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高中数学人教A版选修2-1课件2.3.2 双曲线的简单几何性质ppt版本_图文

2.3.2 双曲线的简单几何性质
-1-

目标导航
1.了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何 性质.
2.能解决一些简单的双曲线问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.

重难聚焦

有共同渐近线的双曲线系方程

±

1(剖′ >析0:若, 双′ >曲0线)有相22 ?同的22 =渐±近1线(,即> 两0,条 >渐0近)与线双方曲程线 ±'22?=0'22

= 与

'

±

'

=

0

分别重合,则必有

'

=

'

=

1

(

>

0),

故a'=ka,b'=kb.

反之,易求得双曲线

2 2

?

2 2

=

±1



2 ()2

?

2 ()2

=

±1



相同的渐近线y=±



,

故与双曲线

2 2

?

2 2

=

±1

有相同渐近线的双

曲线系方程为

2 ()2

?

2 ()2

=

± 1.

上述方程可简化为

2 2

?

2 2

=

(≠0).因此在已知渐近线的方程的情况下,利用双曲线系方程

2 2

?

2 2

=

(≠0)求双曲线方程较为方便.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

求双曲线的标准方程
【例1】 已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
(1)若双曲线过点 P( 6, 2), 求双曲线的标准方程; (2)若双曲线的焦距是2 13, 求双曲线的标准方程.

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

解法一:双曲线的渐近线方程为

y=±

2 3

.

(1)设双曲线的方程为

2

?

2

=

1(

>

0).

∵双曲线过点 P(

6,

2),

且点P

在直线

y=

2 3

的左上方,

∴m<0,n<0,∴焦点在 y 轴上.

又渐近线的斜率 k=± 23,

64



- -

= 1,
2

解得

- = 3 ,

= -3,
4 = - 3 .

故所求双曲线的标准方程为

2
4

?

2 3

=

1.

3

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

(2)设双曲线的方程为

2 2

?

2 2

=

1



2 2

?

2 2

=

1(

>

0,



>

0).

∵c2=a2+b2,∴a2+b2=13.

∵渐近线的斜率为



=

2 3





=

23,

2 ∴ = 3 ,

2 或 = 3 ,

2 + 2 = 13 2 + 2 = 13.



2 = 9, 或 2 = 4

2 = 4, 2 = 9.

故所求双曲线的标准方程为

2 9

?

2 4

=

1



2 4

?

2 9

=

1.

题型一

题型二

题型三

题型四

解法二:双曲线的渐近线方程为



3

±

2

y=± = 0.

2 3

,

设双曲线的方程为

2 9

?

2 4

=

(≠0).

(1)∵双曲线过点 P( 6, 2),

64

1

∴ 9 ? 4 = . ∴ = ? 3.

故所求双曲线的标准方程为

2
4

?

2 3

=

1.

3

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

(2)若 λ>0,则 a2=9λ,b2=4λ,c2=a2+b2=13λ,

由题设,知 2c=2 13, 则λ=1.

故所求双曲线的标准方程为

2 9

?

2 4

=

1.

若 λ<0,则 a2=-4λ,b2=-9λ,

c2=a2+b2=-13λ,

由题设,知 2c=2 13, 则λ=-1.

故所求双曲线的标准方程为

2 4

?

2 9

=

1.

综上可知所求双曲线的标准方程为

2 9

?

2 4

=

1



2 4

?

2 9

=

1.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

反思双曲线的方程有两种设法,第一种方法是直接设出双曲线的标 准方程,利用条件列出独立的关于a,b,c的等式,解方程组求出待定 系数.第二种方法是利用共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关 于参数λ的关系式并确定λ,但应注意λ的符号与双曲线焦点位置的 对应.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

【变式训练 1】 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条

件的双曲线方程:

(1)双曲线过点(3,9

2), 离心率 =

10 3

;

(2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=±3x.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)由 e=

10 3

,



2 2

=

190.

设 a2=9k(k>0),则 c2=10k,b2=c2-a2=k.

于是,设所求双曲线方程为

2 9

?

2

=

1,





2 9

?

2

=

1,



把(3,9 2)代入①,得 k=-161 与 k>0 矛盾,无解;

把(3,9 2)代入②,得 k=9,

故所求双曲线方程为

2 81

?

2 9

=

1.

(2)由渐近线方程 3x±y=0,

可设所求双曲线方程为

2
1

?

2

=

(≠0),

9
将点 P(2,-1)的坐标代入(*),得 λ=35,

故所求双曲线方程为

2
35

?

2 35

=

1.

9

典例透析
(*)

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

求双曲线的简单几何性质

【例

2】

如图,已知

F1,F2

为双曲线

2 2

?

2 2

=

1(

>

0,



>

0)的焦点

, 过2 作垂直于轴的直线交双曲线于点, 且∠PF1F2=30°,求双曲

线的渐近线方程.

分析:由于PF2⊥x轴,因而可先求得点P的纵坐标,即可知|PF2|的 值,再结合△PF1F2为直角三角形及双曲线的定义,可求得a,b间的关 系,就可求得渐近线的斜率.

题型一

题型二

题型三

题型四

解法一:设 F2(c,0)(c>0),P(c,y0),



2 2

?

02 2

=

1,

解得y0=±

2.

则|PF2|= 2.

在 Rt△PF2F1 中,∠PF1F2=30°,

则|F1F2|= 3|2|,

即 2c= 3 ·2 , 将c2=a2+b2 代入,解得 b2=2a2,




=

2.

故双曲线的渐近线方程为 y=± 2.

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

解法二:设 F2(c,0)(c>0),P(c,y0),



2 2

?

02 2

=

1,

解得y0=±

2.

故|PF2|=

2

.

在Rt△PF2F1

中,∠PF1F2=30°,

则|PF1|=2|PF2|.

由双曲线的定义,可知|PF1|-|PF2|=2a,

由①②,得|PF2|=2a,

∵|PF2|=

2

,



2

=

2

,

即b2=2a2.∴



=

2.

∴双曲线的渐近线方程为 y=± 2.

典例透析
① ②

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

反思双曲线上一点P与两个焦点F1,F2连线形成的△PF1F2是常遇到 的一种图形,我们有时称之为“焦点三角形”,它往往把三角形的相关 知识(如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)与 双曲线的相关知识相结合构造不同的问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

【变式训练 2】

设双曲线

2 2

?

2 2

= 1( > 0, > 0)

的虚轴长为 2, 焦距为 2 3, 则双曲线的渐近线方程为( )

A.y=± 2B. = ±2

C.y=±

2 2

D.



=

±

1 2



解析:由题意知 2b=2,2c=2 3, 则b=1,c= 3.

因为 a2+b2=c2,所以 a= 2.

所以双曲线的渐近线方程为 y=±

2 2

.

答案:C

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

求双曲线的离心率

【例3】 求适合下列条件的双曲线的离心率:

(1)双曲线的渐近线方程为

y=±

3 2

;

(2)双曲线

2 2

?

2 2

=

1(0

<



<

)的半焦距为,

直线过

(, 0), (0, )两点, 且原点到直线的距离为

3 4

.

解:(1)若焦点在

x

轴上,则



=

32,

故 e=

2 2

+

1

=

213.

若焦点在

y

轴上,则



=

3 2

,





=

23,

故 e=

2 2

+

1

=

313.

综上所述,双曲线的离心率为

13 或
2

313.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

(2)依题意,得直线 l:bx+ay-ab=0.

由原点到

l

的距离为

3 4

,



=
2+2

3 4

,

即ab=

3 4

2,

∴16a2b2=3(a2+b2)2,

即 3b4-10a2b2+3a4=0,

∴3

2 2

2

?

10

×

2 2

+

3

=

0.

解得

2 2

=

1 3



2 2

=

3.

∵0<a<b,∴

2 2

=

3.





=

1

+

2 2

=

2.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

反思求双曲线的离心率,通常先由题设条件得到 a,b,c 的关系式,再根



c2=a2+b2,直接求

a,c

的值.而在解题时常把







视为整体,把关系

式转化为关于







的方程,解方程求之,从而得到离心率的值.在本

题的(2)中,要注意条件 0<a<b 对离心率的限制,以保证结果的准确

性.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

【变式训练3】 若以3x±4y=0为渐近线的双曲线经过点(3,-4),则

该双曲线的离心率为

.

解析:由题知点(3,-4)在渐近线

y=?

3 4

的左下方,y=

3 4

的右下方,

故焦点应在

y

轴上,于是有



=

34.



e=



=

1+



2

= 53.

答案:

5 3

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

易错辨析

易错点 忽视斜率的多种情况而致错

【例 4】

求经过点

1 2

,2

且与双曲线 42 ? 2 =

1 仅有一个公共点的直线方程.

错解:设所求直线方程为 y-2=

-

1 2

,由

-2 =

-

1 2

42-2 = 1,

,

得(4-k2)x2-2

2-

1 2



?

1 4

2

-2

+

5

= 0.

由题意,得 Δ=0,



-2

1 2- 2

2
? 4 4 ? 2

·-

1 4

2

-2

+

5

= 0,

解得k= 52.

故所求直线方程为

y=

5 2



+

34.

典例透析

题型一

题型二

题型三

题型四

错因分析:错解中既忽视了直线斜率不存在的情况,也忽视了联
立后所得方程为一次方程(即 k=±2)的情况.
正解:若直线的斜率存在,设为 k,

则所求直线方程为 y-2=

-

1 2

.由

-2 =

-

1 2

42-2 = 1,

① ,


将①代入②整理,得

(4-k2)x2-2

2-

1 2



?

1 4

2

-2

+

5

= 0. ③

当直线与双曲线相切时,仅有一个公共点,

所以有

= 0, 4-2 ≠

0,



-2

2-

1 2



2
? 4(4 ? 2) · -

1 4



2

-2

+

5 = 0, 且k≠±2,解得 k= 52.

故所求的直线方程为

y=

5 2



+

34.

题型一

题型二

题型三

题型四

典例透析

当 k=2 时,方程③变为一次方程,且有唯一解,因而直线①和双曲

线仅有一个公共点,故得到直线方程为 y=2x+1.

当 k=-2 时,同理可得直线方程为

y=-2x+3.

当斜率不存在时,因为点

1 2

,2

在直线x=

1 2

上,且

x=

1 2

与双曲线只有一个公共点,故所求直线方程为 x= 12.

综上所述,符合题意的直线有四条,

直线方程分别为

y=

5 2



+

3 4

,



=

2

+

1,



=

?2

+

3

和x=

12.

再见
2019/11/21