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2012《新高考全案》高考数学 16-2条件概率与事件的独立性课件 人教版

1.条件概率与事件的独立性(1) 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A) > 0,称 P(B|A) = 为在 一般 把 P(B|A) 读作 A

发生的条件下 B 的概率(2) 条件概率的性质①条件概率具有概率的性质, 任何事 件的条件概率都在 0 和 1 之间,即 ;②如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 ,则称事件 A 与事 下重复做的 n 次试验

(3) 设 A、B 为两个事件,如果 件B .2 .独立重复试验一般地,在

称为 n 次独立重复试验.3.二项分布一般地,在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复 试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X =k) = 时称随机变量 X ,记作 , k=0,1,2 , n. 此 ?, B

,并称 P 为成功概率.[ 答案]

2.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%. 现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率: 先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随 机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数 为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了 20 组随机数:907 191 556 925 488 271 730 932 113 812 537 458 569 683 431 257 393 966 027

989 据此估计, 该运动员三次投篮恰有两次命 B .0.25 C .0.20 D . 0.15

中的概率为( [ 答案]

) A .0.35

B 3.(2009?? 湖北)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的

概率分别是 0.8 、0.6 、0.5 ,则三人都达标的概率是________ ,三人中至少 有一人达标的概率是________ .[ 解析] 三人均达标为 0.8×0.6×0.5 = 0.24 0.76 有

0.24 ,三人中至少有一人达标为 1-0.24 =0.76. [ 答案]

一批种子的发芽率为 0.9 ,出芽后的幼苗成活率为 0.8 ,在这批种子中,随机 抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率.[ 解] 设种子发芽为事件 A,种

子成长为幼苗为事件 AB( 发芽, 又成活为幼苗), 出芽后的幼苗成活率为: P(B|A) =0.8 ,P(A) =0.9. 根据条件概率公式 P(AB) =P(B|A)??P(A) =0.9×0.8 =0.72 ∴这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. (2009?? 全国Ⅰ) 甲、乙二

人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在 一局中, 甲获胜的概率为 0.6 , 乙获胜的概率为 0.4 , 各局比赛结果相互独立. 已 知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局.(1) 求再赛 2 局结束这次比赛的概率;(2) 求甲

获得这次比赛胜利的概率.[解]

本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互

独立事件同时发生的概率, 综合题. “第 i 局甲获胜” 记 为事件 Ai(i =3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 Bi(j =3,4,5) .(1) 设“再赛 2 局结束这次比赛” 为事件 A,则 A =A3??A4 +B3??B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P(A) = P(A3??A4 +B3??B4) =P(A3??A4) +P(B3??B4) =P(A3)P(A4) +P(B3)P(B4) =0.6×0.6 +0.4×0.4 =0.52. (2) 记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因 前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中, 甲先胜 2 局,从而 B=A3??A4 +B3??A4??A5 +A3??B4??A5 ,由于各局比赛结 果相互独立,故 P(B) =P(A3??A4 +B3??A4??A5 +A3??B4??A5) =P(A3??A4) + P(B3??A4??A5) + P(A3??B4??A5) = P(A3)P(A4) + P(B3)P(A4)P(A5) + P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6 +0.4×0.6×0.6 +0.6×0.4×0.6 =0.648. [点评与警示] 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: ①利用相互独立

事件的概率乘法公式;②正面计算较繁或难以入手时,可以从对立事件入手计 算.审题时应注意“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生” 、 、 等关键的词句.甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6 ,乙获胜的概率为 0.4 , 各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局.设ξ 表示从第 3 局开 始到比赛结束所进行的局数, 求ξ 得分布列及数学期望.[解] ξ 的可能取值为

2.3 ,由于各局比赛结果相互独立,所以 P(ξ =2) =P(A3??A4 +B3??B4) = P(A3??A4) +P(B3??B4) =P(A3)P(A4) +P(B3)P(B4) =0.6×0.6 +0.4×0.4 =0.52. P(ξ =3) =1-P(ξ =2) =1-0.52 =0.48 ξ 的分布列 Eξ =2× P(ξ =2) +3×(ξ =3) =2×0.52 +3×0.48 =2.48. (1) 求这名学生在上 学<a name=baidusnap0></a>路上</B>到第三个路口时首次遇到红灯的概率;(2) 这名学生在上学路上</B>因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率.[点评 与警示] 1. 独立重复试验, 是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进

行的一种试验,在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生, 要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的;2 .在 n 次独立重复 试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在每次试验中事件 A 发生的概率为 P,那么 n 次独立重复试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X =k) =CnkPk(1 -P)n

-k,k=0,1,2 ,?,n. 此时称随机变量 X 服从二项分布.利用该公式时,一 定要审清是多少次试验中发生 k 次的事件. (2008?? 全国Ⅱ) 购买某种保险,

每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在购买保险的一年度内出 险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种 保险, 且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1-0.999104. (1) 求一投保人在一年度内出险的概率 p; (2) 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期 望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).(2) 该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出 η =10 000a -(10 000ξ +50 000) ,盈利的期望为 10 000ξ +50 000 ,盈利 Eη =10 000a -10 000E

ξ -50 000 ,由ξ ~B(104,10 -3) 知,Eξ =10 000×10 -3,Eη =104a - 104Eξ -5×104 =104a -104×104×10 -3-5×104. Eη ≥0 104a -104× 10 -5×104≥0 a -10 -5≥0 a≥15( 元).故每位投保人应交纳的最低保费 为 15 元.[点评与警示] 明确题设含义,弄清某一时刻正在工作的机床台数服

从二项分布,从而将问题转化为二项分布模型求解是解题的关键.2 .运用公式 P(AB) =P(A)P(B) 时一定要注意公式成立的条件, 只有当事件 A、 相互独立时, B 公式才成立;4. 在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X = k) =CnkPk(1 -P)n -k,k=0,1,2 ,?,n,其中 P 是一次试验中该事件发生 的概率.实际上,CnkPk(1 -P)n -k 正好是二项式[(1 -P) +P]n 的展开式 中的第 k+1 项. 事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条件概率. 0≤P(B|A)≤1 P(B ∪C|A) =P(B|A) +P(C|A) .P(AB) =P(A)P(B) 相互独立相同条件 CnkPk(1 -P)n -k 服从二项分布 X~B(n ,P) 0.48 0.52 P 3 2 ξ * * 1.(2009??上海)若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)=P(F)=,则 P(E∩F) 的值等于( A.0 [解析] [解析] ) B. C. D.

P(E∩F)=P(E)??P(F)=×=. 由随机数可估算出每次投篮命中的概率 p≈=,则三次投篮中两

次为 C32×P2×(1-P)≈0.25. (2009??北京)某学生在上学路上</B>要经过 4 个路口,假设在各路口是

否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是 2min. [解] (1)设这名学生在上学路上</B>到第三个路口时首次遇到红灯为事

件 A,因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第 三个路口遇到红灯” ,所以事件 A 的概率为 P(A)=××=. (2)设这名学生在上学路上</B>因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事 件 B, 这名学生在上学路上</B>遇到 k 次红灯的事件 Bk(k=0,1,2). 则由题意, 得 P(B0)=4=,P(B1)=C4113=,P(B2)=C4222=. 由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上</B>至多遇到两次红灯” 事件 B , 的概率为 P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=. 某学生在上学路上</B>要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相 互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是 2min.求这名学生 在上学路上</B>因遇到红灯停留的总时间ξ 的分布列及期望. [解] 由题意,

可得ξ 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min).事件“ξ =2k”等价于事件“该 学生在路上</B>遇到 k 次红灯”(k=0,1,2,3,4), ∴P(ξ =2k)=Ck4k4-k(k =0,1,2,3,4), 即ξ 的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P

∴ξ 的期望是 Eξ =0×+2×+4×+6×+8×=. [解] 各投保人是否出险互相独立, 且出险的概率都是 p, 记投保的 10 000

人中出险的人数为ξ ,则ξ -B(104,p).(1)记 A 表示事件:保险公司为该险种 至少支付 10 000 元赔偿金,则发生当且仅当ξ =0,P(A)=1-P() =1-P(ξ =0) =1-(1-p)104,又 P(A)=1-0.9999104,故 p=0.001. 1.古典概型中,A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)==,其 中,在实际应用中 P(B|A)=是一种重要的求条件概率的方法; 3.解题过程中, 要明确事件中的“至少一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发 、 、 、 生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义,已知两个条件 A、B,它们的概 、 、 率分别为 P(A)、P(B),那么:A、B 中至少有一个发生的事件为 A+B;A、B 都发 生的事件为 AB;A、B 都不发生的事件为;A、B 恰有一个发生的事件为 A +B

A、B 中至多有一个发生的事件为 A +B+. 它们之间的概率关系如下表所示 P(A)+P(B) 1-P()P() P(B)] P()P() AB]) 1 P(A +B) P(AB) A 、 B 互 斥 A 、 B 相 互 独 立 P(A + B) 0 P(A)P(B) P() 1 - [P(A) + P(A + B +

P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B)

1-P(A)P(B)


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