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高二年级下学期期中考试文科数学试卷


南陵中学 2013-2014 学年第二学期期中考试 高二文科数学试卷
本试卷共 21 题,总分 150 分.考试时间为 120 分钟. 一、选择题:(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p :任意 x ? R, x ? sin x ,则 p 的否定形式为( A.存在 x0 ? R, x0 ? sin x0 C.任意 x ? R, x ? sin x 2.已知双曲线 C : A. y ? ? B.存在 x0 ? R, x0 ? sin x0 D.任意 x ? R, x ? sin x ) )

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
B.

1 x 4

1 y?? x 3

C.

1 y?? x 2

D. y ? ? x

3.已知 p :| x ? 1|? 1, q : x ? a. 若 p 是 q 成立的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围 为( A. )

a?2

B.

a?2

C.

a?0

D. a ? 0

4. 设 F1 , F2 是椭圆 E :
?

3a x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, ?F2 PF1 P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b
) C.

是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A.

1 2
3

B.

4 5

2 3

D.

3 4

5.已知函数 f ( x ) ? x ? 为( A. )

3 f ?(3) x 2 ? f ?(1) x ? 5 ,则 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处的切线的倾斜角 2

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

6.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( A.充分不必要条件 C. 必要不充分条件 )

B. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y2 7. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) , 过点 F 的直线交 E 于 A, B 两点, a b
-1-

若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(



A.

x2 y2 ? ?1 45 36

B.

x2 y2 ? ?1 36 27

C.

x2 y2 ? ?1 27 18


D.

x2 y2 ? ?1 18 9

8.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是( A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x ) 的极值点,则 f ?( x0 ) ? 0

9.若直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且交抛物线于 A, B 两点,交其准线 m 于 C 点,已知点 A 到抛物线准线的距离为 4 ,且 BF ? A.

1 CF ,则 p 的值为( 4
D. 5



2 5

B.

8 3

C. 3

10.已知 f ( x ) 是偶函数,当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x ) ? x sin x ,若 a ? f (cos1), b ? f (cos2),
) C. c ? b ? a D. b ? a ? c

c ? f (cos3), 则 a, b, c 的大小关系为(
A. a ? b ? c B. b ? c ? a

二、填空题(本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分)

C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, 11. 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,
且 | AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为 .

12.函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x ) ? 2 x ? 4 的 解集为
2 2

.

13.若椭圆

1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点 2 2 a b
.

分别为 A, B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为

x 14.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3), g( x) ? 2 ? 2. 若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x ) ? 0 ,则实

数 m 的取值范围为

. .

15.已知函数 f ( x ) ? x(ln x ? ax ) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围为

-2 -

南陵中学 2013-2014 学年第二学期期中考试 高二文科数学试卷答题卷
题号 分数 一 二 三 16 17 18 19 20 21 得分

一、选择题: (本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 2
o m

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: (本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分)
11. ______________ 14. ______________ 12. ______________ 13. ______________ 15. ______________

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程,或演算步骤)
16. (本小题满分 12 分) 设命题 p : 2 x ? 3x ? 1 ? 0 ,命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充
2 2 ? ?

分条件,求实数 a 的取值范围.

-3-

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 为 y ? 4x ? 4 . (1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性,并求 f ( x ) 的极大值.

18. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线 C 与直线 l1 : y ? ? x 的一个交点的横坐 标为 8 . (1)求抛物线 C 方程; (2) 不过原点的直线 l2 与 l1 垂直, 且与抛物线交于不同的两点 A, B , 若线段 AB 的中点为 P , 且 | OP |?| PB | ,求 ?FAB 的面积.

-4-

19. (本小题满分 12 分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 (不计厚度) .设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米, 体积为 V 立方米.假设建造成本与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建 造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000? 元( ? 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V ( r ) ,并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V ( r ) 的单调性,并确定 r 和 h 何值时该蓄水池的体积最大.

20. (本小题满分 13 分) 设椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被 2 a b 3

椭圆截得的线段长为

4 3 . 3

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C , D 两点. 若 AC ? DB ? AD ? CB ? 8 ,求 k 的值.

-5-

21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? x +

a2 , g(x )=x + ln x ,其中 a ? 0 . x

(1)若 x ? 1 是函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x2 ? [1, e] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

-6-


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