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高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案


高中数学必修 4 习题和复习参考题及对应答案
A组 1、在 0° ~360° 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: (1)-265° ; (2)-1000° ; (3)-843°10′; (4)3900° . 答案: (1)95° ,第二象限; (2)80° ,第一象限; (3)236°50′,第三象限; (4)300° ,第四象限. 说明:能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角,并判定是第几象限角. 2、写出终边在 x 轴上的角的集合. 答案:S={α|α=k·180°,k∈Z}. 说明:将终边相同的角用集合表示. 3、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360°≤β<360° 的元 素 β 写出来: (1)60° ; (2)-75° ; (3)-824°30′; (4)475° ; (5)90° ; (6)270° ; (7)180° ; (8) 0° . 答案: (1){β|β=60°+k· 360° ,k∈Z},-300° ,60° ; (2){β|β=-75° +k· 360° ,k∈Z},-75° ,285° ; (3){β|β=-824°30′+k· 360° ,k∈Z},-104°30′,255°30′; (4){β|β=475°+k· 360° ,k∈Z},-245° ,115° ; (5){β|β=90°+k· 360° ,k∈Z},-270° ,90° ; (6){β|β=270°+k· 360° ,k∈Z},-90° ,270° ; (7){β|β=180°+k· 360° ,k∈Z},-180° ,180° ; (8){β|β=k·360°,k∈Z},-360° ,0° . 说明: 用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合, 并在给定范围内找 出与指定的角终边相同的角. 4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合. 答案: 象限 一 二 三 四 角度制 {β|k· 360° <β<90° +k· 360° ,k∈Z} {β|90° + k· 360° < β < 180° + k· 360° , k∈Z} {β|180° + k· 360° < β < 270° + k· 360° , k∈Z} {β|270° + k· 360° < β < 360° + k· 360° , k∈Z} 弧度制

{? | 2k? ? ? ? {? |

?
2

? 2k? , k ? Z}

?
2

? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z} 3? ? 2k? , k ? Z} 2

{? | ? ? 2k? ? ? ? {? |

3? ? 2k? ? ? ? 2? ? 2k? , k ? Z} 2

说明:用角度制和弧度制写出各象限角的集合. 5、选择题:

(1)已知 α 是锐角,那么 2α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于 180° 的正角 D.第一或第二象限角 (2)已知 α 是第一象限角,那么

? 是( ) 、 2

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 答案: (1)C 说明:因为 0° <α<90° ,所以 0° <2α<180° . (2)D

180? ? 说明: 因为 k· 360° <α<90° +k· 360° , k∈Z, 所以 k ?
k 为奇数时,

?
2

? 45? ? k ? 180? , k∈Z. 当

? ? 是第三象限角;当 k 为偶数时, 是第一象限角. 2 2

6、一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于 1 弧度吗?为什么? 答案:不等于 1 弧度.这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为 1 弧度,而等于半径长 的弦所对的弧比半径长. 说明:了解弧度的概念. 7、把下列各角度化成弧度: (1)36° ; (2)-150° ; (3)1095° ; (4)1440° . 答案: (1)

5? 73? ? ; (2) ; (3) ? ; (4)8π. 6 12 5

说明:能进行度与弧度的换算. 8、把下列各弧度化成度: (1) ?

7 10 2 ?; (2) ? ? ; (3)1.4; (4) . 6 3 3

答案: (1)-210° ; (2)-600° ; (3)80.21° ; (4)38.2° . 说明:能进行弧度与度的换算. 9、要在半径 OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧 AB 的长为 112cm, 求圆心角∠AOB 是多少度(可用计算器,精确到 1° ) . 答案:64° 说明:可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数,再将弧度换算为度,也可 以直接运用角度制下的弧长公式. 10、已知弧长 50cm 的弧所对圆心角为 200° ,求这条弧所在的圆的半径(可用计算器, 精确到 1cm) . 答案:14cm. 说明:可以先将度换算为弧度,再运用弧度制下的弧长公式,也可以直接运用角度制下 的弧长公式.

B组 1、每人准备一把扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形 状较为美观的扇子,并用计算器算出它的面积 S1. (1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为 S2,求 S1 与 S2 的比 值; (2)要使 S1 与 S2 的比值为 0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到 10° )? 答案: (1) (略)

1 2 r ? S1 2 (2)设扇子的圆心角为 θ,由 , ? ? 0.618 ,可得 θ=0.618(2π-θ) S2 1 r 2 (2? ? ? ) 2
则 θ=0.764π≈140° . 说明:本题是一个数学实践活动.题目对“美观的扇子”并没有给出标准,目的是让学生 先去体验,然后再运用所学知识发现,大多数扇子之所以 “ 美观 ” 是因为基本都满足:

S1 ? 0.618 (黄金分割比)的道理. S2
2、 (1)时间经过 4 h(时) ,时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度? (2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合 24 次、你认为这种说法是否正确?请说明 理由. (提示:从午夜零时算起,假设分针走了 t min 会与时针重合,一天内分针和时针会重 合 n 次,建立 t 关于 n 的函数关系式,并画出其图象,然后求出每次重合的时间. ) 答案: (1)时针转了-120° ,等于 ?

2? 弧度;分针转了-1440° ,等于-8π 弧度 3

(2)设经过 t min 分针就与时针重合,n 为两针重合的次数. 因为分针旋转的角速度为 时针旋转的角速度为 所以 (

?

30 360 720 n. 即t ? 11

?

?

2? ? ? (rad/min) , 12 ? 60 360

2? ? ? (rad / min) , 60 30

)t ? 2? n ,

用计算机或计算器作出函数 t ? 时针与分针每次重合所需的时间.

720 n 的图象(如下页图)或表格,从中可清楚地看到 11

n 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

u1 981.82 1047.3 1112.7 1178.2 1243.6 1309.1 1374.5 1440.

因为时针旋转一天所需的时间为 24× 60=1440 (min) , 所以

720 n ≤ 1440 , 于是 n≤22. 故 11

时针与分针一天内只会重合 22 次. 说明:通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念,并将问题引向深入,用函 数思想进行分析.在研究时针与分针一天的重合次数时,可利用计算器或计算机,从模拟的 图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度,不难得到正确的结论. 3、已知相互啮合的两个齿轮,大轮有 48 齿,小轮有 20 齿,当大轮转动一周时,小轮 转动的角是__________度,即__________rad.如果大轮的转速为 180r/min(转/分) ,小轮的 半径为 10.5cm,那么小轮周上一点每 1s 转过的弧长是__________. 答案:864° ,

24? ,151.2π cm. 5 48 24? ? 360? ? 864? ? rad. 20 5

说明: 通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式. 当大齿轮转动一周时, 小齿轮转动的角是

由 于 大 齿 轮 的 转 速 为 3r/s , 所 以 小 齿 轮 周 上 一 点 每 1s 转 过 的 弧 长 是

48 ? 3 ? 2? ?10.5 ? 151.2? (cm) . 20

P20 习题 1.2 A组 1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值:

(1) ?

17? 23? 21? ; (2) ; (3) ? ; (4)1500° . 3 6 4

答案: (1) sin ? ?

3 1 , cos ? ? , tan ? ? 3 ; 2 2

(2) sin ? ? ?

2 2 , cos ? ? ? , tan ? ? 1 ; 2 2

(3) sin ? ?

1 3 3 ; , cos ? ? , tan ? ? 2 2 3 3 1 , cos ? ? , tan ? ? 3 . 2 2

(4) sin ? ?

说明:先利用公式一变形,再根据定义求值,非特殊角的三角函数值用计算器求. 2、已知角 α 的终边上有一点的坐标是 P(3a,4a) ,其中 a≠0,求 sinα,cosα,tanα 的 三角函数值.

n? 答 案 : 当 a > 0 时 , s i? 4 s i? n? ? 5 3 , c ?o ? s ? 5

4 5

3 , c ?o? s 5

? , ? t a; n当 a < 0 时 ,

4 3

? , t? a. n?

4 3

说明:根据定义求三角函数值. 3、计算: (1)6sin(-90° )+3sin0° -8sin270° +12cos180° ; (2)10cos270° +4sin0° +9tan0° +15cos360° ;

3 ? ? ? 2? ? tan 2 ? sin ? cos 2 ? sin ; 2 4 4 6 6 6 3 3? ? 2? ? cos 4 ? tan 2 . (4) sin 3 2 3 3 9 答案: (1)-10; (2)15; (3) ? ; (4) ? . 2 4
(3) 2 cos

?

? tan

?

说明:求特殊角的三角函数值. 4、化简: (1)asin0° +bcos90° +ctan180° ; 2 2 (2)-p cos180° +q sin90° -2pqcos0° ;

3? ? ? ab cos ? ? ab sin ; 2 2 1 3 (4) m tan 0 ? n cos ? ? p sin ? ? q cos ? ? r sin 2? . 2 2
(3) a cos 2? ? b sin
2 2

答案: (1)0; (2 ) (p-q)2; (3) (a-b)2; (4)0. 说明:利用特殊角的三角函数值化简.

5、根据下列条件求函数 f ( x) ? sin( x ? 值. (1) x ?

?

? 3? ) ? 2sin( x ? ) ? 4 cos 2 x ? 3cos( x ? ) 的 4 4 4

?
4



(2) x ?

3? . 4

答案: (1)-2; (2)2. 说明:转化为特殊角的三角函数的求值问题. 6、确定下列三角函数值的符号: (1)sin186° ; (2)tan505° ; (4) tan( ?

(3)sin7.6π; (6) cos( ?

23 ?); 4

(5)cos940° ;

59 ?). 17

答案: (1)负; (2)负; (3)负; (4)正; (5)负; (6)负. 说明:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号. 7、确定下列式子的符号: (1)tan125° · sin273° ;

tan108? ; cos305? 5 4 11 cos ? ?tan ? ; (3) sin ? ? 4 5 6 5 11 cos ? ?tan ? 6 6 . (4) 2 sin ? 3
(2) 答案: (1)正; (2)负; (3)负; (4)正. 说明:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号. 8、求下列三角函数值(可用计算器) :

67 ?); 12 15 (2) tan(? ? ) ; 4
(1) sin(? (3)cos398°13′; (4)tan766°15′. 答案: (1)0.9659; (2)1; (3)0.7857; (4)1.045. 说明:可先运用公式一转化成锐角三角函数,然后再求出三角函数值. 9、求证: (1)角 θ 为第二或第三象限角当且仅当 sinθ·tanθ<0; (2)角 θ 为第三或第四象限角当且仅当 cosθ·tanθ<0; (3)角 θ 为第一或第四象限角当且仅当

sin ? ?0; tan ?

(4)角 θ 为第一或第三象限角当且仅当 sinθ·cosθ>0. 答案: (1)先证如果角 θ 为第二或第三象限角,那么 sinθ·tanθ<0. 当角 θ 为第二象限角时,sinθ>0,tanθ<0,则 sinθ·tanθ<0; 当角 θ 为第三象限角时,sinθ<0,tanθ>0,则 sinθ·tanθ<0, 所以如果角 θ 为第二或第三象限角,那么 sinθ·tanθ<0. 再证如果 sinθ·tanθ<0,那么角 θ 为第二或第三象限角. 因为 sinθ·tanθ<0,即 sinθ>0 且 tanθ<0,或 sinθ<0 且 tanθ>0, 当 sinθ>0 且 tanθ<0 时,角 θ 为第二象限角; 当 sinθ<0 且 tanθ>0 时,角 θ 为第三象限角, 所以如果 sinθ·tanθ<0,那么角 θ 为第二或第三象限角. 综上所述,原命题成立. (其他小题略) 说明:以证明命题的形式,认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号.

10、 (1)已知 sin ? ? ? (2)已知 cos ? ? ?

3 ,且 α 为第四象限角,求 cosα,tanα 的值; 2

5 ,且 α 为第二象限角,求 sinα,tanα 的值; 13 3 (3)已知 tan ? ? ? ,求 sinα,cosα 的值; 4
(4)已知 cosα=0.68,求 sinα,tanα 的值(计算结果保留两个有效数字) .

1 ,? 3; 2 12 12 (2) , ? ; 13 5
答案: (1)

3 4 , cos ? ? ? , 5 5 3 4 当 α 为第四象限角时, sin ? ? ? , cos ? ? ; 5 5
(3)当 α 为第二象限角时, sin ? ? (4)当 α 为第一象限角时,sinα=0.73,tanα=1.1, 当 α 为第四象限角时,sinα=-0.73,tanα=-1.1. 说明:要注意角 α 是第几象限角. 11、已知 sin x ? ? ,求 cosx,tanx 的值. 答案:当 x 为第三象限角时, cos x ? ?

1 3

2 2 2 , tan x ? ; 3 4

当 x 为第四象限角时, cos x ?

2 2 2 , tan x ? ? . 3 4

说明:要分别对 x 是第三象限角和第四象限角进行讨论.

12、已知 tan ? ? 3, ? ? ? ? 答案:

3 ? ,求 cosα-sinα 的值. 2

1 ( 3 ? 1) 2

说明:角 α 是特殊角. 13、求证: (1)

1 ? 2sin x cos x cos x ? sin x
2 2

?

1 ? tan x ; 1 ? tan x

(2)tan2α-sin2α=tan2α·sin2α; (3) (cosβ-1)2+sin2β=2-2cosβ; (4)sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x. 答案: (1) 左边 ?

(cos x ? sin x)2 cos x ? sin x 1 ? tan x ; ? ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x 1 ? tan x
2 sin 2 x 2 1 ? cos x 2 ? 1) ? sin x ? ? sin x ? ? sin 2 x?tan 2 x ; 2 2 2 cos x cos x cos x

(2) 左边 ? sin x(

2

1

(3)左边=1-2cosβ+cos2β+sin2β=2-2cosβ; (4)左边=(sin2x+cos2x)2-2sin2x· cos2x=1-2sin2x· cos2x. 说明:还可以从右边变为左边,或对左右同时变形.可提倡一题多解,然后逐渐学会选 择较为简单的方法.

B组 1、化简(1+tan α)cos α. 答案:1 说明:根据同角三角函数的基本关系,将原三角函数式转化为正余弦函数式.
2 2

2、化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ,其中 α 为第二象限角. ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

答案:-2tanα 说明:先变形,再根据同角三角函数的基本关系进行化简.

3、已知 tanα=2,求

sin ? ? cos ? 的值. sin ? ? cos ?

答案:3 说明:先转化为正切函数式.

4、从本节的例 7 可以看出,

cos x 1 ? sin x ? 就是 sin2x+cos2x=1 的一个变形.你能 1 ? sin x cos x

利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?

答案:又如 sin4x+cos4x=1-2sin2x· cos2x 也是 sin2x+cos2x=1 的一个变形;

1 cos x
2

? 1 ? tan 2 x 是 sin2x+cos2x=1 和

sin x ? tan x 的变形;等等. cos x

说明:本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形.

P29 习题 1.3 A组 1、将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上: (1)cos210° =__________; (2)sin263°42′=__________; (3) cos( ?

) ? __________; 6 5 (4) sin( ? ? ) =__________; 3 11 (5) cos(? ? ) ? __________; 9
(6)cos(-104°26′)=__________; (7)tan632°24′=__________; (8) tan

?

17? ? __________. 6

答案: (1)-cos30° ; (2)-sin83°42′ (3) cos (4) sin

?
6



? ; 3 2? (5) ? cos ; 9
(6)-cos75°34′; (7)-tan87°36′; (8) ? tan

? . 6

说明:利用诱导公式转化为锐角三角函数. 2、用诱导公式求下列三角函数值: (1) cos(?

17? ); 4

(2)sin(-1574° ) ; (3)sin(-2160°52′) ; (4)cos(-1751°36′) ; (5)cos1615°8′;

(6) sin(?

26 ?). 3

答案: (1)

2 ; 2

(2)-0.7193; (3)-0.0151; (4)0.6639; (5)-0.9964; (6) ?

3 2

说明:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值. 3、化简: (1)sin(-1071° )· sin99° +sin(-171° )· sin(-261° ) ; 2 (2)1+sin(α-2π)· sin(π+α)-2cos (-α) . 2 答案: (1)0; (2)-cos α 说明:先利用诱导公式转化为角 α 的三角函数,再进一步化简. 4、求证: (1)sin(360° -α)=-sinα; (2)cos(360° -α)=cosα; (3)tan(360° -α)=-tanα. 答案: (1)sin(360° -α)=sin(-α)=-sinα; (2)略; (3)略. 说明:有的书也将这组恒等式列入诱导公式,但根据公式一可知,它和公式三等价,所 以本教科书未将其列入诱导公式.

B组 1、计算: (1)sin420° · cos750° +sin(-330° )· cos(-660° ) ; (2)tan675° +tan765° -tan(-330° )+tan(-690° ) ; (3) sin

25? 25? 25? ? cos ? tan(? ). 6 3 4

答案: (1)1; (2)0; (3)0. 说明:先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值. 2、已知 sin(? ? ? ) ? ? (1)sin(5π-α) ;

1 ,计算: 2

(2) sin(

?
2

??);
3? ); 2

(3) cos(? ? (4) tan(

?
2

??).
1 ; 2

答案: (1)

? 3 ? , 当? 为第一象限角, ? 2 (2) ? ?? 3 , 当? 为第二象限角; ? ? 2
(3) ? (4) ?

1 ; 2

? ? 3, 当? 为第一象限角, ? ?? 3, 当? 为第二象限角.

说明: 先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角 α 的三角函数, 然后再根据同角三角 函数的基本关系得解.

P46 习题 1.4 A组 1、画出下列函数的简图: (1)y=1-sinx,x∈[0,2π]; (2)y=3cosx+1,x∈[0,2π]. 答案: (1)

(2)

说明:可以直接用“五点法”作出两个函数的图象;也可以先用“五点法”作出正弦、余弦 函数的图象,再通过变换得到这两个函数的图象.

2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合,并分别写出最大值、最小值 是什么. (1) y ? 1 ?

1 ? cos x, x ? R ; 2 3

(2) y ? 3sin(2 x ? (3) y ? ?

?

3 1 ? cos( x ? ), x ? R ; 2 2 6 1 1 ? (4) y ? sin( x ? ), x ? R . 2 2 3
答案: (1)使 y 取得最大值的集合是{x|x=6k+3,k∈Z},最大值是 使 y 取得最小值的集合是{x|x=6k,k∈Z},最大值是 (2)使 y 取得最大值的集合是 {x | x ? 使 y 取得最小值的集合是 {x | x ? ?

4

), x ? R ;

3 ; 2

?
8

1 ; 2

? k? , k ? Z} ,最大值是 3;

3? ? k? , k ? Z} ,最小值是-3; 8

(3)使 y 取得最大值的集合是 {x | x ? 2(2k ? 1)? ? 使 y 取得最小值的集合是 {x | x ?

?

3 ; 3 2 1 ? (4)使 y 取得最大值的集合是 {x | x ? ? 4k? , k ? Z} ,最大值是 ; 2 3 5? 1 ? 4k? , k ? Z} ,最小值是 ? . 使 y 取得最小值的集合是 {x | x ? ? 3 2 ? 4k? , k ? Z} ,最小值是 ?
说明:利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质,研究所给函数的最大值、最小值性

?

3

, k ? Z} ,最大值是

3 ; 2

质. 3、求下列函数的周期: (1) y ? sin (2) y ?

2 x ,x∈R; 3

1 cos 4 x ,x∈R. 2

答案: (1)3π; (2)

? 2

说明:可直接由函数 y=Asin(ωx+φ)和函数 y=Acos(ωx+φ)的周期 T ?

2?

?

得解.

4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)sin103°15′与 sin164°30′; (2) cos(?

47 44 ? )与 cos(? ? ) ; 10 9

(3)sin508° 与 sin144° ; (4)cos760° 与 cos(-770° ) . 答案: (1)sin103°15′>sin164°130′; (2) cos(?

47 44 ? ) ? cos(? ? ) ; 10 9

(3)sin508° <sin144° ; (4)cos760° >cos(-770° ) . 说明:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究. 5、求下列函数的单调区间: (1)y=1+sinx,x∈R; (2)y=-cosx,x∈R. 答案: (1)当 x ? [? 当 x ?[

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2k? ] ,k∈Z 时,y=1+sinx 是增函数;

?
2

? 2 k? ,

3? ? 2k? ] ,k∈Z 时,y=1+sinx 是减函数. 2

(2)当 x∈[(2k-1)π,2kπ],k∈Z 时,y=-cosx 是减函数; 当 x∈[2kπ, (2k+1)π],k∈Z 时,y=-cosx 是增函数. 说明:利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性. 6、求函数 y ? ? tan( x ? 答案: {x | x ?

?
6

) ? 2 的定义域.

?
3

? k? , k ? Z} .

说明:可用换元法. 7、求函数 y ? tan(2 x ?

?
3

), x ?

5? k? ? (k ? Z) 的周期. 12 2

答案:

? . 2

说明:可直接由函数 y=Atan(ωx+φ)的周期 T ?

? 得解. ?

8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小: (1) tan( ? ? )与 tan( ? ? ) ; (2)tan1519° 与 tan1493° ; (3) tan 6 (4) tan

1 5

3 7

7? ? 与 tan . 8 6 1 3 答案: (1) tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) ; (2)tan1519° >tan1493° ; 5 7 9 3 7? ? ? tan . (3) tan 6 ? ? tan( ?5 ? ) ; (4) tan 11 11 8 6
说明:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究. 9、根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的集合: (1)1+tanx≥0; (2) tan x ? 3 ≥ 0 . 答案: (1) {x | ? (2) {x |

9 3 ? 与 tan(?5 ? ) ; 11 11

?
4

? k? ≤ x ?

?
2

? k? , k ? Z};

?
3

? k? ≤ x ?

?
2

? k? , k ? Z} .

说明:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 10、设函数 f(x) (x∈R)是以 2 为最小正周期的周期函数,且 x∈[0,2]时 f(x)= (x-1)2.求 f(3) , f ( ) 的值. 答案:由于 f(x)以 2 为最小正周期,所以对任意 x∈R,有 f(x+2)=f(x) .于是: 2 f(3)=f(1+2)=f(1)=(1-1) =0;

7 2

7 3 3 3 1 f ( ) ? f ( ? 2) ? f ( ) ? ( ? 1) 2 ? . 2 2 2 2 4
说明: 利用周期函数的性质, 将其他区间上的求值问题转化到区间[0, 2]上的求值问题. 11、容易知道,正弦函数 y=sinx 是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲 线的对称中心. 除原点外, 正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有, 对称中心的坐标是什么? 另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,对称轴的方程是什么? 你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题. 答案:由正弦函数的周期性可知,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心,其对称中心

坐标为(kπ,0) ,k∈Z.正弦曲线是轴对称图形,其对称轴的方程是 x ? 由余弦函数和正切的周期性可知,余弦曲线的对称中心坐标为 ( 称轴的方程是 x=kπ,k∈Z;正切曲线的对称中心坐标为 ( 对称图形. 说明:利用三角函数的图象和周期性研究其对称性.

?
2

? k? , k ? Z .

?
2

? k? , 0) ,k∈Z,对

k? , 0) ,k∈Z,正切曲线不是轴 2

B组 1、根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的取值集合: (1) sin x ≥

3 ( x ? R) ; 2

(2) 2 ? 2cos x ≥ 0( x ? R) .

3 3? 3? ? 2 k? ≤ x ≤ ? 2k? , k ? Z} . (2) {x | ? 4 4

答案: (1) {x |

?

? 2 k? ≤ x ≤

2? ? 2k? , k ? Z} ; 3

说明:变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果,并不要求解三角方程或三 角不等式. 2、求函数 y ? ? tan(2 x ?

3? ) 的单调区间. 4 k? ? k? 5? ? , ? ), k ? Z . 答案:单调递减区间 ( 2 8 2 8

说明:利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间. 3、已知函数 y=f(x)的图象如图所示,试回答下列问题: (1)求函数的周期; (2)画出函数 y=f(x+1)的图象; (3)你能写出函数 y=f(x)的解析式吗?

答案: (1)2; (2)y=f(x+1)的图象如下;

(3)y=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z.

说明:可直接由函数 y=f(x)的图象得到其周期.将函数 y=f(x)的图象向左平行移 动 1 个单位长度,就得到函数 y=f(x+1)的图象.求函数 y=f(x)的解析式难度较高,需 要较强的抽象思维能力.可先求出定义域为一个周期的函数 y=f(x) ,x∈[-1,1]的解析式 为 y=|x|,x∈[-1,1],再根据函数 y=f(x)的图象和周期性,得到函数 y=f(x)的解析式 为 y=|x-2k|,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z.

P57 习题 1.5 A组 1、选择题: (1)为了得到函数 y ? cos( x ? ) ,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点(

? 个单位长度 3 ? B.向右平行移动 个单位长度 3
A.向左平行移动 C.向左平行移动

1 3



1 个单位长度 3 1 D.向右平行移动 个单位长度 3 x (2)为了得到函数 y ? cos ,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点的( 5
A.横坐标伸长到原来的 5 倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的

) 、

1 倍,纵坐标不变 5 1 倍,横坐标不变 5
) .

C.纵坐标伸长到原来的 5 倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的 (3)为了得到函数 y ?

1 cos x ,x∈R 的图象,只需把余弦曲线上所有的点的( 4

A.横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 4
1 倍,横坐标不变 4

C.纵坐标伸长到原来的 4 倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的

答案: (1)C; (2)A; (3)D. 2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图(有条件的可用计算器或计算机 作图检验) : (1) y ? 4 sin (2) y ?

1 x ,x∈R; 2

1 cos 3 x ,x∈R; 2

(3) y ? 3sin(2 x ?

) ,x∈R; 6 1 1 (4) y ? 2 cos( x ? ? ) ,x∈R. 2 4
答案: (1)

?

(2)

(3)

(4)

说明:研究了参数 A、ω、φ 对函数图象的影响.

3、不画图,直接写出下列函数的振幅、周期与初相,并说明这些函数的图象可由正弦 曲线经过怎样的变化得到(注意定义域) : (1) y ? 8sin( ? (2) y ?

1 ? sin(3 x ? ) ,x∈[0,+∞) . 3 7

x 4

?
8

) ,x∈[0,+∞) ;

答案: (1)振幅是 8,周期是 8π,初相是 ? 先把正弦曲线向右平行移动

?
8



? ? 个单位长度,得到函数 y1 ? sin( x ? ) ,x∈R 的图象; 8 8

再把函数 y1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变) ,得到函数

x ? y2 ? sin( ? ) ,x∈R 的图象;再把函数 y2 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 8 倍 4 8 x ? (横坐标不变) ,得到函数 y3 ? 8sin( ? ) ,x∈R 的图象;最后把函数 y3 的图象在 y 轴 4 8 x ? 左侧的部分抹去,就得到函数 y ? 8sin( ? ) ,x∈[0,+∞)的图象. 4 8 1 2? ? (2)振幅是 ,周期是 ,初相是 . 3 3 7
先把正弦曲线向左平行移动

? ? 个单位长度,得到函数 y1 ? sin( x ? ) ,x∈R 的图象; 7 7

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 3 1 ? y2 ? sin(3x ? ) ,x∈R 的图象;再把函数 y2 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍 3 7 1 ? (横坐标不变) ,得到函数 y3 ? sin(3 x ? ) ,x∈R 的图象;最后把函数 y3 的图象在 y 轴 3 7 1 ? 左侧的部分抹去,就得到函数 y ? sin(3 x ? ) ,x∈[0,+∞)的图象. 3 7
再把函数 y1 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 说明:了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象与正弦曲线的关系. 4 、 图 1.5 - 1 的 电 流 i ( 单 位 : A ) 随 时 间 t ( 单 位 : s ) 变 化 的 函 数 关 系 是

i ? 5sin(100? t ? ), t ? [0, ??) . 3
(1)求电流 i 变化的周期、频率、振幅及其初相; (2)当 t=0,

?

1 1 7 1 , , , (单位 : s) 时,求电流 i. 600 150 600 60 1 ? 答案: (1)周期为 ,频率为 50,振幅为 5,初相为 . 50 3
1 1 7 1 5 3 ;t ? 时,i=5;t ? 时,i=0;t ? 时,i=-5;t ? 600 150 600 60 2

(2)t=0 时,i ? 时,i=0.

说明:了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系,并求函数值. 5、一根长为 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球.小球摆动时,离开平衡位置 的位移 s(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 s ? 3cos(

g ? t ? ), t ?[0, ??) . l 3

(1)求小球摆动的周期; (2)已知 g≈980cm/s2,要使小球摆动的周期是 1s,线的长度 l 应当是多少?(精确到 0.1cm) 答案: (1) 2?

l ; (2)约 24.8cm. g

说明:了解简谐振的周期.

B组 1、弹簧振子的振动是简谐运动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间 t 与位移 s 之间的对应数据,根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式. t s 0 - 20.0 t0 - 17.8 2t0 - 10.1 3t0 0.1 4t0 10.3 5t0 17.7 6t0 20.0 7t0 17.7 8t0 10.3 9t0 0.1 10t0 - 10.1 11t0 - 17.8 12t0 - 20.0

答案:根据已知数据作出散点图(如图) .

由散点图可知,振子的振动函数解析式为 y ? 20sin(

?x ?
6t0

? ) ,x∈[0,+∞) . 2

说明:作出已知数据的散点图,然后选择一个函数模型来描述,并根据已知数据求出该 函数模型.

2、弹簧挂着的小球作上下运动,它在 t 秒时相对于平衡位置的高度 h 厘米由下列关系 式确定: h ? 2sin(t ?

?
4

).

以 t 为横坐标,h 为纵坐标,作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象,并回答下列 问题: (1)小球在开始振动时(即 t=0)的位置在哪里? (2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少? (3)经过多少时问小球往复运动一次? (4)每秒钟小球能往复振动多少次?

答案:函数 h ? 2sin(t ?

?
4

) 在[0,2π]上的图象为

(1)小球在开始振动时的位置在 (0, 2) ; (2)最高点和最低点与平衡位置的距离都是 2; (3)经过 2π 秒小球往复运动一次; (4)每秒钟小球能往复振动

1 次. 2?

说明:结合具体问题,了解解析式中各常数的实际意义. 3、如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置 P0 开始,按逆 时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动. 求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系, 并求点 P 的运动周期和频率.

答案:点 P 的纵坐标关于时间 t 的函数关系式为 y=rsin(ωt+φ) ,t∈[0,+∞) ; 点 P 的运动周期和频率分别为

2? ? 和 . ? 2?

说明:应用函数模型 y=rsin(ωt+φ)解决实际问题.

P65 习题 1.6 1、根据下列条件,求△ ABC 的内角 A: (1) sin A ?

1 ; 2

(2) cos A ? ?

2 ; 2 3 . 3

(3)tanA=1;

(4) tan A ? ?

答案: (1)30° 或 150° ; (2)135° ; (3)45° ; (4)150° . 说明:由角 A 是△ ABC 的内角,可知 A∈(0° ,180° ) . 2、根据下列条件,求(0,2π)内的角 x: (1) sin x ? ? (3)cosx=0;

3 ; 2

(2)sinx=-1; (4)tanx=1.

4? 5? 或 答案: (1) ; 3 3 3? (2) ; 2

3? ; 2 2 ? 5? (4) 或 . 4 4
(3)

?



说明:可让学生再变换角 x 的取值范围求解. 3、天上有些恒星的亮度是会变化的.其中一种称为造父(型)变星,本身体积会膨胀 收缩造成亮度周期性的变化、 下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、 此变星的亮度 变化的周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是几等星?

答案:5.5 天;约 3.7 等星;约 4.4 等星. 说明:每个周期的图象不一定完全相同,表示视星等的坐标是由大到小. 4、夏天是用电的高峰时期,特别是在晚上.为保证居民空调制冷用电,电力部门不得 不对企事业拉闸限电,而到了 0 时以后,又出现电力过剩的情况.因此每天的用电也出现周 期性的变化.为保证居民用电,电力部门提出了“消峰平谷”的想法,即提高晚上高峰时期的 电价,同时降低后半夜低峰时期的电价,鼓励各单位在低峰时用电.请你调查你们地区每天 的用电情况,制定一项“消峰平谷”的电价方案. 答案:先收集每天的用电数据,然后作出用电量随时间变化的图象,根据图象制定“消 峰平谷”的电价方案. 说明:建立周期变化的模型解决实际问题.

B组 1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起,在日落时降旗、请根据年鉴或 其他的参考资料,统计过去一年不同时期的日出和日落时间. (1)在同一坐标系中,以日期为横轴,画出散点图,并用曲线去拟合这些数据,同时 找到函数模型; (2)某同学准备在五一长假时去看升旗,他应当几点到达天安门广场? 答案:略. 说明:建立周期变化的函数模型,根据模型解决实际问题. 2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的?收集其他有关的数据 并提供理论证据支持你的结论. 答案:略. 说明:收集数据,建立周期变化的函数模型,根据模型提出个人意见.然后采取上网、 查阅资料或走访专业人士的形式,获取这方面的信息,以此来说明自己的结论.

P69 复习参考题 A组 1、 写出与下列各角终边相同的角的集合 S, 并且把 S 中适合不等式-2π≤β≤4π 的元素 β 写出来:

12 ?; 5 ? 7? ? 9? , , 答案: (1) {? | ? ? ? 2k? , k ? Z}, ? ; 4 4 4 4 2 2 4 10 (2) {? | ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z}, ? ? , ? , ? ; 3 3 3 3 12 8 2 12 ? ? 2k? , k ? Z}, ? ? , ? , ? ; (3) {? | ? ? 5 5 5 5
(1) (2) ? (3)

? ; 4

2 ?; 3

(4)0.

(4){β|β=2kπ,k∈Z},-2π,0,2π. 说明: 用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合, 并在给定范围内找 出与指定的角终边相同的角. 2、在半径为 15cm 的圆中,一扇形的弧含有 54° ,求这个扇形的周长与面积(π 取 3.14, 计算结果保留两个有效数字) . 答案:周长约 44cm,面积约 1.1× 102cm2. 说明:可先将角度转化为弧度,再利用弧度制下的弧长和面积公式求解. 3、确定下列三角函数值的符号: (1)sin4; (2)cos5; (3)tan8; (4)tan(-3) . 答案: (1)负; (2)正; (3)负; (4)正. 说明:将角的弧度数转化为含 π 的形式或度,再进行判断. 4、已知 cos ? ?

1 ,求 sinφ,tanφ. 4

答案:当 φ 为第一象限角时, sin ? ?

15 , tan ? ? 15 ; 4

当 φ 为第四象限角时, sin ? ? ?

15 , tan ? ? ? 15 . 4

说明:先求 sinφ 的值,再求 tanφ 的值. 5、已知 sinx=2cosx,求角 x 的三个三角函数值. 答案:当 x 为第一象限角时,tanx=2, cos x ?

5 2 5 ,sin x ? ; 5 5

当 x 为第三象限角时,tanx=2, cos x ? ?

5 2 5 . ,sin x ? ? 5 5

说明:先求 tanx 的值,再求另外两个函数的值. 6、用 cosα 表示 sin4α-sin2α+cos2α. 答案:cos4α. 说明:先将原式变形为 sin2α(sin2α-1)+cos2α,再用同角三角函数的基本关系变形. 7、求证: (1)2(1-sinα) (1+cosα)=(1-sinα+cosα)2; (2)sin2α+sin2β-sin2α·sin2β+cos2α·cos2β=1. 答案: (1)左边=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα =1+sin2α+cos2α-2sinα+2cosα-2sinαcosα =右边. (2)左边=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β =cos2β(sin2α+cos2α)+sin2β =1=右边. 说明:第(1)题可先将左右两边展开,再用同角三角函数的基本关系变形. 8、已知 tanα=3,计算: (1)

4 sin ? ? 2 cos ? ; 5 cos ? ? 3sin ?

(2)sinαcosα; (3) (sinα+cosα)2. 答案: (1)

5 8 3 ; ( 2) ; (3) . 7 5 10

说 明 : 第 ( 2 ) 题 可 由

sin 2 ? cos ?
2

?? ? tan 2 ? ? 9 , 得 c o2 s


1 , 所 以 10


sin ? cos ? ? tan ? cos 2 ? ?

3 10

s ?

??

s ?
2

?

sin ? ? cos ?

i ?

? i ? ? n. tan ? ? 1 3 ? 1 210

n

c

c
2

9、先估计结果的符号,再进行计算. (1) sin

25 25 25 ? ? cos ? ? tan(? ? ) ; 6 3 4

(2)sin2+cos3+tan4(可用计算器) . 答案: (1)0; (2)1.0771. 说明:先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小,再估计结果的符号.

10、已知 sin(? ? ? ) ? ? (1)cos(2π-α) ;

1 ,计算: 2
(2)tan(α-7π) .

答案: (1)当 α 为第一象限角时, cos(2? ? ? ) ?

3 , 2

当 α 为第二象限角时, cos(2? ? ? ) ? ?

3 ; 2 3 , 3

(2)当 α 为第一象限角时, tan(? ? 7? ) ?

当 α 为第二象限角时, tan(? ? 7? ) ? ?

3 . 3

说明:先用诱导公式转化为 α 的三角函数,再用同角三角函数的基本关系计算. 11、先比较大小,再用计算器求值: (1)sin378°21′,tan1111° ,cos642.5° ;

a ( t (2)sin(-879° ) ,n

3 ? ?o c ( s ,) ) 8

1 3 ? 1 0

? ;

(3)sin3,cos(sin2) . 答案: (1)tan1111° =0.601,sin378°21′=0.315,cos642.5° =0.216; (2)sin(-879° )=-0.358, tan(?

33? 13? ) ? ?0.414, cos(? ) ? ?0.588 ; 8 10

(3)sin3=0.141,cos(sin2)=0.614. 说明:本题的要求是先估计各三角函数值的大小,再求值验证. 12、设 π<x<2π,填表: x sinx cosx

7? 6
-1

7? 4

?

2 2

3 2

tanx 答案: x

3
7? 6 5? 4 4? 3 3? 2
-1

7? 4

11? 6

sinx

?

1 2

?

2 2

?

3 2

?

2 2

?

1 2

cosx

?

3 2

?

2 2
1

?

1 2

0

2 2
-1

3 2

tanx

3 3

3

不存在

?

3 3

说明:熟悉各特殊角的三角函数值. 13、下列各式能否成立,说明理由: (1)cos2x=1.5; (2) sin x ? ?
3

?
4



答案: (1)因为 cos x ? 1.5 ,或 cos x ? ? 1.5 ,而 1.5 ?1 , ? 1.5 ? ? 1 ,所以原式 不能成立; (2)因为 sin x ? 3 ?

?
4

,而 | 3 ?

?
4

|? 1 ,所以原式有可能成立.

说明:利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断. 14、求下列函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大、最小值的 x 的集合: (1) y ?

2?

sin x

?

,x∈R;

(2)y=3-2cosx,x∈R. 答案: (1)最大值为 2 ? 最小值为 2 ?

1

?

,此时 x 的集合为 {x | x ?

?
2

? 2k? , k ? Z} ;

1

?

,此时 x 的集合为 {x | x ? ?

?
2

? 2k? , k ? Z} ;

(2)最大值为 5,此时 x 的集合为{x|x=(2k+1)π,k∈Z}; 最小值为 1,此时 x 的集合为{x|x=2kπ,k∈Z}. 说明:利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质,研究所给函数的最大值和最小值性 质. 15、已知 0≤x≤2π,求适合下列条件的角 x 的集合: (1)y=sinx 和 y=cosx 都是增函数; (2)y=sinx 和 y=cosx 都是减函数; (3)y=sinx 是增函数,而 y=cosx 是减函数; (4)y=sinx 是减函数,而 y=cosx 是增函数. 答案: (1) {x | (2) {x |

?
2

3? ≤ x ≤ 2? } ; 2

≤ x ≤ ? };

(3) {x | 0 ≤ x ≤

?
2

};

(4) {x | ? ≤ x ≤

3? }. 2

说明:利用函数图象分析. 16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: (1) y ?

1 ? sin(3 x ? ), x ? R; 2 3

(2) y ? ?2sin( x ?

?

4

), x ? R; ), x ? R;

(3) y ? 1 ? sin(2 x ? (4) y ? 3sin( 答案: (1)

?
5

?

x ? ), x ? R. 6 3

(2)

(3)

(4)

说明:可要求学生在作出图象后,用计算机或计算器验证. 17、 (1)用描点法画出函数 y=sinx, x ? [0,

?
2

] 的图象.

(2)如何根据第(1)小题并运用正弦函数的性质,得出函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图 象? (3)如何根据第 (2) 小题并通过平行移动坐标轴, 得出函数 y=sin(x+φ)+k,x∈[0, 2π]的图象?(其中 φ,k 都是常数) 答案: (1) x sinx 0 0

? 18
0.17

? 9
0.34

? 6
0.50

2? 9
0.64

5? 18
0.77

? 3
0.87

7? 18
0.94

4? 9
0.98

? 2
1

(2)由 sin(π-x)=sinx,可知函数 y=sinx,x∈[0,π]的图象关于直线 x ?

?
2

对称,

据此可得函数 y=sinx,x ? [

?
2

, ? ] 的图象; 又由 sin (2π-x) =-sinx, 可知函数 y=sinx, x∈[0,

2π]的图象关于点(π,0)对称,据此可得出函数 y=sinx,x∈[π,2π]的图象.

(3)先把 y 轴向右(当 φ>0 时)或向左(当 φ<0 时)平行移动|φ|个单位长度,再把 x 轴向下(当 k>0 时)或向上(当 k<0 时)平行移动|k|个单位长度,最后将图象向左或向 右平行移动 2π 个单位长度, 并擦去[0, 2π]之外的部分, 便得出函数 y=sin (x+φ) +k, x∈[0, 2π]的图象. 说明:学会用不同的方法作函数图象. 18、不通过画图,写出下列函数的振幅、周期、初相,并说明如何由正弦曲线得出它们 的图象: (1) y ? sin(5 x ? (2) y ? 2sin

?
6

), x ? R;

1 x, x ? R. 6

答案: (1)振幅是 1,周期是 把正弦曲线向左平行移动

? ? 个单位长度,可以得函数 y ? sin( x ? ) ,x∈R 的图象; 6 6
1 倍(纵坐标不变) ,就可得出函数 5

2? ? ,初相是 . 5 6

再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的

y ? sin(5 x ? ) ,x∈R 的图象. 6
(2)振幅是 2,周期是 2π,初相是 0. 把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 y ? sin

?

1 x, 6

x∈R 的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,就可得到 函数 y ? 2sin( x) ,x∈R 的图象. 说明: 会根据解析式求各物理量, 并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象.

1 6

B组 1、已知 α 为第四象限角,确定下列各角的终边所在的位置:

? ; (3)2α. 3 3? ? ? ? k? ? ? (k ? 1)? ,所以 的终边在第二或第四象限; 答案: (1) 4 2 2 ? ? 120? ? ? 30? ? 90? ? k ? 120? ,所以 的终边在第二、第三或第四象 (2) 90? ? k ? 3 3
(1) (2) 限; (3) (4k+3)π<2α<(4k+4)π,所以 2α 的终边在第三或第四象限,也可在 y 轴的 负半轴上. 说明:不要求探索 α 分别为各象限角时,

? ; 2

? 和 nα 的终边所在位置的规律. n

2、一个扇形的弧长与面积的数值都是 5,求这个扇形中心角的度数. 答案:约 143° 说明:先用弧度制下的扇形面积公式求出半径,再求出中心角的弧度数,然后将弧度数 化为角度数.

3、已知 α 为第二象限角,化简 cos ? 提示:

1 ? sin ? 1 ? cos ? . ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?
(1 ? cos ? ) 2

原式 ? cos ? ?

(1 ? sin ? )2

cos 2 ? sin 2 ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? ? ? sin ? ? | cos ? | | sin ? | 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? (? ) ? sin ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? cos ? .

? sin ? ?

说明: 根据同角三角函数的基本关系将被开方式变形, 并根据 α 的终边位置确定符号是 关键. 4、已知 tan ? ? ?

1 ,计算: 3
(2)

(1)

sin ? ? 2 cos ? ; 5cos ? ? sin ?

1 2sin ? cos ? ? cos 2 ?



答案: (1)

5 10 ; (2) . 16 3

说明:根据同角三角函数的基本关系将原式变形为只含 tanα 的关系式.

5、求证:

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? . 1 ? sin ? ? cos ?

答案: 左边 ?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ?

(sin ? ? cos ? )2 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? cos ? (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? ? 1) ? ? 右边. 1 ? sin ? ? cos ?
说明:把左边分子中的 1 变成 sin2α+cos2α 是关键.

6、已知 xcosθ=a,

y x2 y 2 ? b(a ? 0, b ? 0) ,求证 2 ? 2 ? 1 . tan ? a b

答案:将已知条件代入左边,得

左边 ?

a2 a 2 cos2 ?

?

b2 tan 2 ? b2

?

1 cos2 ?

?

sin 2 ? cos2 ?

?

1 ? sin 2 ? cos2 ?

? 1.

说明:将已知条件代入左边消去 θ 是关键. 7、已知 tanθ+sinθ=a,tanθ-sinθ=b,求证(a2-b2)2=16ab. 答案:将已知条件代入左边,得 左边=[(tanθ+sinθ)2-(tanθ-sinθ)2]2 =16tan2θ· sin2θ, 再将已知条件代入右边,得

右边 ? 16(tan ? ? sin ? )(tan ? ? sin ? ) ? 16(tan 2 ? ? sin 2 ? ) ? 16 ? ? 16 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos 2 ? cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ?

? 16 tan 2 ? ?sin 2 ? ,
所以,左边=右边. 说明: 还可以利用 tan ? ?

a?b a ?b ,sin ? ? 及 (tanθ+sinθ) (tanθ-sinθ) =tan2θ·sin2θ. 2 2

8、 (1)函数 y ? 3cos(2 x ? (2)函数 y ? sin( ?3 x ? 答案: (1) [

?
3

) ,x∈R 在什么区间上是减函数?

?
4

) ,x∈R 在什么区间上是增函数?

?
6

? k? ,

2? ? k? ], x ? Z ; 3

(2) [?

?
12

?

2 k ? ? 2 k? , ? ], k ? Z . 3 4 3

说明:利用正弦、余弦函数的单调区间求所给函数的单调区间.

9、 (1)我们知道,以原点为圆心,r 为半径的圆的方程是 x2+y2=r2.那么 ? 表示什么曲线?(其中 r 是正常数,θ 在[0,2π)内变化) (2)在直角坐标系中, ?

? x ? r cos ? , ? y ? r sin ?

? x ? a ? r cos ? , 表示什么曲线?(其中 a、b、r 是常数,且 r ? y ? b ? r sin ?

为正数,θ 在[0,2π)内变化) 答案: (1)表示以原点为圆心,r 为半径的圆. (2)表示以(a,b)为圆心,r 为半径的圆. 说明: 本题只作同角三角函数关系式的应用训练, 不必补充参数方程的有关知识. 另外, 如果没有学习《数学 2》 ,也可不做此题.

P77 习题 2.1 A组 1、在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量: (1) | OA |? 4 ,点 A 在点 O 正南方向; (2) | OB |? 2 2 ,点 B 在点 O 北偏西 45° 方向; (3) | OC |? 2 ,点 C 在点 O 南偏西 30° 方向.

??? ?

??? ?

??? ?

答案:

说明:选定点 O 后,点 A,B,C 的位置就唯一确定.点 A 在点 B 的什么方位是向量 中经常会涉及的问题,也是引入向量的直观例子.教师应让学生熟悉这种表示方法. 2、一人从点 A 出发,向东走 500 米到达点 B,接着向北偏东 60° 走 300 米到达点 C, 然后再向北偏东 45° 走 100 米到达点 D.试选择适当的比例尺,用向量表示这个人的位移. 答案:

说明:位移是物理学中的基本量.在数学中可以用有向线段表示位移,要表示出点 A、 D 之间的位移,就需要表示出点 A、B,点 B、C,点 C、D 之间的位移.让学生通过实例, 感受向量与生活紧密相关.

3、如图,D、E、F 分别是△ ABC 各边的中点,写出图中与 DE 、 EF 、 FD 相等的向 量.

????

??? ?

??? ?

答案:与 DE 相等的向量有: AF , FC ; 与 EF 相等的向量有: BD, DA ; 与 FD 相等的向量有: CE, EB .

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

说明: 主要考查三角形及其中位线的性质与向量之间的联系. 向量是形与数之间的桥梁, 学习向量时,一定要注意密切联系图形的几何性质,特别是相等和平行方面的性质. 4、如图,在方格纸上的□ABCD 和折线 MPQRST 中,点 O 是□ABCD 的对角线的交点,

??? ? ??? ? ??? ? 且 OA ? a, OB ? b, AB ? c, 分别写出图中与 a、b、c 相等的向量.

答案:与 a 相等的向量有: CO, QP, SR ; 与 b 相等的向量有: PM , DO ; 与 c 相等的向量有: DC, RQ, ST . 说明:平行四边形的对边平行且相等,对角线互相平分.有条件的也可以运用几何作图 软件作图,通过平移,加深学生对相等向量的认识.

??? ? ??? ? ???

???? ? ????

???? ??? ? ??? ?

5、已知边长为 3 的等边三角形 ABC,求 BC 边上的中线向量 AD 的模 | AD | . 答案: | AD |?

????

????

????

3 3 2

说明:等边三角形具有许多性质,如三边相等,三边的高线、中线、角平分线三线合一 等.向量是联系代数与几何的有力工具,在解题时应引导学生根据题意作图反映几何特性.

6、判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”) ,并说明理由. (1)若 a、b 都是单位向量,则 a=b. ( ) (2)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量. ( ) (3)方向为南偏西 60° 的向量与北偏东 60° 的向量是共线向量. ( ) (4)直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量. ( ) 答案: (1)× 说明:单位向量的长度都是 1,但方向可能不同. (2)√ 说明:作用力和反作用力作用在不同的物体上,其大小相同,方向相反,是一对共线向 量. (3)√ 说明:方向为南偏西 60° 的向量与北偏东 60° 的向量方向相反,它们是共线向量. (4)× 说明:x 轴,y 轴只有方向,没有大小,因而不是向量.

B组 1、有人说,由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示,海平面以下的高度用负数表 示,所以海拔也是向量、你同意他的看法吗?温度、角度是向量吗?为什么? 答案:海拔和高度都不是向量. 说明:海拔不是向量,它只有大小,没有方向.讲海拔时,通常不从向量的角度去讲, 海平面以上的高度用正数表示,海平面以下的高度用负数表示.同样,温度、角度也不是向 量. 2、在矩形 ABCD 中,AB=2BC,M、N 分别为 AB 和 CD 的中点,在以 A、B、C、D、 M、N 为起点和终点的所有向量中,相等的非零向量共有多少对? 答案:相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对.其中与 AM 同向的共有 6 对,与 AM 反向的也有 6 对;与 AD 同向的共有 3 对, 与 AD 反向的也有 3 对; 模为 2 的向量共有 4 对; 模为 2 的向量有 2 对.

???? ?

???? ?

????

????

说明:相等向量是大小相等、方向相同的向量.学生应熟悉矩形的性质:有一个角是直 角、对边平行.在解题中,要确定一个分类的原则,计算各类中相等向量的对数.这里是以 向量模的大小分类, 然后考虑各类中有几种不同的方向, 最后研究各个方向上各有几对相等 的向量.

P91

习题 2.2 1、设 a 表示“向东走 10km”,b 表示“向西走 5km”,c 表示“向北走 10km”,d 表示“向南 走 5km”.试说明下列向量的意义. (1)a+a; (2)a+b; (3)a+c; (4)b+d; (5)b+c+b; (6)d+a+d. 答案: (1)向东走 20km; (2)向东走 5km; (3)向东北走 10 2km ; (4)向西南走 5 2km ; (5)向西北走 10 2km ; (6)向东南走 10 2km . 2、一架飞机向北飞行 300km,然后改变方向向西飞行 400km,求飞机飞行的路程及两 次位移的合成. 答案:飞机飞行的路程为 700km;两次位移的合成是向北偏西约 53° 方向飞行 500km. 3、一艘船以 8km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2km/h.求船 实际航行的速度的大小与方向(精确到 1° ) . 答案:实际航行的速度是 2 17km/h ,船航行的方向与河岸的夹角约为 76° . 4、化简: (1) AB ? BC ? CA ; (2) ( AB ? MB) ? BO ? OM ; (3) OA ? OC ? BO ? CO ; (4) AB ? AC ? BD ? CD ; (5) OA ? OD ? AD ; (6) AB ? AD ? DC ; (7) NQ ? QP ? MN ? MP . 答案: (1)0; (2) AB ; (3) BA ; (4)0; (5)0; (6) CB ; (7)0. 5、作图验证:

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ???? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ???? ????

??? ? ???? ????

???? ??? ? ???? ? ????
??? ?

??? ?

??? ?

1 1 (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ; 2 2 1 1 (2) (a ? b) ? (a ? b) ? b . 2 2
(1) 答案:略. 6、已知向量 a、b,求作向量 c,使 a+b+c=0.表示 a、b、c 的有向线段能构成三角 形吗? 答案:不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零向量的和为零向量,且这 三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、作图验证:b-a=-(a-b) . 答案:略. 8、已知 a、b 为两个非零向量, (1)求作向量 a+b 及 a-b; (2)向量 a、b 成什么位置关系时,|a+b|=|a-b|(不要求证明) . 答案: (1)略; (2)当 a⊥b 时,|a+b|=|a-b|. 说明: (2)的结论可以启发学生结合向量加法的平行四边形法则解释,其实质是对角线 相等的平行四边形是矩形. 9、化简: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a) ; (2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c) ; (3) [(3a ? 2b) ? 5a ? (6a ? 9b)] ; (4) (x-y) (a+b)-(x-y) (a-b) . 答案: (1)3a-2b; (2)10a-22b+10c; (3) 3a ?

1 2

1 3

1 b; (4)2(x-y)b 2

10、已知 a=e1+2e2,b=3e1-2e2,求 a+b,a-b 与 3a-2b. 答案:a+b=4e1,a-b=-e1+4e2,3a-2b=-3e1+10e2. 11、已知□ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O,且 OA ? a , OB ? b ,用向量 a、b 分别表示向量 OC, OD, DC, BC . 答案:如图所示, OC ? ?a, OD ? ?b, DC ? b ? a, BC ? ?a ? b.

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? ??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

? 1 ??? AB ,DE//BC,且与边 AC 相交于点 E,△ ABC 的中线 AM 4 ??? ? ??? ? 与 DE 相 交 于 点 N . 设 AB ? a , AC ? b , 用 a 、 b 分 别 表 示 向 量
12、△ ABC 中, AD ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN .
答 案: AE ?

??? ?

???? 1 ???? ? 1 AN ? AM ? (a ? b) . 4 8

? ???? 1 ??? ? 3 ??? ? 3 ???? 1 1 ??? b, BC ? b ? a, DE ? (b ? a ), DB ? a, EC ? b, DN ? (b ? a ) , 4 4 4 4 8

说明:本题用到平行线分线段成比例的有关性质及平行四边形的性质.

EF ? HG . 13、 已知四边形 ABCD, 点 E、 F、 G、 H 分别是 AB、 BC、 CD、 DA 的中点, 求证:
证明:在△ ABC 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC 且 EF ?

??? ?

????

??? ? 1 ???? EF ? AC ; 2 ???? 1 ???? 同理, HG ? AC . 2 ??? ? ???? 所以 EF ? HG .

1 AC ,即 2

说明:本题主要目的是让学生应用三角形中位线定理,体会向量与几何的联系.

B组 1、飞机从甲地以北偏西 15° 的方向飞行 1400km 到达乙地,再从乙地以南偏东 75° 的方 向飞行 1400km 到达丙地.试画出飞机飞行的位移示意图,并说明丙地在甲地的什么方向? 丙地距甲地多远? 答案:丙地在甲地的北偏东 45° 方向,距甲地 1400km.

2、已知 a、b 是非零向量,|a+b|与|a|+|b|一定相等吗?为什么? 答案:不一定相等,可以验证在 a,b 不共线时它们不相等. 3、如图, AM ?

???? ?

? ???? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? 1 ??? AB, AN ? AC .求证: MN ? BC . 3 3 3

证明:因为 MN ? AN ? AM ,

???? ?

???? ???? ?

???? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? 而 AN ? AC , AM ? AB, 3 3 ???? ? 1 ???? 1 ??? ? 所以MN ? AC ? AB 3 3 ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? ( AC ? AB) ? BC. 3 3
4、根据下列各个小题中的条件,分别判断四边形 ABCD 的形状,并给出证明: (1) AD ? BC ;

????
????

??? ?

? 1 ??? BC ; 3 ??? ? ???? ??? ? ???? (3) AB ? DC ,且 | AB |?| AD | .
(2) AD ? 答案: (1)四边形 ABCD 为平行四边形,证略; (2)四边形 ABCD 为梯形. 证明:因为 AD ?

????

? 1 ??? BC , 3

所以 AD∥BC,且 AD≠BC, 所以四边形 ABCD 为梯形.

(3)四边形 ABCD 为菱形. 证明:因为 AB ? DC , 所以 AB∥DC,AB=DC. 所以四边形 ABCD 为平行四边形. 又 | AB |?| AD | , 所以四边形 ABCD 为菱形.

??? ?

????

??? ?

????

说明:本题是用向量的性质判断图形的几何性质.

、 OB、 OC、 OD 满足等式 5 、已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内的一点,且向量 OA

??? ? ??? ? ??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ? ???? OA ? OC ? OB ? OD .
(1)作图并观察四边形 ABCD 的形状; (2)四边形 ABCD 有什么特性?试证明你的猜想. 答案: (1)通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形. 证明:因为 OA ? OB ? BA ,

??? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? OD ? OC ? CD , ??? ? ???? ??? ? ???? 而OA ? OC ? OB ? OD, ??? ? ??? ? ???? ???? 所以OA ? OB ? OD ? OC , ??? ? ??? ? //CD 所以BA ? CD,即AB ?
因此四边形 ABCD 为平行四边形. 说明: 本题需要先根据题意分析作图方法. 实际上, 这个图中三个顶点的位置是任意的, 而第四个顶点的位置是由给出的条件确定的.所以在作图时,可先作向量 OA 、 OB、 OC (如 图) ,然后作 OM ? OA ? OC及BM ? OA ? OC ? OB ,最后只需将 BM 平移至 OD ,连接 A、B、C、D 四点得出四边形 ABCD. 本题如能利用计算机软件作图,效果会更好,学生可以动态地观察图形,帮助思考.

??? ? ??? ? ??? ? ????

???? ?

??? ? ??? ? ???? ?

??? ? ??? ? ??? ?

???? ?

P101 习题 2.3 A组 1、已知表示向量 a 的有向线段始点 A 的坐标,求它的终点 B 的坐标: (1)a=(-2,1) ,A(0,0) ; (2)a=(1,3) ,A(-1,5) ; (3)a=(-2,-5) ,A(3,7) . 答案: (1) (-2,1) ; (2) (0,8) ; (3) (1,2) . 说明:解题时可设 B(x,y) ,利用向量坐标的定义解题. 2、已知作用在坐标原点的三个力分别为 F1=(3,4) ,F2=(2,-5) ,F3=(3,1) ,求

作用在原点的合力 F1+F2+F3 的坐标. 答案:F1+F2+F3=(8,0) . 3、已知□ABCD 的顶点 A(-1,-2) ,B(3,-1) ,C(5,6) ,求顶点 D 的坐标. 答案:解法一: OA ? (?1, ?2), BC ? (5 ? 3,6 ? (?1)) ? (2,7), 而 AD ? BC, OD ? OA ? AD ? OA ? BC ? (1,5) . 所以点 D 的坐标为(1,5) . 解法二:设 D(x,y) ,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? AD ? ( x ? (?1), y ? (?2)) ? ( x ? 1, y ? 2), ??? ? BC ? (5 ? 3, 6 ? (?1)) ? (2, 7). ???? ??? ? ? x ? 1 ? 2, 由AD ? BC可得 ? ? y ? 2 ? 7.
解得点 D 的坐标为(1,5) . 说明:本题也可利用平行四边形的对角线互相平分,用 A、C 和 B、D 的中点重合来解 题.教师可启发学生通过多种途径解题. 4、已知点 A(1,1) ,B(-1,5)及 AC ? D、E 的坐标. 解: OA ? (1,1), AB ? (?2, 4).

????

? ???? ??? ? ??? ? ? 1 ??? 1 ??? AB, AD ? 2 AB, AE ? ? AB ,求点 C、 2 2

??? ?

??? ?

???? 1 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? 1 ??? AC ? AB ? (?1, 2), AD ? 2 AB ? (?4,8), AE ? ? AB ? (1, ?2). 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ; OC ? OA ? AC ? (0,3) ,所以,点 C 的坐标为(0,3)

??? ? ??? ? ??? ? ; OD ? OA ? AD ? (?3,9) ,所以,点 D 的坐标为(-3,9) ??? ? ??? ? ??? ? . OE ? OA ? AE ? (2, ?1) ,所以,点 E 的坐标为(2,-1)
说明:要使学生理解向量的坐标的意义,能利用向量的坐标确定一个点的坐标. 5、x 为何值时,a=(2,3)与 b=(x,-6)共线? 答案:由向量 a,b 共线得(2,3)=λ(x,-6) , 所以

2 3 ? ,解得 x=-4. x ?6

说明:要让学生通过此类习题的练习,体会两个共线向量的坐标之间的关系,理解为什 么可以通过比例来求解,这也是培养学生归纳能力的一个途径.

6、已知 A(-2,-3) ,B(2,1) ,C(1,4) ,D(-7,-4) ,试问: AB与CD 是否

??? ? ??? ?

共线? 答案: AB ? (4, 4), CD ? (?8, ?8), CD ? ?2 AB, 所以AB与CD共线 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

7、已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(-1,3) ,且 OA? ? 2OA, OB? ? 3OB ,求点 A′、 B′及向量 A?B? 的坐标. 答案: OA? ? 2OA ? (2, 4) ,所以点 A′的坐标为(2,4) ;

????

??? ? ????

??? ?

???? ?

????

??? ?

???? ??? ? ; OB? ? 3OB ? (?3,9) ,所以点 B′的坐标为(-3,9)
向量 A?B? ? (?5,5) .

???? ?

B组 1、已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) ,O P O ? At A B? 时,分别求点 P 的坐标. 答案: OA ? (1, 2), AB ? (3,3) . 当 t=1 时, OP ? OA ? AB ? OB ? (4,5) ,所以 P(4,5) ;

??? ?

??? ?

??? ?

.当 t=1,

1 ,-2,2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 3 3 5 7 5 7 时, OP ? OA ? AB ? (1, 2) ? ( , ) ? ( , ), 所以P( , ); 2 2 2 2 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 当 t=-2 时, OP ? OA ? 2AB ? (1,2) ? (6,6) ? ( ?5, ?4) ,所以 P(-5,-4) ;
当t ? 当 t=2 时, OP ? OA ? 2 AB ? (1, 2) ? (6,6) ? (7,8) ,所以 P(7,8) .

??? ?

??? ?

??? ?

2、判断下列各点的位置关系,并给出证明: (1)A(1,2) ,B(-3,-4) ,C(2,3、5) ; (2)P(-1,2) ,Q(0.5,0) ,R(5,-6) ; (3)E(9,1) ,F(1,-3) ,G(8,0.5) . 答案: (1)因为 AB ? (?4, ?6), AC ? (1,1.5), 所以AB ? ?4 AC ,所以 A、B、C 三点 共线; (2)因为 PQ ? (1.5, ?2), PR ? (6, ?8), 所以PR ? 4PQ ,所以 P、Q、R 三点共线; (3)因为 EF ? (?8, ?4), EG ? (?1, ?0.5), 所以EF ? 8EG ,所以 E、F、G 三点共线. 3、设 e1、e2 是平面内一组基底,证明:当 λ1e1+λ2e2=0 时,恒有 λ1=λ2=0.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 证明:假设 λ1≠0,则由 λ1e1+λ2e2=0,得 e1 ? ? 2 e2 . ?1
所以 e1、e2 是共线向量,与已知 e1、e2 是平面内的一组基底矛盾. 因此假设错误,λ1=0. 同理 λ2=0. 综上,λ1=λ2=0. 4、如图,设 Ox、Oy 是平面内相交成 60° 角的两条数轴,e1、e2 分别是与 x 轴、y 轴正 方向同向的单位向量,若向量 OP ? xe1 ? ye2 ,则把有序数对(x,y)叫做向量 OP 在坐标 系 xOy 中的坐标.假设 OP ? 3e1 ? 2e2 , (1)计算 | OP | 的大小; (2)由平面向量基本定理,本题中向量坐标的规定是否合理?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

答案: (1) | OP |? 19 . (2)对于任意向量 OP ? xe1 ? ye2 ,x,y 都是唯一确定的,所以向量的坐标表示的规 定合理.

??? ?

??? ?

P108 习题 2.4 A组 1、已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角 θ=150°,求 a· b, (a+b)2,|a+b|.

b ? ?6 3, (a ? b) 2 ?| a |2 ?2a ? b ? | b |2 ? 25 ? 12 3,| a ? b |? 答案: a ?

25 ? 12 3 .

CA . 2、已知△ ABC 中,a=5,b=8,C=60° ,求 BC ? CA ? ?20 . 答案: BC 与 CA 的夹角为 120° , BC ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

3、已知|a|=2,|b|=5,a· b=-3,求|a+b|,|a-b|. 答案: | a ? b |?

a 2 ? 2a ?b ? b 2 ? 23,| a ? b |? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 35.

4、求证: (λa)· b=λ(a· b)= a· (λb) . 答案:证法一:设 a 与 b 的夹角为 θ. (1)当 λ=0 时,等式显然成立; (2)当 λ>0 时,λa 与 b,a 与 λb 的夹角都为 θ,所以 (λa)· b=|λa||b|cosθ=λ|a||b|cosθ, λ(a· b)=λ|a||b|cosθ, a· (λb)=|a||λb |cosθ=λ|a||b|cosθ. 所以, (λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) ; (3)当 λ<0 时,λa 与 b,a 与 λb 的夹角都为 180° -θ,则 (λa)· b=|λa||b|cos(180° -θ)=-|λ||a||b|cosθ, λ(a· b)=λ|a||b|cosθ=-|λ||a||b|cosθ, a· (λb)=|a||λb |cos(180° -θ)=-|λ||a||b|cosθ. 所以, (λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) . 综上所述,等式成立. 证法二:设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,那么 (λa)· b=(λx1,λy1)· (x2,y2)=λx1x2+λy1y2, λ(a· b)=λ(x1,y1)· (x2,y2)=λ(x1x2+y1y2)=λx1x2+λy1y2, a· (λb)=(x1,y1)· (λx2,λy2)=λx1x2+λy1y2. 所以(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) . 5、先作图,观察以 A、B、C 为顶点的三角形的形状,然后给出证明: (1)A(-1,-4) ,B(5,2) ,C(3,4) ; (2)A(-2,-3) ,B(19,4) ,C(-1,-6) ; (3)A(2,5) ,B(5,2) ,C(10,7) . 答案: (1)直角三角形,∠B 为直角. 证明:BA ? (?6, ?6), BC ? (?2, 2) , 由B 得 BC⊥BA, ∠B 为直角, △ ABC CB ? A ?0, 为直角三角形; (2)直角三角形,∠A 为直角. 证明: AB ? (21,7), AC ? (1, ?3), AB?AC ? 0 ,同(1)可得结论; (3)直角三角形,∠B 为直角. 证明: BA ? (?3,3), BC ? (5,5), BA? BC ? 0 ,同(1)可得结论.

??? ?

??? ?

? ? ? ?? ? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

b ? ?54 2 ,求 a 与 b 的夹角 θ. 6、设|a|=12,|b|=9, a?
答案:θ=135°

7、已知|a|=4,|b|=3, (2a-3b)· (2a+b)=61,求 a 与 b 的夹角 θ. 答案:θ=120° (2a-3b)· (2a+b)=4a2-4a· b-3b2=61,于是可得 a· b=-6,cos ? ? 所以 θ=120°. 8、已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求 a 与 b 的夹角 θ(精确到 1° ) . (可用计算器) 答案: cos ? ?

a ?b 1 ?? , | a || b | 2

23 ,θ=55°. 40

9、求证:A(1,0) ,B(5,-2) ,C(8,4) ,D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形. 证明:因为 AB ? (4, ?2), BC ? (3,6), DC ? (4, ?2) , 所以 AB ? DC, AB? BC ? 0 . 所以 A,B,C,D 为顶点的四边形是矩形. 10、已知|a|=3,b=(1,2) ,且 a∥b,求 a 的坐标. 解:设 a=(x,y) ,则

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ??? ?

? ? 3 5 3 5 ? x 2 ? y 2 ? 9, , ?x ? ? , ?x ? ? ? ? 5 5 解得 或 ? ? ? y ?x ? . ?y ? 6 5 ?y ? ? 6 5 . ? 2 ? ? 5 5 ? ? 于是a ? ( 3 5 6 5 3 5 6 5 , )或a ? (? ,? ). 5 5 5 5

说明:在解方程的过程中,要注意 x 与 y 同号. 11、已知 a=(4,2) ,求与 a 垂直的单位向量的坐标. 解:设与 a 垂直的单位向量 e=(x,y) ,则

? ? 5 5 x? , , ? ?x ? ? ? ? x ? y ? 1, ? ? 5 5 解得 或 ? ? ? ? ?4 x ? 2 y ? 0, ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 . ? ? 5 5 ? ?
2 2

e?(

5 2 5 5 2 5 ,? ), 或e ? (? , ). 5 5 5 5

说明:方程 4x+2y=0 中隐含了条件:x 与 y 异号.

B组 1、已知 a 是非零向量,且 b≠c,求证:a· b=a· c ? a⊥(b-c) . 答案:证法一:a· b=a· c ? a· b-a· c=0

(b-c)=0 ? a· . ? a⊥(b-c) 证法二:设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,c=(x3,y3) . 先证 a· b=a· c ? a⊥(b-c) . a· b=x1x2+y1y2, a· c=x1x3+y1y3. 由 a· b=a· c 得 x1x2+y1y2=x1x3+y1y3, 即 x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0. 而 b-c=(x2-x3,y2-y3) , 所以 a· (b-c)=0. 再证 a⊥(b-c) ? a· b=a· c. 由 a· (b-c)=0 得 x1(x2-x3)+y1(y2-y3)=0, 即 x1x2+y1y2=x1x3+y1y3, 因此 ? a· b=a· c. 说明:这里给出了两种不同的证明方法,证法一是利用向量数量积的运算律进行证明, 而证法二是利用向量的坐标运算进行证明.实际上,学生学习了向量的坐标运算后,会遇到 是否需要选用坐标进行证明的问题, 教师在教学中需要对不同的问题加以分析引导, 让学生 体会两种不同方法的特点和方法. 2、 如图, 在平面直角坐标系中, 以原点为圆心, 单位长度为半径的圆上有两点 A (cosα, sinα) ,B(cosβ,sinβ) ,试用 A、B 两点的坐标表示∠AOB 的余弦值.

??? ? ??? ? OA? OB ? ??? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . 答案: cos ?AOB ? ??? | OA || OB |
说明: 本题是为后面章节中两角差的余弦公式的学习作准备, 同时也让学生体会向量在 三角中的运用. 3、证明:对于任意的 a、b、c、d∈R,恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2) . 证明:构造向量 u=(a,b) ,v=(c,d) .

u· v=|u||v|cosθ(其中 θ 为向量 u,v 的夹角) . 所以 ac ? bd ? a2 ? b2 c2 ? d 2 cos ? , (ac+bd)2=(a2+b2) (c2+d2)cos2θ≤(a2+b2) (c2+d2) . 说明:不等式中等号成立的条件是 u,v 同向.

4、如图,在圆 C 中,是不是只需知道圆 C 的半径或弦 AB 的长度,就可以求 AB?AC 的值?

??? ? ??? ?

答案: AB?AC 的值只与弦 AB 的长有关,与圆的半径无关. 证明:取 AB 的中点 M,连接 CM,则 CM⊥AB, AM ?

??? ? ??? ?

???? ?

??? ? ???? ??? ? ???? 又 AB ?AC ?| AB || AC |?cos ?BAC , ???? ? | AM | 而 cos ?BAC ? ???? , | AC | ??? ? ???? ??? ? ???? ? 1 ??? ? 所以 AB ?AC ?| AB || AM |? | AB |2 . 2

? 1 ??? AB . 2

5、平面向量的数量积 a· b 是一个非常重要的概念,利用它可以容易地证明平面几何的 许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂 直平分等、请你给出具体证明. 你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗? 答案: (1)勾股定理:Rt△ ABC 中,∠C=90° ,则 | CA |2 ? | CB |2 ?| AB |2 . 证明:因为 AB ? CB ? CA ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

CB ? CA . 所以 AB ? (CB ? CA)(CB ? CA) ? CB ? 2CA?
由∠C=90° ,有 CA⊥CB,于是 CA? CB ? 0 . 所以 | CA |2 ? | CB |2 ?| AB |2 . (2)菱形 ABCD 中,求证:AC⊥BD. 证明:因为 AC ? AB ? AD, DB ? AB ? AD,

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ??? ?

??? ? ????

( AB ? AD) ? AB ? AD . 所以 AC ?DB ? ( AB ? AD)?
因为 ABCD 是菱形,所以 AB=AD,所以 AB ? AD ? 0 . 因为 AC ?DB ? 0 ,所以 AC⊥BD. (3)长方形 ABCD 中,求证:AC=BD. 证明:因为 ABCD 是长方形,所以 AB⊥AD,所以 AB?AD ? 0 . 所以 AB ? 2 AB?AD ? AD ? AB ? 2 AB?AD ? AD . 所以 ( AB ? AD)2 ? ( AB ? AD)2 . 所以 | AC |2 ?| BD |2 . 所以 AC=BD. (4)正方形的对角线垂直平分.综合以上(2) (3)的证明即可.

???? ??? ?

??? ? ????

??? ? ????

??? ? 2 ???? 2

??? ? 2 ???? 2

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

P113 习题 2.5 1、已知点 A(1,0) ,直线 l:y=2x-6,点 R 是直线 l 上的一点,若 RA ? 2 AP ,求 点 P 的轨迹方程. 解:设 P(x,y) ,R(x1,y1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 则RA ? (1 ? x1, ? y1 ), AP ? ( x ? 1, y ). ??? ? ??? ? ? x ? ?2 x ? 3, 由RA ? 2 AP得(1 ? x1, ? y1 ) ? 2( x ? 1, y ), 即 ? 1 ? y1 ? ?2 y.

代入直线 l 的方程得 y=2x. 所以,点 P 的轨迹方程为 y=2x. 说明:本题实际上是利用向量进行图形变换,目的是加强学生的应用向量意识. 2、△ ABC 中,D 、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设

??? ? ??? ? AB ? a, AC ? b ,

(1)证明 A、O、E 三点在同一直线上,且 (2)用 a、b 表示向量 AO . 解: (1)易知,△ OFD∽△OBC, DF ? 所以, BO ?

AO BO CO ? ? ? 2; OE OF OD

????

1 BC , 2

2 BF . 3 ???? ??? ? ??? ? AO ? BO ? BA ? 2 ??? ? BF ? a 3 2 1 ? ( b ? a) ? a 3 2 1 ? (a ? b). 3

(2)因为 AE ? 所以 AO ?

??? ?

? AO 2 ??? ?2. AE .因此 A、O、E 三点在同一直线上,而且 OE 3 BO CO ? 2, ?2. 同理可知 OF OD AO BO CO ? ? ? 2. 所以 OE OF OD
说明:本题的目的是要证明三角形的三条中线相交于一点.为了降低证明的难度,将问 题分成了两个小题.教学中,可以通过本题让学生思考证明三线共点的证明方法:可以是先 得出其中两条线的交点, 然后证明第三条线经过这一点. 本题也可以利用向量的坐标来求解. 3、两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 sA=(4,3) , sB=(2,10) . (1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 sA 方向上的投影.

????

1 (a ? b ) , 2

解: (1)v=vB-vA=(-2,7) ; (2)v 在 vA 方向上的投影为

| v ?v A | 13 ? . | vA | 5

4、 平面上三个力 F1、 F2、 F3 作用于一点且处于平衡状态, |F1|=1N,| F2 |? F1 与 F2 的夹角为 45° ,求: (1)F3 的大小; (2)F3 与 F1 夹角的大小. 解:设 F1,F2 的合力为 F,F 与 F1 的夹角为 θ,则

6? 2 N, 2

| F |? 3 ? 1 ,θ=30°;
. | F3 |? 3 ? 1 ,F3 与 F1 的夹角为 150°

说明:由于没有学习正弦定理、余弦定理,可用如图所示的方法添高求解.

B组 1、以初速度 v0,抛射角 θ 投掷铅球,求铅球上升的最大高度和最大投掷距离 解:设 v0 在水平方向的速度大小为 vx,竖直方向的速度的大小为 vy,则 vx=|v0|cosθ,vy=|v0|sinθ. 设在时刻 t 的上升高度为 h,抛掷距离为 s,则

1 2 ? ?h ?| v0 | t sin ? ? gt , ( g为重力加速度) 2 ? ? ? s ?| v0 | t cos ? .
所以,最大高度为

| v0 |2 sin 2 ? | v |2 sin 2? ,最大投掷距离为 0 . 2g g

2、一条河的两岸平行,河的宽度 d=500m,一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的静 水速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合 速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论: (1)当船逆流行驶,与水流成钝角时; (2)当船顺流行驶,与水流成锐角时; (3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时. 请同学们计算上面三种情况,是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间

最短. 解:设 v1 与 v2 的夹角为 θ,合速度为 v,与 v 的夹角为 α 了,行驶距离为 d,则

sin ? ?

| v1 | sin ? 10sin ? 0.5 |v| ? ,d ? ? . |v| |v| sin ? 20sin ? . d 1 ? . | v | 20sin ?

所以当 θ=90°,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.

说明:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求解. 3、已知对任意平面向量 AB ? ( x, y) ,把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 θ 角得到向量

??? ?

??? ?

??? ? AP ? ( x cos? ? y sin ? , x sin ? ? y cos? ) ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 θ 角得到点
P. (1)已知平面内点 A(1,2) ,点 B(1 ? 2,2 ? 2 2) .把点 B 绕点 A 沿顺时针方向 旋转

? 后得到点 P,求点 P 的坐标; 4

(2) 设平面内曲线 C 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转 曲线 x2-y2=3,求原来曲线 C 的方程. 答案: (1) (0,-1) . 解:设 P(x,y) ,则 AP ? ( x ?1, y ? 2).AB ? ( 2, ?2 2) . 将 AB 绕点 A 沿顺时针方向旋转 是

? 后得到的点的轨迹是 4

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ??? 7 到 AP ,相当于沿逆时针方向旋转 ? 到 AP ,于 4 4

??? ? 7 7 7 7 AP ? ( 2 cos ? ? 2 2 sin ? , 2 sin ? ? 2 2 cos ? ) ? ( ?1, ?3). 4 4 4 4 ? x ? 1 ? ?1, 所以 ? ? y ? 2 ? ?3.
解得 x=0,y=-1.

(2) y ? ?

3 . 2x

解:设曲线 C 上任一点 P 的坐标为(x,y) , OP 绕 O 逆时针旋转 为(x′,y′) ,则

??? ?

? 后,点 P 的坐标 4

? ? ? ? x ? x cos ? y sin , ? ? 4 4 ? ? y? ? x sin ? ? y cos ? , ? ? 4 4 ? 2 ( x ? y ), ? x? ? ? 2 即? ? y? ? 2 ( x ? y ). ? ? 2 1 2 1 2 又因为 x′2-y′2=3,所以 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 3 . 2 2 3 化简得 y ? ? . 2x
说明:本题希望学生能运用题目中给出的法则进行运算,同时也体现向量的作用.

P118 复习参考题 1、判断下列命题是否正确: (1) AB ? BA ? 0 ; (2) AB ? BC ? AC ; (3) AB ? AC ? BC ; (4) 0 AB ? 0 . 答案: (1) (√)

??? ? ??? ?

( ( ( (

) ) ) )

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? AB 与 BA 是相反向量,它们的和为零向量.
(2) (√) 当第一个向量的终点是第二个向量的起点时, 这两个向量的和等于第一个向量的起点指 向第二向量的终点的向量. (3) (× ) 当两个向量有共同的起点时, 那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终 点的向量. (4) (× ) 实数 0 与任意向量的数乘结果是零向量,而不是实数 0.

2、选择题: (1)如果 a,b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( A.a=b B.a· b=1 C.a2≠b2 D.|a|2=|b|2 (2)对于任意向量 a、b,下列命题中正确的是( ) A.若 a、b 满足|a|>|b|,且 a 与 b 同向,则 a>b B.|a+b|≤|a|+|b| C.|a· b|≥|a||b| D.|a-b|≤|a|-|b| (3)在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则(



??? ?

??? ? ????

) .

A.ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形 C.ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 (4)设 a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论中正确的是( A.a 与-λa 的方向相反 B.|-λa|≥|a| 2 C.a 与 λ a 的方向相同 D.|-λa|=|λ|·a



(5)设 M 是□ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD 等于 ( ) A. OM

??? ? ??? ? ??? ? ????

???? ?

B. 2OM

???? ?

C. 3OM

???? ?

D. 4OM

???? ?

(6)下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A.e1=(0,0) ,e2=(1,-2) B.e1=(-1,2) ,e2=(5,7) C.e1=(3,5) ,e2=(6,10) D.e1=(2,-3) , e2 ? ( , ? )

1 2

3 4

答案: (1)D 说明:两个单位向量的长度是相等的,因而长度的平方也是相等的. A 选项不正确是因为两个向量相等,必须长度相等,而且方向相同.两个单位向量尽管 长度相等,但方向不一定相同. B 选项不正确.两个单位向量的数量积只有当它们同向(或夹角为 0)时,它们的数量 积才为 1. C 选项不正确.因为 a2、b2 表示向量 a 和向量 b 的长度的平方,而|a|=|b|,所以它们应 该相等. (2)B 说明:可利用三角形两边之和与第三边的关系来解题. (3)D 说明:这是向量加法的平行四边形法则,它只能保证四边形 ABCD 是平行四边形,不 能保证它是矩形、菱形、正方形. (4)C 说明:当 λ>0 时,a 与-λa 的方向相反;当 λ<0 时,a 与-λa 的方向相同. (5)D 说明: OA ? OC ? 2OM , OB ? OD ? 2OM . (6)B 说明:两个不共线的非零向量构成一组基底.

??? ? ??? ?

???? ? ??? ? ??? ?

???? ?

3、已知 AB ? AD ? AC ,且 AC ? a , BD ? b ,分别用 a,b 表示 AB、 AD . 答案: AB ?

??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

???? 1 1 (a ? b), AD ? (a ? b) . 2 2

4 、已知六边形 ABCDEF 为正六边形,且 AC ? a , BD ? b ,分别用 a , b 表示

??? ?

??? ?

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? . DE、 AD 、 BC 、 EF 、 FA 、CD 、AB 、CE
略解: DE ? BA ? MA ? MB ? ?

????

??? ?

???? ????

2 1 a ? b, 3 3

???? 2 ? 1 2 ??? 1 AD ? a ? b, BC ? a ? b, 3 3 3 3 ??? ? ??? ? ???? 1 1 1 2 EF ? ? a ? b, FA ? DC ? a ? b, 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 1 2 2 1 CD ? ? a ? b, AB ? a ? b, 3 3 3 3 ??? ? CE ? ?a ? b.

5、已知平面直角坐标系啵,点 O 为原点,A(-3,-4) ,B(5,-12) . (1)求 AB 的坐标及 | AB | ; (2)若 OC ? OA ? OB,OD ? OA ?OB ,求 OC及OD 的坐标;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

??? ? ????

OB . (3)求 OA?
答案: (1) AB ? (8, ?8), | AB |? 8 2 ; (2) OC ? (2, ?16), OD ? (?8,8) ;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

OB ? 33 . (3) OA?

??? ? ??? ?

6、已知点 A(0,1) ,B(1,0) ,C(1,2) ,D(2,1) ,试判断向量 AB和CD 的位置 关系,并给出证明. 答案: AB与CD共线 . 证明:因为 AB ? (1, ?1), CD ? (1, ?1) ,所以 AB ? CD .所以 AB 与 CD 共线.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7、已知点 A(1,1) ,B(-1,0) ,C(0,1) ,求点 D(x,y) ,使 AB ? CD . 答案:D(-2,0) . 8、n 为何值时,向量 a=(n,1)与 b=(4,n)共线且方向相同? 答案:n=2. 9、已知 a=(1,0) ,b=(1,1) ,c=(-1,0) ,求 λ 和 μ,使 c=λa+μb. 答案:λ=-1,μ=0. 10、已知△ ABC 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(4,1) ,C(4,5) ,求 cosA,cosB, cosC 的值. 答案: cos A ?

??? ?

??? ?

3 4 ,cosB=0, cos C ? . 5 5

11、已知单位向量 m 和 n 的夹角为 60° ,求证: (2n-m)⊥m,并解释其几何意义. 2 证明: (2n-m)· m=2n· m-m =2cos60° -1=0, 所以和, (2n-m)⊥m. 几何意义如图所示.

12、已知 a=(1,0) ,b=(1,1) ,λ 为何值时,a+λb 与 a 垂直? 答案:λ=-1. 13、已知 | a |? 3 ,|b|=2,a 与 b 的夹角为 30° ,求|a+b|,|a-b|. 答案: | a ? b |? 13,| a ? b |? 1 . 14、 如图所示, 支座 A 受 F1、 F2 两个力的作用, 已知|F1|=40N, 与水平线成 θ 角; |F2|=70N, 沿水平方向;两个力的合力|F|=100N,求角 θ 以及合力 F 与水平线的夹角 β.

答案: cos ? ?

5 19 , cos ? ? . 8 20

B组 1、选择题: (1)已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,则( A.A、B、D 三点共线 C.B、C、D 三点共线 B.A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

??? ?

??? ?

??? ?

) .

(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则|a+b+c|等于 ( ) A.0 B.3 C. 2 D. 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

(3) 已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , 且四边形 ABCD 为平行四边形, 则 ( A.a+b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 B.a-b+c-d=0 D.a-b-c+d=0

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



(4) 已知 D、 E、 F 分别是△ ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点, 且 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,

??? ?

??? ?

??? ?

则① EF ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 1 c ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 中正 2 2 2 2 2

确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (5) 若 e1, e2 是夹角为 60° 的两个单位向量, 则 a=2e1+e2; b=-3e1+2e2 的夹角为 ( A.30° B.60° C.120° D.150° (6)若向量 a、b、c 两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|等于( A.2 B.5 C.2 或 5 D. 2或 5

) )

(7)等边三角形 ABC 的边长为 1, BC ? a, CA ? b, AB ? c ,那么 a· b+b· c+c· a等 于( ) B.-3 C.

??? ?

??? ?

??? ?

A.3

3 2

D. ?

3 2

答案: (1)A; (2)D; (3)B; (4)C; (5)C; (6)C; (7)D. 说明: (6)中向量的夹角可以是 0 或

??? ? 2? 1 , (7)中若 BA ? c ,则结论为 .教师可以 3 2

给出各种情况让学生思考,认清向量的夹角,防止机械地记忆答案. 2、已知向量 a,b 为非零向量,求证: a ? b ?| a ? b |?| a ? b | ,并解释其几何意义. 证明:先证 a⊥b ? |a+b|=|a-b|.

| a ? b |? (a ? b) 2 ? | a |2 ? | b |2 ?2a ?b , | a ? b |? (a ? b) 2 ? | a |2 ? | b |2 ?2a ?b .
因为 a⊥b,所以 a· b=0,于是 | a ? b |? | a | ? | b | ?| a ? b | . 再证|a+b|=|a-b| ? a⊥b.
2 2

b ? | b | ,| a ? b |? 由于 | a ? b |? | a | ?2a ?
b|可得 a· b=0,于是 a⊥b. 所以|a+b|=|a-b| ? a⊥b. 几何意义是矩形的两条对角线相等.

2

2

| a |2 ? 2a ? b ? | b |2 ,所以,由|a+b|=|a-

3、已知 a+b=c,a-b=d,求证:|a|=|b| ? c⊥d,并解释其几何意义. 证明:先证|a|=|b| ? c⊥d. c· d =(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2, 又|a|=|b|,所以 c· d=0.所以 c⊥d. 再证 c⊥d ? |a|=|b|. 由 c⊥d 得 c· d=0, 即(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=0, 所以|a|=|b|. 几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所示.

4、如图,已知四边形 ABCD 是等腰梯形,E、F 分别是腰 AD、BC 的中点,M、N 是 线段 EF 上的两个点,且 EM=MN=NF,下底是上底的 2 倍,若 AB ? a, BC ? b ,求 AM .

??? ?

??? ?

???? ?

答案: AD ? AB ? BC ? CD ?

????

??? ? ??? ? ??? ?

1 a ?b, 2

??? ? 1 1 AE ? a ? b, 4 2 ??? ? 3 ???? ? 1 而EF ? a, EM ? a, 4 4 ???? ? ??? ? ???? ? 1 1 1 所以 AM ? AE ? EM ? a ? b ? a 4 2 4 1 = (a ? b). 2
5、已知向量 OP 1, OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 , | OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 , 求证△ P1P2P3 是正三角形.

???? ???? ? ???? ?

???? ???? ? ???? ?

????

???? ?

???? ?

证明:如图所示,设 OD ? OP 1 ? OP 2 ,由于

??? ? ???? ???? ?

???? ???? ? ???? ? OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0, ???? ? ???? ???? 所以OP3 ? ?OD,| OD |? 1. ???? ???? ???? 所以 | OD |?| OP 1 |?| P 1D | .
所以∠OP1P2=30° .同理可得∠OP1P3=30° .

所以∠P3P1P2=60° .同理可得∠P1P2P3=60° ,∠P2P3P1=60° . 所以,△ P2P1P3 为正三角形.

6、如图,已知 OA ? a, OB ? b ,任意点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的 对称点为 N,用 a、b 表示向量 MN .

??? ?

??? ?

???? ?

答案:连接 AB. 由对称性可知,AB 是△ SMN 的中位线, MN ? 2 AB ? 2b ? 2a. 说明: 本题可以运用信息技术观察 MN 与点 M 的选取无关, 进而引导学生发现向量 MN 与 AB 的关系.

???? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ?

7、某人在静水中游泳,速度为 4 3 千米/时.他在水流速度为 4 千米/时的河中游泳. (1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少? 答案: (1)实际前进速度大小为 4 ? (4 3) ? 8(千米 / 时) ,沿与水流方向成 60° 的方向前进; (2)实际前进速度大小为 4 2千米 / 时 ,沿与水流方向成 90? ? arccos 进.
2 2

6 的方向前 3

OB ? OB? OC ? OC? OA ,那么点 O 在△ ABC 的什么位置? 8、在△ ABC 中,若 OA?
解:因为 OA? OB ? OB? OC ,所以 OB? CA ? 0 . (OA ? OC) ? 0 ,所以 OB? 同理, OA? BC ? 0, OC?AB ? 0 ,所以点 O 为△ ABC 的垂心.

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

9、平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示,这使我们想到可以用向 量作为解析几何的研究工具.如图,设直线 l 的倾斜角为 α(α≠90°) .在 l 上任取两个不同 的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,不妨设向量 P 1P 2 的方向是向上的,那么向量 P 1P 2 的坐标是 (x2-x1,y2-y1) .过原点作向量 OP ? PP ,而且直 1 2 ,则点 P 的坐标是(x2-x1,y2-y1)

???? ?

???? ?

??? ?

???? ?

y ? y1 线 OP 的倾斜角也是 α.根据正切函数的定义得 tan ? ? 2 ,这就是《数学 2》中已经 x2 ? x1
得到的斜率公式.上述推导过程比《数学 2》中的推导简捷.你能用向量作为工具讨论一下

直线的有关问题吗?例如: (1)过点 P0(x0,y0) ,平行于向量 a=(a1,a2)的直线方程; (2)向量(A,B)与直线 Ax+By+C=0 的关系; (3)设直线 l1 和 l2 的方程分别是 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 那么,l1∥l2,l1⊥l2 的条件各是什么?如果它们相交,如何得到它们的夹角公式? (4)点 P0(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离公式如何推导?

答案: (1)a2x-a1y+a1y0-a2x0=0; (2)垂直; ( 3 )当 A1B2 - A2B1=0 时, l1∥l2 ;当 A1A2 + B1B2=0 时, l1⊥l2 ,夹角 θ 的余弦

cos ? ?

| A1 A2 ? B1B 2 |
2 2 2 2 A1 ? B1 A2 ? B2



(4) d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2



P137 习题 3.1 A组 1、利用公式 C(α-β) 、S(α-β)证明:

3? ? ? ) ? ? sin ? ; 2 3? ? ? ) ? ? cos ? ; (2) sin( 2
(1) cos( (3)cos(π-α)=-cosα; (4)sin(π-α)=sinα. 答案:略.

2、已知 cos ? ?

3 ? ,0<α<β,求 cos(? ? ) 的值. 5 6

答案:

4?3 3 10
2 3 ? 3? , cos ? ? ? , ? ? ( , ? ), ? ? (? , ) ,求 cos(α-β)的值. 3 4 2 2

3、已知 sin ? ?

答案:

3 5 ?2 7 12
1 11 , cos(? ? ? ) ? ? ,求 cosβ 的值. (提示:β=(α 7 14

4、已知 α,β 都是锐角, cos ? ? +β)-α. ) 答案:

1 2

5、已知 sin(30? ? ? ) ?

3 ,60° <α<150° ,求 cosα 的值。 5

答案:

3? 4 3 10

6、利用和(差)角公式求下列各三角函数的值: (1) sin( ?

7? ); 12

(2 cos(?

61? ); 12

(3) tan

35? . 12

答案: (1) ?

6? 2 2? 6 ; (2) ? (3) ?2 ? 3 4 4
2 3 ? , cos ? ? ? , ? ? ( , ? ) ,β 是第三象限角,求 cos(α+β) ,sin 3 4 2

7、已知 sin ? ? (α-β)的值.

答案: cos(? ? ? ) ?

3 5?2 7 6 ? 35 ; sin(? ? ? ) ? ? . 12 12
5 3 , cos B ? ,求 cosC 的值. 13 5

8、在△ ABC 中, sin A ?

16 ? 12 4 0?B? , cos A ? ? , sin B ? , . 注意 0<A<π, cosC=-cos (A+B) , 65 2 13 5 12 当 cos A ? ? 时,A+B>π,不合题意,舍去. 13 ? 答案:

9、已知 sin ? ?

3 ? 1 , ? ? ( , ? ), tan ? ? ,求 tan(θ+φ) ,tan(θ-φ)的值. 5 2 2 2 答案: tan(? ? ? ) ? ? ;tan(θ-φ)=-2. 11

10、已知 tanα,tanβ 是方程 2x2+3x-7=0 的两个实数根,求 tan(α+β)的值. 答案: ?

1 3 7 .这里 tan ? ? tan ? ? ? , tan ? ?tan ? ? ? . 3 2 2

11、已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,求 tan2α,tan2β 的值. 答案: tan 2? ? ? ; tan 2 ? ? ? .注意 2α=(α+β)+(α-β) ,2β=(α+β)-(α -β) . 12、在△ ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,且 BD︰DC︰AD=2︰3︰6,求∠BAC 的度数. 答 案 : 由 题 设 有 BD : AD ?

4 7

1 8

1 1 , DC : AD ? , 设 ∠BAD=α , ∠DAC=β , 则 3 2

tan ??

BD 1 DC 1 ? ,tan ? ? ? . 所以 tan∠BAC=tan (α+β) =1, 又 0° <∠BAC<180° , AD 3 AD 2

因此∠BAC=45° . 13、化简: (1) 3 15 sin x ? 3 5 cos x ;

(2)

3 3 cos x ? sin x ; 2 2
x x ? cos ; 2 2

(3) 3 sin

(4)

2 ? 6 ? sin( ? x) ? sin( ? x) ; 4 4 4 4

(5)sin347° cos148° +sin77° cos58° ; (6)sin164° sin224° +sin254° sin314° ; (7)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ) ; (8)sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β) ;

tan
(9)

5? 5? ? tan 4 12 ; 5? 1 ? tan 12

(10)

sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? . 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? )

答案: (1) 6 5 sin( x ? (2) 3 sin(

?
6

);

?
3

? x) ;

(3) 2 sin( ?

x 2

?
6

);

(4)

2 7? sin( ? x) ; 2 12 2 ; 2
1 ; 2

(5) (6)

(7)sin(α+γ) ; (8)-cos(α-γ) ; (9) ? 3 ; (10)tan(β-α) . 14、已知 sinα=0.80, ? ? (0,

?
2

) ,求 sin2α,cos2α 的值(保留两个有效数字) .

答案:sin2α=0.96;cos2α=-0.28.

15、已知 cos ? ? ?

3 ,180° <φ<270° ,求 sin2φ,cos2φ,tan2φ 的值. 3

答案: sin 2? ?

1 2 2 ; cos 2? ? ? ; tan 2? ? ?2 2 . 3 3

16、已知等腰三角形一个底角的正弦值为 切值.

5 ,求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正 13

5 12 , 且 0° < B < 90° , 所 以 cos B ? .因此 13 13 120 119 120 sin A ? sin(180? ? 2 B) ? sin 2 B ? ; tan A ? ? ,同样有 cos A ? ? . 169 169 119 n ? 答 案 : 由 题 意 设 s i nB ? s i C
17、已知 tan ? ?

1 1 , tan ? ? ,求 tan(α+2β)的值. 7 3 3 答案:先求得 tan 2 ? ? .tan(α+2β)=1. 4

18、已知 cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? = 的值. 答 案 :

1 3? ? ,且 ? ? ( ,2 ?) ,求 cos(2 ? ? ) 3 2 4
1 c ? o?s 3

8?7 2 18



















sin ? ? ?

2 2 4 2 7 ,sin 2? ? ? , cos 2? ? ? . 3 9 9

19、化简: (1) (sinα+cosα)2; (2)cos4θ-sin4θ; (3)sinxcosxcos2x; (4)

1 1 ? . 1 ? tan ? 1 ? tan ?
1 sin 4 x ; (4)tan2θ. 4

答案: (1)1+sin2α; (2)cos2θ; (3)

B组 1、证明: (1)sin3α=3sinα-4sin3α; (2)cos3α=4cos3α-3cosα. 答案:略. 2、△ ABC 中,已知 tanA,tanB 是 x 的方程 x2+p(x+1)+1=0 的两个实根,求∠C. 答案:135° .由 tanC=-1 且 0° <C<180° 可得. 3、观察以下各等式:

3 sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ? , 4 3 sin 2 20? ? cos 2 50? ? sin 20? cos 50? ? , 4 3 sin 2 15? ? cos 2 45? ? sin15? cos 45? ? . 4
分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明. 答案:反映一般规律的等式是(表述形式不唯一) :

sin 2 ? ? cos 2 (? ? 30?) ? sin ? cos(? ? 30?) ?

3 . 4

证明略. 本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:

3 sin 2 (? ? 30?) ? cos 2 ? ? sin(? ? 30?) cos ? ? ; 4 3 sin 2 (? ? 15?) ? cos 2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) ? , 4 3 sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? , 其中? ? ? ? 30?, 等等. 4
思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从而作出归 纳.对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、如图,考虑点 A(1,0) ,P1(cos α,sinα) ,P2(cosβ,-sinβ) ,P(cos(α+β) , sin(α+β) ) .你能从这个图出发,推导出公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 吗?

答案:因为|PA|=|P1P2|,则 (cos(α+β)-1)2+sin2(α+β)=(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2, 即 2-2cos(α+β)=2-2cosαcosβ+2sinαsinβ, 所以 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 说明:给出另一种和角公式推导方法.

P143 习题 3.2 A组 1、求证: (1) (sin2α-cos2α)2=1-sin4α; (2) tan

?
2

?

1 tan

?

??

2 ; tan ?

2 x ? x ? (3) tan( ? ) ? tan( ? ) ? 2 tan x ; 2 4 2 4
(4)

1 ? sin 2? ? cos ? ? sin ? ; cos ? ? sin ?

(5)

1 ? 2sin ? cos ? cos ? ? sin ?
2 2

?

1 ? tan ? ; 1 ? tan ?

(6)1+cos2θ+2sin2θ=2;

1 ? cos 2? ? tan 2 ? ; 1 ? cos 2? 1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan ? . (8) 1 ? sin 2? ? cos 2?
(7) 答案: (1)略; (2)提示:左式通分后分子分母同乘以 2; (3)略; (4)提示:用 sin2φ+cos2φ 代替 1,用 2sinφcosφ 代替 sin2φ; (5)略; (6)提示:用 2cos2θ 代替 1+cos2θ; (7)提示:用 2sin2θ 代替 1-cos2θ,用 2cos2θ 代替 1+cos2θ; (8)略. 2、已知 sin(? ? ? ) ?

1 1 ,sin(? ? ? ) ? : 2 3

(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ; (2)求证:tanα=5tanβ. 答案:由已知可有 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

1 , 2



sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

1 . 3



(1)②× 3-①× ②可得 sinαcosβ=5cosαsinβ; (2)把(1)所得的两边同除以 cosαcosβ 得 tanα=5tanβ. 注意,这里 cosαcosβ≠0 隐含于①、②之中.

3、已知

1 ? tan ? ? ? 1 ,求证 tan 2? ? ?4 tan(? ? ) . 2 ? tan ? 4 1 4 ? 1 答 案 : 由 已 知 可 解 得 tan ? ? ? . 于 是 tan 2? ? ? , tan(? ? ) ? . 因 此 2 3 4 3

t a n? 2 ? ? 4 t? a? n( . ) 4
4、已知 x ? y ?

?

2 sin(? ? ), x ? y ? 2 sin(? ? ) ,求证:x2+y2=1. 4 4

?

?

答案:由已知可解得 x=sinθ,y=cosθ,于是 x2+y2=sin2θ+cos2θ=1. 5、求函数 f ( x) ? sin( 答 案 :

?

? 4 x) ? cos(4 x ? ) 的最小正周期和递减区间. 3 6

?

f ( x) ? 2sin(4 x ? ) , 最 小 正 周 期 是 , 递 减 区 间 为 3 2

?

?

[

?
24

?

k? 7? k? , ? ](k ? Z) . 2 24 2

B组 1、求证: (1)3+cos4α-4cos2α=8sin4α; (2)

tan ? tan 2? ? ? 3(sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2sin(2? ? ) . tan 2? ? tan ? 3

答案:略. 2、若 sin76° =m,试用含 m 的式子表示 cos7° . 答案:由于 76+2× 7=90,所以 sin76° =sin(90° -14° )=cos14° =m,即 2cos27° -1=m, 得 cos 7? ?

m ?1 . 2
2? ? ,tan tan ? ?2 ? 3 同时成立?若存在,求 3 2 2? ? ? ? ,所以 ? ? ? , tan( ? ? )? 3 2 3 2 3,又

3、是否存在锐角 α,β,使 ? ? 2? ?

出 α、β 的度数;若不存在,请说明理由. 答案:设存在锐角 α , β 使 ? ? 2 ? ?

tan

?
2

tan ? ? 2 ? 3 ,于是有 tan

?
2

? tan ? ? 3 ? 3 .由此可解得 tanβ=1, ? ?

?
4

.所

以? ?

?
6

.经检验 ? ?

?
6

,? ?

?
4

是符合题意的两锐角.

4、你能利用下图,给出下列两个等式的一个证明吗?

1 ? ?? ? ?? (sin ? ? sin ? ) ? sin cos ; 2 2 2 1 ? ?? ? ?? (cos ? ? cos ? ) ? cos cos . 2 2 2

1 1 (sin ? ? sin ? )) . 过 M 作 MM1 2 2 1 1 垂直于 x 轴,交 x 轴于 M1. ?MOM1 ? ( ? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) . 2 2 ? ?? ? ?? ? cos 在 Rt△ OMA 中, OM ? OA cos . 2 2 ? ?? ? ?? cos 在 Rt△ OM1M 中, OM1 ? OM cos ?MOM1 ? cos , 2 2 ? ?? ? ?? M1M ? OM sin ?MOM1 ? sin cos . 2 2 1 ? ?? ? ?? cos 于是有 (cos ? ? cos ? ) ? cos , 2 2 2 1 ? ?? ? ?? (sin ? ? sin ? ) ? sin cos . 2 2 2
答案: 线段 AB 的中点 M 的坐标为 ( (cos ? ? cos ? ),

5、设 f(α)=sinxα+cosxα,x∈{n|n=2k,k∈N+}.利用三角变换,估计 f(α)在 x=2, 4,6 时的取值情况,进而对 x 取一般值时 f(α)的取值范围作出一个猜想. 答案:当 x=2 时,f(α)=sin2α+cos2α=1;



x=4
4





f (? ?

)

??

4

s

1 ?? 2

2

,i 此时有

?n ?

1 ≤ f (? )≤ 1 ; 2
当 x=6 时,

f (? ) ? sin 6 ? ? cos6 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? )3 ? 3sin 2 ? cos 2 ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 3 1 ? 1 ? sin 2 2? , 此时有 ≤ f (? ) ≤1. 4 4
由此猜想,当 x=2k,k∈N+时, k ?1 ≤ f (? ) ≤ 1 .

1

2

6、 (1)求函数 y=3sinx+4cosx 的最大值与最小值. (2)你能用 a,b 表示函数 y=asinx+bcosx 的最大值和最小值吗? 答案: (1) y ? 5( sin x ?

3 5

4 3 4 cos x) ? 5sin( x ? ? ) ,其中 cos ? ? ,sin ? ? . 5 5 5

所以,y 的最大值为 5,最小值为-5; (2) y ?

a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ,其中 cos ? ?

a a 2 ? b2

,sin ? ?

b a 2 ? b2



所以,y 的最大值为 a 2 ? b2 ,最小值为 ? a2 ? b2 .

P146 复习参考题 A组

4 5 1、已知 α,β 都是锐角, sin ? ? , cos(? ? ? ) ? ,求 sinβ 的值. 5 13 16 答案: .提示:β=(α+β)-α. 65
2、已知 cos( 的值. 答案:

?

3 5? 12 ? 3? ? ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? ? , ? ? ( , ), ? ? (0, ) ,求 sin(α+β) 4 5 4 13 4 4 4

56 5? ? ? ? ) ? ( ? ? )] . .提示: sin(? ? ? ) ? ? sin[? ? (? ? ? )] ? ? sin[( 65 4 4

3、已知 α,β 都是锐角, tan ? ? 答案:1

1 10 ,sin ? ? ,求 tan(α+2β)的值. 7 10

4、 (1)证明:tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β) ; (2)求 tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 ?tan 40 ? 的值;

3? ,求(1-tanα) (1-tanβ)的值; 4 tan 20 ? ? tan 40 ? ? tan120 ? (4)求 的值. tan 20 ? tan 40 ?
(3)若 ? ? ? ? 答案: (1)提示:把公式 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 变形; 1 ? tan ? tan ?

(2) 3 ; (3)2; (4) ? 3 . 提示:利用(1)的恒等式. 5、化简: (1)

1 3 ; ? sin10? cos10?

(2) sin 40?(tan10? ? 3) ; (3) tan 70? cos10?( 3 tan 20? ?1) ; (4) sin50?(1 ? 3 tan10?) . 答案: (1) 原式 ?

cos10? ? 3 sin10? 4sin(30? ? 10?) ? ? 4; sin10? cos10? sin 20?

(2)原式 ? sin 40?(

sin10? sin10? ? 3 cos10? ? 3) ? sin 40?? cos10? cos10? ?2sin 40? cos 40? ? sin 80? ? ? ? ?2; cos10? cos10?

(3)原式 ? tan 70? cos10?(

3 sin 20? 3 sin 20? ? cos 20? ? 1) ? tan 70? cos10?? cos 20? cos 20? sin 70? ?2sin10? ? sin 20? ? ?cos10?? ? ? ?1; cos 70? cos 20? cos 70?

(4)原式 ? sin 50?(1 ?

3 sin10? cos10? ? 3 sin10? ) ? sin 50?? cos10? cos10? 2 cos 50? sin100? ? sin 50?? ? ? 1. cos10? cos10?
3 5 3? ? ? 2 ,求 (sin ? cos ) 的值; 2 2 2

6、 (1)已知 cos ? ? ? , ? ? ? ? (2)已知 sin

1 ,求 sinα 的值; 2 2 5 5 4 4 (3)已知 sin ? ? cos ? ? ,求 sin2θ 的值; 9 3 (4)已知 cos 2? ? ,求 sin4θ+cos4θ 的值. 5 9 答案: (1) 5 24 (2) 25 ? cos ?
(3) ? (4)

?

?

2 2 3

提示:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ;

17 25

7、已知 cos(? ? ? ) ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,求 tanαtanβ 的值. 5 5 2 1 答 案 : 由 已 知 可 求 得 cos ? cos ? ? , sin ? sin ? ? . 于 是 有 5 5

t a ?n

? t ? a n

s i ?n c o?s

? s i n ? . ? c o s

1 2

8、证明: (1)cos4α+4cos2α+3=8cos4α; (2)

1 ? sin 2? 2 cos ? ? sin 2?
2

?

1 1 tan ? ? ; 2 2

sin(2? ? ? ) sin ? ? 2 cos(? ? ? ) ? ; sin ? sin ? 3 ? 4 cos 2 A ? cos 4 A ? tan 4 A . (4) 3 ? 4 cos 2 A ? cos 4 A
(3) 答案: (1)左式=2cos22α-1+4cos2α+3=2(cos22α+2cos2α+1) =2(cos2α+1)2=2(2cos2α)2=8cos4α=右式;

(2)左式 ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin ? cos ?

2cos2 ? ? 2sin ? cos ? sin ? ? cos ? 1 1 ? ? tan ? ? ? 右式; 2cos ? 2 2

?

(sin ? ? cos ? )2 2cos ? (cos ? ? sin ? ) (

(3)左式 ?

sin(2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) sin ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 2 cos(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? ? 右式; sin ? sin ?

(4)左式 ? ?

3 ? 4cos 2 A ? 2cos 2 2 A ? 1 3 ? 4cos 2 A ? 2cos 2 2 A ? 1 (1 ? cos 2 A)2 (1 ? cos 2 A)
2

?

2(cos 2 2 A ? 2cos 2 A ? 1) 2(cos 2 2 A ? 2cos 2 A ? 1)


?

(2sin 2 A)2 (2cos A)
2 2

? tan 4 A ? 右式.

9、已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x. (1)求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值. 答案: ( 1 ) y ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 减区间为 [

?
8

? k? ,

5? ? k? ](k ? Z) ; 8

2 sin(2 x ? ) ? 2 .递 4

?

(2)最大值为 2 ? 2 ,最小值为 2 ? 2 . 10、已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f(x)的最小值以及取得最小值时 x 的集合.

答案: f ( x) ? (cos 2 x ? sin 2 x)(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? ). 4
(1)最小正周期是 π;

?

3? ? 5? ? ? [ , ] ,所以当 2 x ? ? ? ,即 x ? 时,f(x)的 8 2 4 4 4 4 3? 最小值为 ? 2 .f(x)取最小值时 x 的集合为 { } . 8
(2)由 x ? [0, ] 得 2 x ?

?

?

11、已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) . (1)求 f(x)的最小正周期和最大值;

(2)画出函数 y=f(x)在区间 [ ?
2

? ?

, ] 上的图象. 2 2

答案: f ( x) ? 2sin x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1)最小正周期是 π,最大值为 2 ? 1 ; (2)f(x)在 [ ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4

?

? ?

, ] 上的图象如下图: 2 2

12、已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 的最大值为 1. 6 6

?

(1)求常数 a 的值; (2)求使 f(x)≥0 成立的 x 的取值集合. 答案: f ( x) ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2sin( x ? (1)由 2+a=1 得 a=-1; (2) {x | 2k? ≤ x ≤

?
6

)?a.

2? ? 2k? , k ? Z} . 3

13、 已知直线 l1∥l2, A 是 l1, l2 之间的一定点, 并且 A 点到 l1, l2 的距离分别为 h1, h2. B 是直线 l2 上一动点,作 AC⊥AB,且使 AC 与直线 l1 交于点 C,求△ ABC 面积的最小值. 答案:如图,设∠ABD=α,则∠CAE=α,

h2 h , AC ? 1 . sin ? cos ? hh 1 ? 所以 S?ABC ? ?AB ?AC ? 1 2 (0 ? ? ? ) . 2 sin 2? 2 AB ?
当 2? ?

?

2

,即 ? ?

?

4

时,S△ ABC 的最小值为 h1h2.

B组

1 ? 1、已知 sin ? ? cos ? ? ,0≤α≤π,求 sin(2? ? ) 的值. 5 4

1 ? 4 ?sin ? ? cos ? ? , 5 及 0≤α≤π,可解得 sin ? ? . 答案:解法一:由 ? 5 ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?
1 3 24 7 cos ? ? sin ? ? ? .所以 sin 2? ? , cos 2? ? ? , 5 5 25 25

? 31 2 sin(2? ? ) ? . 4 50
n? 解法二:由 si? cos 2 2? ? 49 . 625
1 ? 2 得 sin(? ? ) ? . 5 4 10

c? o? s

1 n? , 得 ( s i? 5

1 c? o2s ? ) 25

24 ,? s? in 2 .所以 25

又由 sin ? ? cos ? ?

因为 ? ? [0, ? ], 所以? ?

?
4

? [?

? 3?
4 , 4

].

, 0]时,sin(? ? ) ≤ 0; 4 4 4 ? ? 3? ? 2 2 当? ? ? [ , ]时,sin(? ? ) ≥ ? . 4 4 4 4 2 10 ? [? 所以? ? ? (0, ), 即? ? ( , ). 4 4 4 2 ? 7 所以2? ? ( , ? ), cos 2? ? ? . 2 25

而当? ?

?

?

?

?

?

? ?

? 31 2 sin(2? ? ) ? . 4 50
解法一运算较复杂,解法二判断 cos2α 的正负有一定难度. 2、已知 cos ? ? cos ? ?

1 1 ,sin ? ? sin ? ? ,求 cos(α-β)的值. 2 3

1 1 2 2 两边分别平方得 cos ? ? cos ? ? 2 cos ? cos ? ? . 2 4 1 1 2 2 把 sin ? ? sin ? ? 两边分别平方得 sin ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? ? . 3 9 13 把所得两式相加,得 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? . 36 13 即 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? . 36 59 所以 cos(? ? ? ) ? ? . 72
答案:把 cos ? ? cos ? ?

3、已知 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? ? ? ? 0 ,求 cosα 的值. 5 2 4 3 3 可 得 s i?n? 5 2 3 2

答 案 : 由 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

? c ?o? s

4 5



3

? 4 ? ? ? ? ? 3 sin(? ? ) ? ? .又 ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ? ? ,于是 cos(? ? ) ? . 6 5 2 3 6 6 6 5
所以 cos ? ? cos[(? ?

?

)? ]? 6 6

?

3 3?4 . 10

4、已知 cos(

?

3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ? x) ? , ?x? ,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x

sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x 2sin x cos x(cos x ? sin x) ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 1 ? tan x ? ? sin 2 x ? sin 2 x?tan( ? x). 1 ? tan x 4 17? 7? 5? ? ? 3 由 ?x? 得 ? x ? ? 2? , 又 cos( ? x) ? , 12 4 3 4 4 5 ? 4 ? 4 所以 sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 3 答案:

? ? 2 7 2 7 cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? ,sin x ? ? ,sin 2 x ? . 4 4 10 10 25
所以 sin 2 x ? 2sin 2 x 28 ?? . 1 ? tan x 75

5、已知 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ·cosθ=sin2β,求证:4cos22α=cos22β. 2 2 答案: 把已知代入 sin2θ+cos2θ= (sinθ+cosθ) -sinθcosθ=1 中, 得 (2sinα) -2sin2β=1. 变 2 2 形得 2(1-cos2α)-(1-cos2β)=1,2cos2α=cos2β,4cos 2α=4cos 2β.

本题从对比已知条件和所证等式开始, 可发现应消去已知条件中含 θ 的三角函数. 考虑 sinθ+cosθ,sinθcosθ 这两者又有什么关系呢?即得上解法. 5、6 两题上述解法称为消去法. 6、若函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? m 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值为 6,求常数 m 的

值及此函数当 x∈R 时的最小值,并求相应的 x 的取值集合. 答案: f ( x) ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? m ? 2sin(2 x ? 由 x ? [0,

?
6

) ? m ? 1.

?
2

] 得 2x ?

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 4( x ? R) 的 最 小 值 为 - 2 + 4=2 , 此 时 x 的 取 值 集 合 由 6 ? 3? 2? 2x ? ? ? 2k? (k ? Z) 求得,为 {x | x ? ? k? , k ? Z} . 6 2 3
7、如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 AB,DA 上的点.当△ APQ 的周 长为 2 时,求∠PCQ 的大小.

?

? 7? ? [ , ] ,于是有 2+m+1=6.解得 m=3. 6 6 6

答案:设 AP=x , AQ=y ,∠BCP=α ,∠DCQ=β ,则 tanα=1 - x , tanβ=1 - y .于是

tan( ? ? ? )?

2 ? (x ? y ) . ( x ? y ) ? xy
x 2 ? y 2 ? 2 .变形可得 xy=2(x+y)-2.

又△ APQ 的周长为 2,即 x ? y ? 于是 tan(? ? ? ) ?

? ? 2 ? ( x ? y) ? 1 ,又 0 ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ? ? , 2 4 ( x ? y ) ? [2( x ? y ) ? 2]

?PCQ ?

?
2

? (? ? ? ) ?

?
4



8、已知 sin ? ? cos ? ?

1 , ? ? (0, ? ) . 5

(1)求 tanβ 的值; (2)你能根据所给的条件,自己构造出一些求值问题吗?

1 ? ?sin ? ? cos ? ? , 5 可得 25sin2β-5sinβ-12=0. 答案: (1)由 ? ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ?
4 3 解得 sin ? ? 或 sin ? ? ? (由? ? (0, ? ), 舍去). 5 5 1 3 所以 cos ? ? ? sin ? ? ? . 5 5 4 于是 tan ? ? ? . 3
(2)根据所给条件,可求出仅由 sinβ,cosβ,tanβ 表示的三角函数式的值.例如,

sin( ? ?

?
3

) ,cos2β+2,

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? , ,等等. 2 tan ? 3sin ? ? 2cos ?


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