 ? 1 n ?1 ………………………3 分 n 2 2

所以 ?bn ? 仍然为等差数列……………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)类似性质:若 ?cn ? 为等比数列, cn ? 0(n ? N ? ) , d n ?
n

c1 ? c2 ? L cn ,

则 ?d n ? 仍为等比数列………………………………………………………………………8 分 证明:设等比数列 ?cn ? 的公比为 q ,

d n ?1 ? dn

n ?1

c1 ? c2 L cn ? cn ?1
n

c1 ? c2 ? L cn

? q 为常数………10 分

1 2

故 ?d n ? 仍为等比数列……………………………………………………………………12 分 21.解:(1)当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 0 …1 分 设函数 y ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3

1 ? ??5 x( x ? 2 ) ? 1 ? 则 y ? ?? x ? 2( ? x ? 1) …………………………………………………4 分 2 ? ?3 x ? 6( x ? 1) ? ? 其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y ? 0 ………5 分
所以原不等式的解集是 ? x ? 0 ? x ? 2? ……………………………………6 分

? a 1? , ? 时, f ( x) ? 1 ? a ………………………………………………………6 分 ? 2 2? 不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 ………………………………………………………7 分 ? a 1? 所以 x ? a ? 2 对 x ? ? ? , ? 都成立………………………………………………………9 分 ? 2 2? a 4 故 ? ? a ? 2 ,即 a ? ……………………………………………………………………11 分 2 3
(2)当 x ? ? ?

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从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? ……………………………………………………………12 分 3

? ?

4? ?

22.解: (Ⅰ)曲线 C1 的方程可写成 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 4 …………………………………1 分 过 P (0, 2) 且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 …………………………………………2 分 代入曲线 C1 的方程得 x 2 ? (kx ? 2) 2 ? 12 x ? 32 ? 0 ……………………………………3 分 整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0
2 2

①……………………………………4 分

直线与圆交于两个不同的点 A ,B 等价于

? ? [4(k ? 3) 2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ……………………………………5 分
解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? , 0 ? …………………………………………6 分 4 ? 4 ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ……………………7 分 由方程①,

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③……………………………………………………………8 分

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4

而 P (0,, 2) Q(6,, 0) PQ ? (6, ? 2) ……………………………………………………………9 分 所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ?2( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) ………………………………10 分 将②③代入上式,解得 k ? ?

3 ……………………………………………………………11 分 4

由(Ⅰ)知 k ? ? ? , 0 ? ,故没有符合题意的常数 k …………………………………12 分

? 3 ? 4

? ?

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