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数学:2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》测试(1)(新人教A版必修2)


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一、选择题 1、二面角指的是( )

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2. 3 直线、平面垂直的判定及其性质

A.两个平面相交所组成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C.一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个平面所夹的不大于 90°的角 2、α、β、γ、ω 是四个不同平面,若 α⊥γ,β⊥γ,α⊥ω,β⊥ω,则( A.α ∥β 且 γ ∥ω B.α ∥β 或 γ ∥ω C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 3、已知直线 m 、n 与平面 α、β,给出下列三个命题: ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n;②若 m∥α ,n⊥α ,则 n⊥m;③若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β . 其中真命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3 )

4、 如图 2-3-15,设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥平面 ABCD,则平面 PAB 与平面 PBC、 平面 PAD 的位置关系是( )

图 2-3-15 A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直、与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BC.又 ∵BC⊥AB,PA∩AB=A,
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∴PC⊥平面 PAB,从而平面 PBC⊥平面 PAB.

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由 AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A 得 AD⊥平面 PAB. ∵AD 平面 PAD,

∴平面 PAD⊥平面 PAB. 5、如图 2-3-16,等边三角形 ABC 的边长为 1,BC 边上的高为 AD,若沿 AD 折成直二面角,则 A 到 BC 的距离是……( )

图 2-3- 16

A.1

B.

C.

D. , 且∠ BDC 为二面角的平面角 , ∠

参考答案与解析 : 思路解析 : 折叠后 BD=DC= BDC=90°,

∴BC=

.取 BC 中点 E,连结 DE,则 DE⊥BC,进一步易证 AE⊥BC,AE 的长为所求距离.

∵AD=

,DE=

BC=

,

∴AE= 答案:C

.

主要考察知识点:空间直线和平面 6、下列命题正确的是( )

A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两 直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所
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D 错. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面

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以 A,B 错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以

7、空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( A.垂直且相交 C.垂直但不相交 B.相交但不一定垂直 D.不垂直也不相交

)

参考答案与解析:解析:取 BD 中点 E,连结 AE、CE. ∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD. ∴BD⊥平面 AEC. 又 AC 面 AEC,∴BD⊥AC.

答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 8、 线段 AB 的长等于它在平面 α 内射影长的 2 倍, 则 AB 所在直线与平面 α 所成的角为 ( A.30° B.45° C.60° D.120° )

参考答案与解析:解析:由直角三角形的边角关系,可知直线与平面 α 所成的角为 60°. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 9、设 α,β 为两个不重合的平面,l,M,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 α ∥β , ②若 , ,则 l∥β ; ,M∥β ,n∥β ,则 α ∥β ;

③若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β ; ④若 , ,且 l⊥M,l⊥n,则 l⊥α . ) B.①②③ C.①③ D.②④

其中正确命题的序号是( A.①③④

参考答案与解析:解析:由面面平行的判定定理,知②错误;由线面 垂直的判定定理知④错误. 答案:C 主要考察知识点:空间直线和平面 10、下列说法中正确的是( )

①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直 ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直 ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行 ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直
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A.①②③ B.①②③④

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C.②③ D.②③④

参考答案与解析:解析:由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一 点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直. 答案:A 主要考察知识点:空间直线和平面

二、填空题 1、α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 、β 外的两条不同直线,给出四个结论: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题______. 参考答案与解析:解析:假设①③④为条件,即 m⊥n,n⊥β,m⊥α 成立,如图.过 m 上一点 P 作 PB∥N,则 PB⊥m,PB⊥β,设垂足为 B.又设 m⊥α,垂足为 A,过 PA、PB 的平面与 α、β 的 交线 l 交于点 C.

∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面 PAB. ∴l⊥AC,l⊥BC. ∴∠ACB 是二面角 α -l-β 的平面角. 由 m⊥n,显然 PA⊥PB, ∴∠ACB=90°,∴α ⊥β . 由①③④ ②成立.

反过来,如果②③④成立,与上面证法类似可得①成立. 答案:②③④ ①或①③④ ②.

主要考察知识点:空间直线和平面 2、α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α、β 外的两条不同直线,给出四个结论: ①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题______. 参考答案与解析:解析:假设①③④为条件,即 m⊥n,n⊥β,m⊥α 成立,如图.过 m 上一点 P 作 PB∥N,则 PB⊥m,PB⊥β,设垂足为 B.又设 m⊥α,垂足为 A,过 PA、PB 的平面与 α、β 的 交线 l 交于点 C.
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∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面 PAB. ∴l⊥AC,l⊥BC. ∴∠ACB 是二面角 α -l-β 的平面角. 由 m⊥n,显然 PA⊥PB, ∴∠ACB=90°,∴α ⊥β . 由①③④ ②成立.

反过来,如果②③④成立,与上面证法类似可得①成立. 答案:②③④ ①或①③④ ②.

主要考察知识点:空间直线和平面 3、设三棱锥 PABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H,给出下列命题: ①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 是△ABC 的垂心; ②若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 H 是△ABC 的垂心; ③若∠ABC=90°,H 是 AC 的中点,则 PA=PB=PC; ④若 PA=PB=PC,则 H 是△ABC 的外心. 请把正确命题的序号填在横线上:______________.

参考答案与解析:解析:①若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 H 为垂心. ②∵PA⊥ PB,PA⊥PC, ∴PA⊥面 PBC. ∴PA⊥BC. 又 PH⊥面 ABC, ∴PH⊥BC.∴BC⊥面 PAH. ∴AH⊥BC. 同理 BH⊥AC,∴H 为垂心. ③∵H 为 AC 中点,∠ABC=90°,
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∴AH=BH=CH. 又 PH⊥面 ABC, 由勾股定理知 PA=PB=PC. ④∵PA=PB=PC,又 PH⊥面 ABC,同③可知 答案:①②③④ 主要考察知识点:空间直线和平面

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AH=BH=CH,∴H 为外心.

4、如图,P 是二面角 α-AB-β 的棱 AB 上一点,分别在 α、β 上引射线 PM、PN,截 PM=PN,如 果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角 α-AB-β 的大小是___________.

参考答案与解析:解析:过 M 在 α 内作 MO⊥AB 于点 O,连结 NO, 设 PM=PN=a, 又∠BPM=∠BPN=45°, ∴△OPM≌△OPN. ∴ON⊥AB. ∴∠MON 为所求二面角的平面角. 连结 MN,∵∠MPN=60°,∴MN=a.

又 ∴MO +NO =MN . ∴∠MON=90°. 答案:90°
2 2 2

,

主要考察知识点:空间直线和平面

三、解答题 1、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,EF⊥A1D,EF⊥AC,求证:EF∥BD1.

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参考答案与解析:解析:要证明 EF∥BD1,可构造与它们都垂直的一个平面.由于 A1D,AC 均为 各面的对角线,通过对角线的平行性可构造垂直关系. 证明:连结 A1C1,由于 AC∥A1C1,EF⊥ AC, ∴EF ⊥A1C1. 又 EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1, ∴EF⊥平面 A1C1D. ∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1 ∴BB1⊥A1C1. 又 A1B1C1D1 为正方体, ∴A1C1⊥B1D1. ∵BB1∩B1D1=B1, ∴A1C1⊥平面 BB1D1D. 而 BD1 平面 BB1D1D,∴BD1⊥A1C1. 平面 A1B1C1D1, ①

同理,DC1⊥BD1,DC1∩A1C1=C1, ∴BD1⊥平面 A1C1D. 由①②可知 EF∥BD1. 主要考察知识点:空间直线和平面 2、 在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成 S 形的方法向上开, 这是为什么?你能从数学的角度进行解释吗? 参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费 “力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走 S 形可减少这种危险,从数学的角度 看,可作如下解释. ②

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图 2-3-22 如图,AB 表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α 表示它与水平面所成的交角, CB 表示斜着向上 行走的路线,β 表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是 BD. 现在的问题就是要研究 α 和 β 这两个角哪个大,越大越费力.

在 Rt△BAD 中,sinα =

.①

在 Rt△BCD 中,sinβ =

.②

比较①与②,因为 AB、CB 分别是直角三角形 ABC 的直角边和斜边,也就是说 AB<CB,

所以



.

又因为 α 、β 都是锐角,所以 α >β . 因此汽车沿着 CB 方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道 理. 主要考察知识点:空间直线和平面 3、如图,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、△BCD、△A BC 都全等,且 BC=2,求以 BC 为棱、以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角的大小. ,

参考答案与解析:解:取 BC 的中点 E,连结 AE、DE,

∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
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又∵△ABD≌△ACD,AB=AC, ∴DB=DC. ∴DE⊥BC. ∴∠AED 为二面角 A-BC-D 的平面角.

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又∵△ABC≌△DBC,且△ABC 为以 BC 为底的等腰三角形,故△D BC 也是以 BC 为底的等腰三角 形, ∴ 又△ABD≌△BDC, ∴AD=BC=2. 在 Rt△DEB 中, ∴ 同理 . ,AD=2, ,BE=1, , .

在△AED 中,∵AE=DE= ∴AD =AE +DE . ∴∠AED=90°.
2 2 2

∴以面 BCD 和面 BCA 为面的二面角的大小为 90°. 主要考察知识点:空间直线和平面

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