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2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第1讲 函数与映射的概念_图文

第二章 函数、导数及其应用
第1讲

函数与映射的概念

1.了解构成函数的要素.

2.会求一些简单函数的定义域和值域.
3.了解映射的概念.

1.映射的概念 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于

集合 A 中的任意一个元素,在集合 B 中都有唯一确定的元素与
之对应,那么这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射,

通常记为 f:A→B.

2.函数的概念

(1)函数的定义:
设 A,B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确 定的数和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数,通常记为 y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 定义域 ;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函 叫做函数 y=f(x)的________ 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}称为函数 y=f(x)的值域. 值域 和对应关系 f. (3)函数的三个要素:定义域、______

1 1.(2013 年广东茂名一模)函数 f(x)= x-2+ 的定义 x-3 域是( D )
A.[2,+∞) C.(-∞,3)∪(3,+∞)
? ?x≥2, 解析:由题意,得? ? ?x≠3.

B.[2,3) D.[2,3)∪(3,+∞)

故选 D.

2.下列函数中与函数 y=x 相同的是( B ) A.y=( x) C.y= x2
2

B.y= x3 x2 D.y= x

3

3.(2013 年江西)函数 y= xln(1-x)的定义域为( B ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

? ?x≥0, 解析:由题意,得自变量满足? ? ?1-x>0.

解得 0≤x<1,即函

数 y= xln(1-x)的定义域为[0,1).故选 B.

4.设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},给出如图 2-1-1 所示的四个图象,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的 ②③ 填序号). 是________(

图 2-1-1

考点1

有关映射与函数的概念

例1:若集合 A={1,2,3,k}到集合 B={4,7,a4,a2+3a} 是一个映射,对应关系为 f:x→y=3x+1,则自然数 a=____,

自然数 k=________;集合 A=___________,B=__________.

解析:令 y=f(x),f(1)=3×1+1=4,f(2)=3×2+1=7,

f(3)=3×3+1=10,f(k)=3k+1.
由映射的定义知,
4 ? ?a =10, (1)? 2 ? ?a +3a=3k+1, 2 ? ?a +3a=10, 或(2)? 4 ? ?a =3k+1.

∵a∈N,∴方程组(1)无解. 解方程组(2),得 a=2 或 a=-5(舍去).

则 3k+1=16,3k=15,k=5.
∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}. 答案:2 5 {1,2,3,5} {4,7,10,16}

【规律方法】理解映射的概念,应注意以下几点: ①集合 A,B 及对应法则 f 是确定的,是一个整体系统; ②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对 应,它与从集合 B 到集合 A 的对应关系一般是不同的; ③集合 A 中每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯 一的,这是映射区别于一般对应的本质特征; ④集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一 个; ⑤不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.

【互动探究】 1.给定集合 P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤4},下列从 P 到 Q 的对应关系 f 中,不是映射的是( C ) A.f:x→y=2x C.f:x→y= 5 x 2 B.f:x→y=x2

D.f:x→y=2x

5 解析:当x=2时, x=5,集合Q中没有元素与之对应.故 2 不是映射.

考点 2 判断两个函数是否为同一个函数

例2:试判断以下各组函数是否表示同一个函数? (1)f(x)= x ,g(x)= x3;
? ?x≥0?, ?1 |x| (2)f(x)= ,g(x)=? x ? ?-1 ?x<0?;
2

3

(3)f(x)=

2n+1

x

2n+1

,g(x)=

2n-1

x2n-1,n∈N*;

(4)f(x)= x· x+1,g(x)= x2+x; (5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.

解:(1)由于f(x)= x =|x|,g(x)= x3=x, 故它们的对应关系不相同,∴它们不是同一个函数. |x| (2)由于函数f(x)= x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而
? ?1 g(x)=? ? ?-1

2

3

?x≥0?, 的定义域为R, ?x<0?

∴它们不是同一个函数.

(3)∵当n∈N*时,2n± 1为奇数, ∴f(x)= 2n+1 x
2n+1

=x,g(x)=

2n-1

x2n 1=x.


它们的定义域、对应关系都相同,∴它们是同一个函数. (4)∵函数f(x)= x· x+1的定义域为{x|x≥0}, 而g(x)= x2+x的定义域为{x|x≥0,或x≤-1}, 它们的定义域不同,∴它们不是同一个函数.
(5)∵函数的定义域和对应关系都相同, ∴它们是同一个函数.

【规律方法】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和 值域.由于值域是由定义域和对应关系确定的,所以如果两个 函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数为同一个 函数.第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数 的概念理解不透.在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下, 自变量变换字母对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x2+1,f(t) =t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为同一个函数.

【互动探究】 2.下列四组函数中,表示同一个函数的是( D )
A.y=x-1与y= x-12 x-1 B.y= x-1与y= x-1 C.y=4lgx与y=2lgx2 x D.y=lgx-2与y=lg100

考点 3 求函数的定义域
1 例3:(2014年山东)函数f(x)= 的定义域为( log2x-1 )

A.(0,2)
C.(2,+∞)

B.(0,2]
D.[2,+∞)

解析:由已知,得 log2x-1>0,log2x>1,解得 x>2.

答案:C

【规律方法】(1)求定义域的一般步骤:

①写出使得函数式有意义的不等式(组);
②解不等式(组);

③写出函数的定义域.
(2)常见的一些具体函数的定义域: 有分母的保证分母不为零;有开偶次方根的要保证被开方

数为非负数;有对数函数的保证真数大于零,底数大于零,且
不等于 1.

【互动探究】
lg?x+1? 3.(2013年广东)函数f(x)= 的定义域是( C ) x-1

A.(-1,+∞)
B.[-1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞)
D.[-1,1)∪(1,+∞)
? ?x+1>0, 解析:? ? ?x-1≠0,

即x>-1,且x≠1.故选C.

1 4.若函数f(x)= ,则函数y=f[f(x)]的定义域为 x+1 { x|x∈R,x≠-1,且 x≠-2} _______________________ .
1 解析:∵f(x)= ,∴f[f(x)]= x+1 ?x+1≠0, ? 义,应满足 ? 1 +1≠0, ? x + 1 ? 1 1 +1 x+1 .要使函数有意

即x≠-1,且x≠-2.故函数的定

义域是{x|x∈R,x≠-1,且x≠-2}.

●易错、易混、易漏● ⊙对复合函数的定义域理解不透彻 例题:(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3],则 f(x-1)的定义域 为________; (2)若函数 f(x - 1)的定义域为[2,3] , 则 f(x)的定义域为 ________,f(2x+1)的定义域为________; (3)若函数 f(x)的值域为[2,3],则 f(x-1)的值域为________,

f(x)-1 的值域为________.

正解:(1)若函数f(x)的定义域为[2,3], 则对f(x-1),有2≤x-1≤3.解得3≤x≤4, 即f(x-1)的定义域为[3,4]. (2)若函数f(x-1)的定义域为[2,3], 即2≤x≤3,有1≤x-1≤2,则f(x)的定义域为[1,2]. 1 而对f(2x+1),有1≤2x+1≤2,解得0≤x≤ . 2 ? 1? 即f(2x+1)的定义域为?0,2?. ? ? (3)f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到 的,不改变值域.f(x)-1的图象是将f(x)的图象向下平移1个单位 长度得到的.故f(x-1)的值域为[2,3],f(x)-1的值域为[1,2].

答案:(1)[3,4] (2)[1,2]

0,

1 2

(3)[2,3]

[1,2]

【失误与防范】对于求抽象的复合函数的定义域,主要理

解三种情形:①已知 f(x)的定义域为[a,b],求 f[u(x)]的定义域, 只需求不等式 a≤u(x)≤b 的解集即可;②已知 f[u(x)]的定义域 为[a,b],求 f(x)的定义域,只需求 u(x)的值域;③已知 f[u(x)] 的定义域为[a,b],求 f[g(x)]的定义域,必须先利用第(2)小题的 方法求 f(x)的定义域,然后利用第(1)小题的方法求解.


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