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高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4 (3)_图文

2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、向量的数量积及其几何意义 两个非零向量 a与b的数量积 记法 规定 几 何 意 义 投影 几何意义 |a||b|cosθ 叫做a与b的数量积 数量____________ (或内积),其中θ 是a与b的夹角 定 义 |a||b|cosθ 记作:a·b,即a·b=____________ 零向量与任一向量的数量积为__ 0 |a|cosθ 向量a在b方向上的投影:_________ |b|cosθ 向量b在a方向上的投影:_________ 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a方向 |b|cosθ 的乘积 上的投影_________ 思考:两个向量的数量积什么时候为正数,什么时候为零,什么 时候为负数? 提示:设向量a,b的夹角为θ,当0°≤θ<90°时,a·b>0, 即数量积为正数,当θ=90°,a·b=0,即数量积为0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0,即数量积为负数. 二、向量数量积的性质和运算律 1.向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ , a·b=0 (1)a⊥b?_______. ab ? ______,当a,b同向时, (2)当a∥b时,a·b= ? ? |a | b 当a,b反向时. ? _________, |a|2 或_______. a ? a? a (3)a·a=____ a?b a b (4)cos θ =_____. ≤ a||b|. (5)|a·b|___| 2.向量数量积的运算律 交换律 对数乘的结合律 分配律 a · b= b· a __________ (λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b) ___________________________ (a+b)·c=a·c+b·c ___________________ 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a·b=0,则a,b至少有一个为0.( ) (2)若a≠0,a·b=b·c,则a=c.( (3)(a·b)·c=a·(b·c).( ) ) 提示:(1)错误.当a与b垂直时,也有a·b=0. (2)错误.a·b=b·c推不出a=c.理由如下: 如图,a·b=|a||b|cosβ=|b||OA|, b·c=|b||c|cosα=|b||OA|, 所以a·b=b·c但是a≠c. (3)错误.若(a·b)·c≠0,其方向与c相同或相反, 而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定 相同,故该等式不一定成立. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)〓 【知识点拨】 1.对数量积概念的理解 (1)从定义上看:两向量的数量积是一个数量,而不是向量, 其数值可正、可负、可为零,其决定因素为两向量的夹角 . (2)从运算上看:两向量a,b的数量积称作内积,写成a·b, 其中“·”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号,也不 可省略. (3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义,学习时注意 掌握. 2.正确理解“投影”的概念 (1)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可 为零. (2)夹角与投影的联系 向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,向量b在a的方向 上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表. (2)夹角与投影的联系 向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,向量b在a的方向 上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表. θ的 取值 投影 的值 0 | b| π -|b| ? (0, ) 2 ? ( , ?) 2 ? 2 正值 负值 零 图示 3.实数中成立,向量中不成立的结论 (1)a·b=0可推出a=0或b=0;但是a·b=0推不出a=0或b=0. (2)a·b=c·b,b≠0可推出a=c; 但是a·b=c·b,b≠0推不出a=c. b a 但是 a? b 推不出 a (3) ? ? a ? 可推出 ? ? ; ? ? ? ? . 2 2 b b b b (4)|a|=|b|可推出|a·c|=|b·c| 但是|a|=|b|推不出|a·c|=|b·c|. (5)(a·b)2=a2·b2但是(a·b)2≠a2·b2. 类型 一 数量积及其几何意义 【典型例题】 1.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向 上的投影是( A.-4 ) B.4 C.-2 D.2 2.(2013·唐山高一检测)若等腰△ABC的底边BC长为4,则 ??? ? ??? ? BA?BC 的值为_________. 3.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°, ??? ? ??? ? E为CD的中点,设 AB ? a,AD ? b, ??? ? ??? ? (1)试用a,b表示 AE 和 BD. ??? ? ??? ? (2)求 AE ?BD. 【解题探究】 1.如何用|a|,|b|,a·b表示向量a在向量b方向上的投影? ??? ? ??? ? 2.向量 BA与向量 BC 的夹角是什么? 3.(1)用a,b表示 AE 的依据是什么? 用a,b表示 BD 的依据是什么? (2)利用第(1)问的结论,求 AE?BD 可以转化为求什么? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 探究提示: a?b . 1.向量a在向量b方向上的投影可表示为 b ??? ? ??? ? 2.向量 BA与向量 BC 的夹角是∠ABC,是锐角. ??? ? 3.(1)用a,b表示 AE 的依据是向量加法的三角形法则和数 ??? ? 乘向量的几何意义.用a,b表示 BD 的依据是向量减法的几 何意义. (2)利用第(1)问的结论,求 AE?BD 可以转化为求a·b, ??? ? ??? ? a2 , b2 . 【解析】1.选A.设向量a与向量b的夹角为θ,则向量a在

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