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修订正切函数图象与性质.ppt_图文

欢迎同学们:

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复习与回顾
1、我们是怎样研究正、余弦函数的性质的? 图象 性质 (有了图就有了一切!) 2、如何作出正弦函数图像的?
B
y 1

O1

A O
-1

? 3

2? 3

?

4? 3

5? 3

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y

1 -4? -3? -2? -?

o
-1
Page

?

2?

3?

4?

5?

6? x

2

二、正切函数的性质
1、周期性 T ? π π tan(x ? π ) ? tan x , x ? R, x ? ? kπ , k ? Z 2

y ? A tan( ?x ? ? )

? T ? ?

2、奇偶性 π tan(? x ) ? ? tan x , x ? R, x ? ? kπ , k ? Z 2 正切函数是奇函数
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例1、判断下列函数的奇偶性并求周期:

y ? tan 3x ? ? ? ? 奇函数,T ? . ? 3 ? ? x (3) y ? tan 2 ?奇函数,T ? 2? .?
(1)

(2)

(4)

? ? ? ? 奇函数,T ? . ? 2 ? ? ?

y ? tan ? 2x ? ? ?

?奇函数,T ? 3?
4

y ? ? tan x 3

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? ? ?? ? , ? 的图象 利用正切线画出函数在 ? ? 2 2?
y

?

O1

? ? ? ? ? ? ? 3 4 6 2

O? 6

? ? ? 4 3 2

x

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5

正切曲线

?

3? 2

?

? 2

?
?

3? 2

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6

正切函数的性质 :

? ? ? 定义域: ? x x ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?

k? 对称中心是 ( , 0), k ? Z 2

值域:

R

T ?? 周期性:
奇偶性:

y ? A tan(?x ? ? )
奇函数

? ? ? ? 单调性: 在开区间 ? ? ? k? , ? k? ? k ? Z内递增 2 ? 2 ? 在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说

正切函数在整个定义域上单调递增?
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图像特征:
? 1、间断性:正切曲线是被互相平行的直线 x ? ? k? , k ? Z 2
所隔开的无穷多支曲线组成的。

? ? 2、 在每一个开区间 ( ? ? k? , ? k? ), k ? Z 内,图像自左向 2 2 ? 右呈上升趋势,向上与直线 x ? ? k? , k ? Z 无限接近但 2 ? 永不相交;向下与直线 x ? ? ? k? , k ? Z 无限接近但永不 2
相交。

? 将 x ? ? k? , k ? Z 称为正切曲线的渐近线。 2
请同学们从正切函数图像出发,验证其性质。
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例2、比较
?

? 13? ? tan? ? ? ? 4 ?



? 17? ? tan? ? ? ? 5 ?

的大小。
2? ? ? ? ? tan 5 ?

13? ? ? 解: tan ? ?? ? ? ? tan 4 4 ?

? 17? tan ? ? ? 5



2? 0? ? , 4 5

?

? ?? y ? tan x在 ? 0, ? 内单调递增, ? 2?

2? ? 2? ? tan ? tan ,?? tan ? ? tan , 4 5 4 5

?

? 13 ? ? 17 ? 即 tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 4 ? ? 5 ?
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例3.画出函数y=| tanx| 的图象,指出它的单调区间, 奇偶性,周期。

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练习:
? 1.函数y=tan (2x+ )的周期是 ( C 6

)
? 4

(A) π

(B) 2π

(C)

? 2

(D)

2.已知a=tan1, b=tan2, c=tan3, 则a、b、c的大 小关系是 ( C )

(A) a<b<c
(C) b<c<a

(B) c<b<a
(D) b<a<c
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3. 在下列函数中,同时满足: (1) 在(0,

? 2

)上递

增;(2)以2π为周期;(3)是奇函数的是( A ) 1 (A) y=tan x (B) y=cosx 2 (C) y=|tanx| (D) y=tan2x

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x 4.函数y=lgtan 的定义域是( C ) 2 ?

(A) {x|kπ<x<kπ+

, k∈Z}
4

(B) {x|4kπ<x<4kπ+

? , k∈Z} 2

(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} (D) 第一、三象限

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x 6. 函数y=2tan( ? )的定义域是 3 2

?

,

周期是

;
5? )(k∈Z) 3

? 定义域是(2kπ- , 2kπ+ 3
周期是2π

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x ? 7.函数y=tan( ? )的递增区间是 2 3
5? ( 2 k π ? , 2k π 3

;

? ? ) ,(k∈Z) 3

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小结:
(1)y ? tan x 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 ? ? ?? ? ? , ? 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 ? 2 2? (2)性质: 值 周 定义域 域 期 ? { x x ? k? ? , 2 R ? k ? Z}

奇 偶 性 奇 函 数

单调增区间

渐近线方程

? ?? ? k ? ? , k ? ? ? ? 2 2? ? k?Z

x ? k? ?

?
2

k?Z

(3)思想方法: 类比、推理、转化
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