当前位置:首页 >> 数学 >>

安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题


黄山市 2013 届高三“七校联考” 理科数学试卷
考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2、答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有 试题的答案涂、填在答题卡上,在试题卷上作答无效; 3、请规范、工整书写,保持卷面清洁。

第Ⅰ卷(选择题

满分 50 分)

一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数 z 满足 z ?

3i 1 ? 3i
3 i 4

,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的虚部是

[来源:学科网 ZXXK]

A.

3 i 2

B.

C.

3 4

D.

3 2

2. 已知 tan ? ? 2 ,则

2 cos ? ? cos ? ? sin ?
2

A. ? 2

B.

C. 0

D.

2 3

2 3. 设集合 A ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ? x | log 1 x ? 0? ,则 A ? B ?

?

?

? ?

? ?

2

A.

?? 1,1?

B. ?1,3?

C.

?3,???

D.

?? ?,?1?

4.已知直线 l 是抛物线 y ? x 2 的一条切线,且 l 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行,则直线 l 的方程 是

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

x2 y2 5.已知双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的一个焦点到渐近线的距离为 a b

5 c ( c 是双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率是 3
A.

5 2

B.

3 2

C.

3 5 2

D.

2 3

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

6. 如图是某种商品前三个季度在甲、乙两 地的月销售数量的茎叶图,则在甲、乙两 5 地的月销售数量的中位数之和是 3 6 A.65 C.63 B.64 4 7 D.62

甲 3 8 9 1 1 2 3 4 第 6 题图



4 2 5

5 6 7 3 7 8

1 n 7.已知二项式 ( x ? ) 的展开式的二项式 x 系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是 A. 5 B. 20 C. 10 D. 40
2

8.由曲线 y ? x 2 ? 2 x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形面积是

1 2 D. 3 3 9.现有一种密码,它是由 3 个 a , 2 个 b ,1 个 c 和 1 个 d 组成的七位代码,则这种密码的个
A. B. C.
数是

1 6

5 6

A. 120

B. 240

C. 360

D. 420

10. 给出以下命题: (1) ?x ? R ,使得 sin x ? cos x ? 1 ; (2)函数 f ( x ) ?

sin x ? ?? 在区间 ? 0, ? 上是单调减函数; x ? 2?

(3)“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件; (4)在 ?ABC 中,“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的必要不充分条件。 其中是真 命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷(非选择题

满分 100 分)

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的 相应位置)
11 .已知某几何体的三视图如图所示,这个几何体 的外接球的体积为 。 12. 已知实数 x , y 满足 ?
1

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?y ? x

,则此 。

2

2

正视图

侧视图

不等式组表示的平面区域的面积为 13. 在 极 坐 标 系 中 , 点 A( 2 ,

?
4

) 到直线
2

? 2 的距离是 ? s i n (? ) ? ?
4 2

。 俯视图 第 11 题图

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

14.在执行右边的程序框图时,如果输入 N ? 4 ,则输出

S ? ___________。 15.如图,在等腰直角 ?ABC 中,点 D 是斜边 BC 的中点,过点
D 的 直 线 分 别 交 AB, AC 于 点 M , N , 若

开始 输入N k=1,S=1

AM ? x AB, AN ? y AC ,其中 x ? 0, y ? 0 ,则 2 x ? 4 y 的最
小 值B 是 。
S=S+

1 k(k+1) 是

k=k+1

M D

k<N? 否 输出S 结束

A
第 15 题图

C

N

第 14 题图

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内) 16. (本题 12 分)已知函数 x x f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? ), x ? R 。 2 2
(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;

C b c 若 (Ⅱ) ?ABC 的内角 A ,B , 的对边分别为 a , , , f ( A) ? 若
求 ?ABC 的面积。

2 10 b c , ? 1, ? 2 , 5

17. (本题 12 分)已知从 A 地去 B 地有两条路可走,并且汽车走路①堵车的概率为

1 ; 4

汽车走路②堵车的概率为 p .若现在有两辆汽车走路①,有一辆 汽车走路②,且这三辆车 是否堵车相互之间没有影响 。 (Ⅰ)若这三辆汽车中恰有一 辆汽车被堵 的概率为

7 ,求走公路②堵车的概率; 16

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求这三辆汽车中被堵车辆的辆数 ? 的分布列和数学期望。

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

18. (本题 12 分)已知在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAB ? 底面 ABCD , O 为 AB 中

AD // BC AB ? BC , PA ? PB ? BC ? AB ? 2 , AD ? 3 。 (Ⅰ)求证: CD ? 平面 POC ; (Ⅱ)求二面角 O ? PD ? C 的余弦值。
点 ,



P

A
19.(本题 12 分)已知函数

D

O
B
第 18 题图

1 f ( x) ? x 2 e x ?1 ? x 3 ? x 2 。 3
(I)讨论函数 f (x) 的单调性; (II)设函数 g ( x) ?

C

2 3 x ? x 2 ,试比较 f (x) 与 g (x) 的大小。 3

20. (本题 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? 都 有 nan?1 ? 2S n 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

4a n?1 an an?2
2 2

,且数列 ?bn ? 的前 n 项之和为 Tn ,求证: Tn ?

5 。 4

21. (本题 14 分)已知椭圆 G 的中心是原点 O ,对称轴是坐标轴,抛物线 y 2 ? 4 3x 的 焦点是 G 的一个焦点,且离心率 e ? (I)求椭圆 G 的方程;
2 2 2 (II)已知圆 M 的方程是 x ? y ? R ( 1 ? R ? 2 ),设直线 l 与圆 M 和椭圆 G 都相切,

3 。 2

且切点分别为 A , B 。求当 R 为何值时, AB 取得最大值?并求出最大值。

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

黄山市 2013 届高三“七校联考” 理科数学参考答案
一、选择题: C A B D B 、 B C B D C 二、填空题: 9? 11. 12. 3 2 三、解答题:
16. 解:(Ⅰ)? f ( x) ? cos( ? ) ? sin(? ? ) ? cos

13.

2 2

14.

9 5

15. 3 ? 2 2

? 函数 f (x) 的最小正周期 T ? 4? , ? x ? ? 3? ? ? x ? 4k? ? (k ? Z ) 可得 又由 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? 4k? ? 2 2 4 2 2 2 3? ?? ? 函数 f (x) 的单调递增区间为 ?4k? ? ,4k? ? ?(k ? Z ) 。?????6 分 2 2? ?
2 10 A ? 2 5 及(Ⅰ)可得 sin( ? ) ? , 5 2 4 5 ? 3 ? A ? ? 2 A 所以 cos?2( ? )? ? 1 ? 2 sin ( ? ) ? ? , 2 4 5 ? 2 4 ? 3 即 sin A ? , 5 1 3 ? S ?ABC ? bc sin A ? 。?????12 分 2 5 2 10 A ? 2 5 解法二:由 f ( A) ? 及(Ⅰ)可得 sin( ? ) ? , 5 2 4 5 A A 2 8 3 A A 2 10 即 sin ? cos ? ,? (sin ? cos ) ? ,即 sin A ? 2 2 5 5 2 2 5 1 3 ? S ?ABC ? bc s i nA ? 。?????12 分 2 5
(Ⅱ)解法一:由 f ( A) ?

x 2

x 2

x x x ? ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 4

1 3 7 ?3? 17. 解:(Ⅰ)由已知条件得 C ? ? ? (1 ? p) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4? 1 即 3 p ? 1 ,则 p ? ?????5 分 3 (Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1,2,3 3 3 2 3 7 P (? ? 0) ? ? ? ? ; P (? ? 1) ? 4 4 3 8 16 ; 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 2) ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6 4 4 3 48
1 2
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

2

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

? 的分布列 ?
P
所以 E? ? 0 ? ? 1? 0 1 2 3

为:

3 8

7 16

1 6

1 48

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 。?????12 分 16 6 48 6

18. (Ⅰ)证明: ? PA ? PB ? AB , O 为 AB 中点 ? PO ? AB ? 侧面 PAB ? 底面 ABCD , PO ? 侧 面 PAB , 侧 面 PAB ? 底 面 ABCD ? AB ? PO ? 底 面 A B C D

? CD ? 底面 ABCD ? PO ? CD 在 Rt?OBC 中, OC 2 ? OB 2 ? BC 2 ? 5 2 2 2 在 Rt?OAD 中, OD ? OA ? AD ? 10 在直角梯形 ABCD 中, CD 2 ? AB2 ? ( AD ? BC) 2 ? 5 ? OC 2 ? CD 2 ? OD 2 即 ?ODC 是以 ?OCD 为直角的直角三角形,当然有 OC ? CD ? OC, OP 是平面 POC 内的两条相交直线 ? CD ? 平面 POC ?????6 分 (Ⅱ)解法一:如图建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 P(0,0, 3) , D(?1,3,0) , C (1,2,0) ? OP ? (0,0, 3),OD ? (?1,3,0),CP ? (?1,?2, 3),CD ? (?2,1,0)
假设平面 OPD 的一个法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PCD 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) 则 ,取 y1 ? 1 ,得 x1 ? 3 , z1 ? 0 ,即 m ? (3,1,0) , ?OD ? m ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ?CP ? n ? 0 ?? x ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 2 ,取 x2 ? 3 ,得 y2 ? 2 3 , z 2 ? 5 , ?CD ? n ? 0 ?? 2 x 2 ? y 2 ? 0 ? 由? 可得 ? 即 n ? ( 3,2 3,5)

?OP ? m ? 0 ?

? 3 z1 ? 0

? cos ? m, n ??

m?n mn

?

5 3 10 40

?

3 4

故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为

3 。?????12 分 4

z
P

A
[来源:学科网]

D

O

y

B

C
第 18 题图

x

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

解法二:过点 C 作 CM ? OD 于点 M ,过点 M 作 MN ? PD 于点 N ,连接 CN 。则由于 PO ? 平面 OCD , ? 平面 POD , PO 所以平面 POD ? 平面 OCD , CM ? 平面 OCD , ? 平面 POD ? 平面 OCD ? OD ,∴ CM ? 平面 POD , ∴ CM ? PD ,? MN ? PD , NC 是二面角 O ? PD ? C MN ? CM ? M ,∴ PD ? 平面 MCN ,∴ PD ? NC ,即 ?M 的平面角。

10 在 Rt?OCD 中, CM ? , ? 2 2 2 OC ? CD PC ? CD 2 10 在 Rt?PCD 中, CN ? , ? 13 PC 2 ? CD 2
15 所以 MN ? CN ? CM ? ,所以 26 MN 3 cos?MNC ? ? CN 4 3 故二面角 O ? PD ? C 的余弦值为 。 ????? 4
2 2

OC ? CD

P

N
A M D

O

B
第 18 题图

C

12 分 19.解:(I)函数 f (x) 的定义域显然为 R

f ?( x) ? (e x?1 ? 1)(x 2 ? 2x) ? x( x ? 2)(e x?1 ? 1) x ?1 2 令 f ?( x) ? 0 可得 e ? 1 ? 0 或 x ? 2 x ? 0 即 x1 ? ?2, x2 ? 0, x3 ? 1
列表如下:

x ?(x) f f (x)

?? ?,?2?
— ↓

?? 2,0?
+ ↑

?0,1?
— ↓

?1,???
+ ↑

由上表可知函数 f (x) 在区间 ?? 2,0? 和 ?1,??? 上是单调递增函数;在区间 ?? ?,?2? 和 ?0,1? 上是单调递减函数。?????6 分
[来源:学科网 ZXXK]

(II)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 e x?1 ? x 3 ? x 2 (e x?1 ? x) , 所以当 x ? ?? ?,1? 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? (x) 为减函数; 因而 ? ( x) ? ? (1) ? 0 恒成立(等号仅当 x ? 1 处取得) 综上,当 x ? 0 或 1 时, h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, h( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 。?????12 分 20. 解:(Ⅰ)解法一:由 nan?1 ? 2S n ①可得当 n ? 2 时, (n ? 1)an ? 2S n?1 ②, 由①-②可得, nan?1 ? (n ? 1)an ? 2(S n ? S n?1 ) ? 2an ,所以 nan?1 ? (n ? 1)an , 当 x ? ?1,??? 时, ? ?( x) ? 0 ,此时 ? (x) 为增函数, 又设函数 ? ( x) ? e x?1 ? x , x ? R 则 ? ?( x) ? e x?1 ? 1 ,

a n ?1 n ? 1 , ? an n a a a 3 a 4 a 5 n n 所以 3 ? , 4 ? , 5 ? ,??, n ? , 将上面各式两边分别相乘得, n ? , a 2 2 a3 3 a 4 4 an?1 n ? 1 a2 2
即当 n ? 2 时,

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

即 an ?

n ? a 2 ( n ? 3 ),又 a2 ? 2S1 ? 2a1 ? 2 ,所以 an ? n ( n ? 3 ),此结果也满足 2 a1 , a 2 ,故 an ? n 对任意 n ? N ? 都成立。?????7 分

S n ?1 n ? 2 , ? Sn n S S S 3 4 5 n ? 1 n(n ? 1) (此式 ? ? 当 n ? 2 时, S n ? S1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? 1? ? ? ? ?? S1 S 2 S n?1 1 2 3 n ?1 2 n(n ? 1) 也适合 S1 ) ? 对任意正整数 n 均有 S n ? , , 当 n ? 2 时,an ? S n ? S n?1 ? n(此 ? 2 式也适合 a1 ),故 an ? n 。?????7 分 4a 4n ? 4 1 1 (Ⅱ)依题意可得 bn ? 2 n?1 2 ? 2 ? 2 ? 2 n (n ? 2) n (n ? 2) 2 an an? 2
解法二:由 nan?1 ? 2S n 及 an?1 ? S n?1 ? S n 可得 nSn?1 ? (n ? 2)S n ,即

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? 2 1 3 2 4 3 5 n (n ? 2) 2 1 1 1 ?????13 分 ? ?1? ? ? 2 4 (n ? 1) (n ? 2) 2 Tn ? ? 5 (n ? 1) 2 ? (n ? 2) 2 5 ? ? 4 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 4
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a2 b2
又因为 e ? 3,

21. 解:(I)依题意可设椭圆 G 的方程为 因为抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点坐标为 所以 a ? 2, b ?

所以 ? 3,0? , c ?

3 c 3 , 所以 ? , 2 a 2

x2 ? y 2 ? 1 。?????5 分 4 (II)由题意易知直线 l 的斜率存在,所以可设直线 l : y ? kx ? m ,即 kx ? y ? m ? 0

a 2 ? c 2 ? 1 ,故椭圆 G 的方程为
m k ?1
2

∵直线 l 和圆 M 相切 ∴ 联立方程组

? R ,即 m2 ? R 2 (k 2 ? 1) ①

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 消去 y 整理可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 4 ? 0 , ?x 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 2 2 2 ∵直线 l 和椭圆 G 相切 ∴ ? ? 64k m ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? 0 ,即 m ? 4k ? 1 ②
由①②可得 k ?
2

R2 ?1 2 3R 2 ,m ? 4 ? R2 4 ? R2
2

现在设点 B 的坐标为 ?x0 , y0 ? ,则有 x0 ?
2 2

4m 2 ? 4 16R 2 ? 16 ? , 1 ? 4k 2 3R 2

x0 4 ? R2 y0 ? 1 ? ? , 4 3R 2 15R 2 ? 12 4 2 2 2 ? 5? 2 , 所以 OB ? x0 ? y 0 ? 2 3R R
大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com

所以 AB ? OB ? OA ? 5 ?
2 2 2

4 4 4 ? R 2 ? 5 ? (R 2 ? 2 ) ? 5 ? 2 R 2 ? 2 ? 1 2 R R R

4 ,即 R ? 2 取得 R2 故当 R ? 2 时, AB 取得最大值,最大值为 1 。?????14 分
等号仅当 R ?
2

大家网,全球第一学习门户!无限精彩在大家...www.TopSage.com


相关文章:
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题 - 本资料来自于资源最齐
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考物理试题(有答案).doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考物理试题(有答案) - 黄山市2013届
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题 - 黄山市 2013 届
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学(文)试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考数学()试题_数学_高中教育_教育专区
黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题.doc
黄山市七校2013届高三上学期联考数学(理)试题 - 黄山市 2013 届高三“
安徽省黄山市七校2013届高三上学期11月联考数学理试题.doc
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 安徽省黄山市七校 2013 届高三上学期 11 月 联考数学理试题考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题答案.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题答案 - 黄山市2013届高三“七校联考”生物试题 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间为...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考物理试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考物理试题 - 黄山市 2013 届高三“
安徽省黄山市2013届高三七校联考理科数学.doc
安徽省黄山市2013届高三七校联考理科数学 - 安徽省黄山市 2013 届高三七校联考 理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题 满分 50 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题_理化生_高中教育_教育专区。黄山市 2013 届高三“七校联考” 生物试题及答案 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ...
[解析版]安徽省黄山市“七校联考”2013届高三上学期物....doc
[解析版]安徽省黄山市七校联考2013届高三上学期物理试题_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。[解析版]安徽省黄山市七校联考2013届高三上学期物理试题...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题.txt
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题 - ?黄山市2013届高三“七校联考” 生物试题 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间为90...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考历史试题_图文.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考历史试题 - 黄山市 2013 届高三“七校联考” 历史试题 考生注意: 1、 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,满分 100 ...
安徽省黄山市2013届高三数学上学期联考试题_文_新人教A版.doc
安徽省黄山市2013届高三数学上学期联考试题_文_新人教A版_数学_高中教育_教育专区。黄山市 2013 届高三七校联考”试卷 文科数学 考生注意: 1、本试卷分第Ⅰ...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考语文试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考语文试题 - 安徽省黄山市 2013 届
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考地理试题有答案.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考地理试题有答案 - 黄山市2013届高三
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考地理试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考地理试题 - 黄山市 2013 届高三“
2013届安徽省黄山市七校高三上学期联考英语试卷.doc
2013届安徽省黄山市七校高三上学期联考英语试卷_从业资格考试_资格考试/认证_...2. 考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本...
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题.doc
安徽省黄山市七校2013届高三上学期联考生物试题_理化生_高中教育_教育专区。黄山市 2013 届高三“七校联考” 生物试题 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...
更多相关标签: