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高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题
【基础知识点】 一、平行问题

1. 直线与平面平行的判定与性质 定义

判定定理

性质

性质定理

图形

条件

a∥α

结论 a∥α 2. 面面平行的判定与性质

图形

定义

b∥α

判定

定理

a∩α=

a∥b

性质

条件

α∥β,a?β

结论

α∥β

α∥β

平行问题的转化关系:

二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1.直线和平面垂直的定义:直线 l 与平面 α 内的

2.直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言

一条直线与一个平面

判定定理

内的两条相交直线都 垂直,则该直线与此平

面垂直

如果在两条平行直线

推论

中,有一条垂直于平 面,那么另一条直线也

垂直这个平面

3.直线与平面垂直的性质定理

a∥b

a∥α

都垂直,就说直线 l 与平面 α 互相垂直.

图形语言

符号语言

1

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的 两条直线平行

4.直线和平面垂直的常用性质

①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一条直线的两平面平行.

二、平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言

图形语言

符号语言

一个平面过另一个平

判定定理 面的垂线,则这两个平

面垂直

2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言

图形语言

符号语言

两个平面垂直,则一个

性质定理

平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平



【典例探究】 类型一、平行与垂直

例 1、如图,已知三棱锥 A ? BPC 中,AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△ PMB

为正三角形。(Ⅰ)求证: DM ∥平面 APC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 APC ; (Ⅲ)若 BC ? 4 , AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积。

A M

P

C

D B

2

例 2. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC , AC ? BC ? 2, AA1 ? 4 , AB ? 2 2 ,

M , N 分别是棱 CC1 , AB 中点.

C1

(Ⅰ)求证: CN ?平面 ABB1A1 ; (Ⅱ)求证: CN // 平面 AMB1 ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? AMN 的体积.

A1

B1

M

C

A

N

B

【变式 1】. 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 ABC , ?ABC 为等腰直角三角形,

?BAC ? 90? ,且 AB ? AA1 , D, E, F 分别是 B1 A, CC1 , BC 的中点。

(1)求证: DE / / 平面 ABC ;

C1

B1

(2)求证: B1 F ? 平面 AEF ;

(3)设 AB ? a ,求三棱锥 D ? AEF 的体积。

A1

E D

F B
C A

3

二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ?平面 ABCD , AB∥DC , △PAD 是等边三角
形,已知 BD ? 2AD ? 4 , AB ? 2DC ? 2 5 . (1)求证: BD ?平面 PAD ; (2)求三棱锥 A ? PCD 的体积.

例 4、如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ?平面 ABCD,底面 ABCD为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中

点, CG ? 1 CB. 3

(I)求证: PC ? BC ;

(II)求三棱锥 C—DEG 的体积;

(III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA// 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说明理由。

4

【变式 2】直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(Ⅰ)求证:AC ? 平面 BB1C1C;(Ⅱ) A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?
证明你的结论.

三、三视图与折叠问题
例 5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。
若 F 为 PD 的中点,求证: AF ?面 PCD ; (1) 证明: BD ∥面 PEC ; (2) 求三棱锥 E ? PBC 的体积。

4
4 正视图

2
2 4
侧视图

4
4 俯视图
P

E B
C

A D

5

例 6.已知四边形 ABCD 是等腰梯形,AB ? 3, DC ? 1,?BAD ? 45?, DE ? AB(如图 1)。现将 ?ADE

沿 DE 折起,使得 AE ? EB (如图 2),连结 AC , AB 。 (I)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; (II)试在棱 AB 上确定一点 M ,使截面 EMC 把几何体分成两部分的体积比VADCME :VMECB ? 2 : 1 ; (III)在点 M 满足(II)的情况下,判断直线 AD 是否平行于平面 EMC ,并说明理由。

A

AE

B

M

E

B

D

C

图1

D

C

图2

【变式 3】一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点. 科网
(I)求证:PB//平面 AEC;(II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,且 PF ? ? ,则 ? 为何值时,
FA PA ? 平面 BDF.
P
E D C
A B
6

【变式 4】如图 1 所示,正 ?ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E,F 分别是 AC,BC 的中点。现 将 ?ABC 沿 CD 翻折,使翻折后平面 ACD ? 平面 BCD(如图 2)
(1)试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求三棱锥 C-DEF 的体积。

A A
E

D

C D

E C

F
B 图(1)

B

F

图(2)

四、立体几何中的最值问题 例 7.图 4,A1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,A1A= AB=2. (1)求证: BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值.
A1

A

B

C 图4

7

例 8. 如图,在 ?ABC中,?B= ? ,AB ? BC ? 2,P为AB边上一动点,PD//BC 交 AC 于 点 D,现 2
将 ?PDA沿PD翻折至?PDA',使平面PDA' ? 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A'C的中点,求证:A'B ? DE.
【变式 5】如图 3,已知在 ?ABC中, ? C ?9 0 ?, PA?平面 ABC, AE?PB于 E, AF?PC于 F,
A P ? A B ? 2 , ? AEF??,当? 变化时,求三棱锥 P?A E F体积的最大值。
8

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题(答案) 【典例探究】
例 1 解:(Ⅰ)∵ M为AB中点,D为PB中点,

∴ MD ∥ AP ,又∴ MD ? 平面APC

A

∴ DM ∥ 平面APC
M
(Ⅱ)∵△ PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点,∴ MD ? PB

又由(1)∴知 MD ? AP, ∴ AP ? PB 又已知 AP ? PC ∴ AP ? 平面PBC ,

P

C

D B

∴ AP ? BC ,又∵ AC ? BC

∴ BC ? 平面APC ,∴平面 ABC ? 平面 PAC ,

(Ⅲ)∵ AB ? 20 ,∴ MB ?10,∴ PB ?10

又 BC ? 4, PC ? 100 ?16 ? 84 ? 2 21



S?BDC

?

1 2

S?PBC

?

1 4

PC

?

BC

?

1 ?4?2 4

21 ? 2

21

又MD ? 1 AP ? 1 202 ?102 ? 5 3

2

2

∴ VD ? BCM

? VM ?BCD

?

1 3

S?BDC

?

DM

? 1?2 3

21 ? 5

3 ? 10

7

例 2.(Ⅰ)证明:因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC

又因为 CN ? 平面 ABC , 所以 AA1 ? CN . ……………………… 1 分

因为 AC ? BC ? 2, N 是 AB 中点,

所以 CN ? AB .

………………………………………… 2 分C1

因为 AA1 I AB ? A ,

…………………………………………… 3 分

A1

B1

所以 CN ?平面 ABB1A1 . …………………………………………… 4 分M

(Ⅱ)证明:取 AB1的中点 G ,连结 MG , NG ,

CG

因为 N , G 分别是棱 AB , AB1 中点,

所以

NG

//

BB1



NG

?

1 2

BB1

.

A

N

B

9

又因为 CM

//

BB1 , CM

?

1 2

BB1 ,

所以 CM // NG , CM ? NG .

所以四边形 CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6 分

所以 CN // MG .

…………………………………………………………… 7 分

因为 CN ? 平面 AMB1 , GM ? 平面 AMB1 , …………………………… 8 分

所以 CN// 平面 AMB1 . ……………………………………………………… 9 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 GM ? 平面 AB1N . …………………………………………… 10 分

所以VB1? AMN

? VM? AB1N

?

1? 3

1? 2

2 ?4? 2

2?4. 3

………………………… 13 分

变式 1.(1)根据中点寻找平行线即可;(2)易证 AF ? B1F ,在根据勾股定理的逆定理证明 B1F ? EF ;(3)由于点 D 是线段 AB1 的中点,故点 D 到平面 AEF 的距离是点 B1 到平面 AEF 距

离的 1 ,求出高按照三棱锥的体积公式计算即可。 2
【解析】(1)取 AB 中点 O ,连接 CO, DO

? DO //

AA1, DO

?

1 2

AA1,? DO // CE, DO

?

CE ,?











DOCE ,? DE // CO, DE ? 平面 ABC ,CO ? 平面 ABC ,? DE // 平

面 ABC 。 (4 分) (2)等腰直角三角形 ?ABC 中 F 为斜边的中点,? AF ? BC 又?直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,?面 ABC ? 面 BB1C1C , ? AF ? 面 C1B ,? AF ? B1F

设 AB ? AA1 ? 1,? B1F ?

6 , EF ? 2

3 2

, B1E

?

3 2

,?

B1F

2

?

EF 2

?

B1E 2 ,?

B1F

?

EF

又 AF ? EF ? F , ? B1F ? 面 AEF 。 (8 分)

(3)由于点

D

是线段

AB1 的中点,故点

D

到平面

AEF

的距离是点

B1 到平面

AEF

距离的

1 2



B1F ?

a2

?

? ??

?

2 2

?2 a ??
?

?

6a ,所以三棱锥 2

D ? AEF

的高为

6 a ; 在 Rt?AEF 中 , 4

EF ? 3 a, AF ? 2 a ,所以三棱锥 D ? AEF 的底面面积为 6 a2 ,故三棱锥 D ? AEF 的体积

2

2

8

为 1 ? 6 a2 ? 6 a ? 1 a3 。(12 分)

38

4 16

10

二、线面平行与垂直的性质 例3.(1)证明:在 △ABD 中,由于 AD ? 2 , BD ? 4, AB ? 2 5 ,
∴ AD2 ? BD2 ? AB2 .

…… 2分

∴ AD ? BD.

又平面 PAD ?平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD ? AD , BD ? 平面 ABCD,

∴ BD ? 平面 PAD .

…… 4分

(2)解:过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O .

又平面 PAD ?平面 ABCD, ∴ PO ? 平面 ABCD.

…… 6分

∵ △PAD 是边长为2的等边三角形, ∴ PO ? 3 .

P

由(1)知, AD ? BD,在 Rt△ABD 中,

h ? AD ? BD ? 4 5

斜边 AB 边上的高为

AB

5.

…… 8分

D

C

O ∵ AB∥DC ,∴

A

B

S△ ACD

?

1 2

CD ? h

?

1 2

?

5?4 5 ?2 5 . …… 10分

∴ VA? PCD

? VP? ACD

?

1 3 S△ACD

? PO

?

1?2? 3

3?2 3 3.

…… 14分

例 4、(I)证明:?PD ?平面 ABCD,?PD ? BC

又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD,

∵PDICE=D, ∴BC⊥平面 PCD

又∵PC ? 面 PBC,∴PC⊥BC

(II)解:∵BC⊥平面 PCD,∴GC 是三棱锥 G—DEC 的高。

∵E



PC

的中点,? S?EDC

?

1 2

S

?EDC

?

1 2

S

?PDC

?

1 2

? (1 ? 2 ? 2) 2

?1

?VC ? DEG

? VG?DEC

?

1 3

GC

?

S

?DEC

?

1 ? 2 ?1 ? 33

2 9

(III)连结 AC,取 A C 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M,则 PA//平面

MEG。

下面证明之

∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,∴EO//平面 PA,

11

又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面MEG ,∴PA//平面 MEG

在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点,??OCG ≌ ?OAM

? AM ? CG ? 2 , 3

∴所求 AM 的长为 2 . 3

变式 2.证明:(Ⅰ)直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD,∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,

∴AC= 2 ,∠CAB=45°,∴BC= 2 ,∴BC⊥AC.

又 BB1∩BC=B,BB1,BC ? 平面 BB1C1C,∴AC⊥平面

BB1C1C.

(Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点。

证明:由

P



A1B1

的中点,有

PB1∥AB,且

PB1=

1 2

AB.

又∵DC∥AB,DC=

1 2

AB,∴DC∥PB1,且

DC=PB1,

∴DCB1P 为平行四边形,从而 CB1∥DP.又 CB1∥ ? ACB1,DP ? 面 ACB1,∴DP∥面 ACB1.

同理,DP∥面 BCB1.

例 5、
P
E

4
4 正视图

2
2 4
侧视图

B

A

4

C

D

4 俯视图

(1)由几何体的三视图可知,底面 ABCD是边长为 4 的正方形, PA ?面 ABCD, PA ∥ EB , PA ? 2EB ? 4.
PA ? AD, F 为 PD中点,?PD ? AF.

又 CD ? DA,CD ? PA, ?CD ? AF, AF ?面 PCD。 (2)取 PC 的中点 M , AC 与 BD的交点为 N ,?MN ? 1 PA, MN ∥ PA ,
2
12

?MN ? EB, MN ∥ EB ,故 BEMN 为平行四边形,

?EM ∥ BN ,?BD ∥面 PEC 。

(3) VE ? PBC

? VC?PBE

?1 3

(1 2

BE

AB)

BC ? 16 3

例 6.答案略

变式 3.解:(1)由三视图得,四棱锥底面 ABCD 为菱形, 棱锥的高为 3,设 AC ? BD ? O ,则 PO 即是棱锥
的高,底面边长是 2,连接 OE , E,O 分别

是 DP, DB 的中点,?OE ∥ BP ,

OE ? 面AEC, BP ? 面AEC ?PB ∥ 面AEC

(2) V三棱锥C-PAB

? V三棱锥P-ABC

?

1 2

V四棱锥P-ABCD

?

1 2

?

?1 ?? 3

?

(

1 2

?

2?

2

3)? 3??? ?

3

(3)过 O 作 OF ? PA,在Rt POA中, PO ? 3, AO ? 3, PA ? 2 3 ? AF ? 3 ----10 分 2

?

PF PO

: FA ? 3时即?=3时,OF ? BD, AC ? BD, PO ?

? PA, AC ? O?

BD

?

面PAC

---------------12



?BD ? PA,由OF ? PA且BD ?OF ? O?PA ? 面BDF ---------------14 分

变式 4.解:(1)判断:AB//平面 DEF………………………………………………..2 分

证明:

因在 ?ABC 中,E,F 分别是 A

AC,BC 的中点,有

EF//AB………………..5 分

E

A E

又因

AB ? 平面 DEF,

D

EF ? 平面 DEF…………..6

C D

C M



所以

AB//



DEF……………..7 分

面B

F 图(1)

B

F

图(2)

13

(2)过点 E 作 EM ? DC 于点 M, 面 ACD ? 面 BCD,面 ACD 面 BCD=CD,而 EM ? 面 ACD 故 EM ? 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF 的高……………………………..9 分

又 ? CDF

的面积为 S?CDF

?

1 2

S?BCD

?

1 ? 1 CD ? BD 22

?

1 4

(2a)2 ? a2 ? a ? 3 a2 4

EM= 1 AD ? 1 a ……………………………………………………………………11 分

2

2

故三棱锥 C-DEF 的体积为

VC ?DEF

? VE?CDF

1 ? 3 ? S?CDF ? EM

? 1? 3

3 a2 ? 1 a ? 42

3 a3........................14分 24

四、立体几何中的最值问题

例 7.证明:∵C 是底面圆周上异于 A,B 的任意一点,

AB 是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC,

∵AA1⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,

∴AA1⊥BC,

……4 分

∵AA1∩AC=A,AA1? 平面 AA1 C,AC? 平面 AA1 C,

∴BC⊥平面 AA1C.

……6 分

……2 分
A1

(2)解法 1:设 AC=x,在 Rt△ABC 中,

A

B

BC = AB2 ? AC2 ? 4 ? x2 (0<x<2) ,

……7 分

C 图4



VA1 -ABC

=

1S 3

ABC

? AA1

?

1? 3

1 2

? AC ? BC ? AA1

?

1 3

x

4 ? x2 (0<x<2),

……9 分

即 VA1-ABC

=

1 3

x

4? x2 ? 1 3

x2 (4 ? x2 ) ? 1 3

?(x2 ? 2)2 ? 4 . ……11 分

∵0<x<2,0<x2<4,∴当 x2=2,即 x = 2 时,

三棱锥

A1-ABC

的体积的最大值为

2 3

.

解法 2: 在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2=4,

VA1 -ABC

=

1S 3

ABC

? AA1

?

1? 3

1 2

? AC ? BC ? AA1

……14 分 ……7 分
……9 分

1

1 AC2 ? BC2 1 AB2 2

? AC ? BC ? ?

?? ? .

3

32

32 3

……11 分

当且仅当 AC=BC 时等号成立,此时 AC=BC= 2 .
14



8.解:(1)设

PA ?

x

,则 VA?-PBCD

?

1 3

PA ? S底面PDCB

?

1 3

x(2 ?

x2 x

)

令 f (x) ? 1 x(2 ? x2 ) ? 2x ? x3 , (x ? 0)

3

2 36

则 f ?(x) ? 2 ? x2 32

x f ?(x) f (x)

(0, 2 3 ) 3 ?
单调递增

23 3 0
极大值

( 2 3 ,??) 3 ?
单调递减

由上表易知:当

PA

?

x

?

23 3

时,有 VA?-PBCD

取最大值。

证明:
(2)作 A?B 得中点 F,连接 EF、FP
由已知得: EF// 1 BC//PD ? ED// FP 2
?A?PB为等腰直角三角形, A?B ? PF 所以 A?B ? DE . 变式 6. 解:因为 PA?平面 ABC

BC?平面 ABC,

所以 PA?BC

又因为 B C ? A C ,P A ? A C ? A ,

所以 BC?平面 PAC, 又 AF?平面 PAC, 所以 BC?AF,

又 A F ? P C ,P C ? B C ? C ,

所以 AF?平面 PBC,即 AF?EF。 EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影, 因为 AE?PB,

15

所以 EF?PB, 即 PE?平面 AEF。 在三棱锥 P?A E F中,
A P ? A B ? 2 ,A E ? P B ,

所以 P E?2,A E?2,

AF? 2sin?,EF? 2cos?,

VP?AEF

?

1 3S?AEF

? PE

?1?1? 2sin?? 2cos?? 2
32

? 2 sin2?
6
因为 0?? ? ? ,
2
?? ? 所以 0 ? 2? , 0 ? s in 2? 1

因此,当 ?

?

? 4

时,VP?AEF取得最大值为

2 6



16