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【创新设计】2015届高考数学第一轮复习 2-12 导数的综合应用题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版

第 12 讲

导数的综合应用

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.若直线 y=m 与 y=3x-x3 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ( A.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) ).

解析 y′=3(1-x)(1+x),由 y′=0,得 x=± 1.∴y 极大=2,y 极小=-2,∴-2<m<2. 答案 A 2.若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的取值 范围是 A.(-∞,7] C.( -∞,0] B.(-∞,-20] D.[-12,7] ( ).

解析 令 f(x)=x3-3x2-9x+2,则 f′(x)=3x2-6x-9,令 f′(x)=0,得 x=-1 或 3(舍 去).∵f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.∴f(x)的最小值为 f(2)=-20,故 m≤-20,可 知应 选 B. 答案 B 3.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一 个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 A.12 cm
3 3

( B.72 cm
3

).

C.144 cm

D.160 cm3

解析 设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 x∈(0,5).则 y=(10-2x)(16-2x)x= 4x3-52x2+160 x, 20 ∴y′=12x2-104x+160.令 y′=0,得 x=2 或 (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144 (cm3). 答案 C 4.(2013· 浙江卷)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2), 则 ( ).
1

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 解析 当 k=1 时,f′(x)=ex· x-1,f′(1)≠0, ∴x=1 不是函数 f(x)的极值点. 当 k=2 时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2), 显然 f′(1)=0,且 x 在 1 的左边附近 f′(x)<0, x 在 1 的右边附近 f′(x)>0, ∴f(x)在 x=1 处取得极小值. 答案 C 5.在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则关于 x 的不等式 x· f′(x)<0 的解集 为 ( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析 (1)当 x∈(-∞,-1)和 x∈(1,+∞)时,f(x)是增函数,∴f′(x)>0,

由 x· f′(x)<0,得 x<0,∴x<-1. (2)当 x∈(-1,1)时,f(x)是减函数,∴f′(x)<0.由 x· f′(x)<0,得 x>0,∴0<x<1. 故 x· f′(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 答案 A 二、填空题 1 6.已知函数 f(x)= mx2+ln x-2x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值 范围是 2 ________. 解析 1 f′(x)=mx+ -2≥0 对一切 x>0 恒成立, x

1?2 2 1 ?1?2 2 m≥-? ?x? +x,令 g(x)=-?x? +x,则当x=1 时,函数 g(x)取最大值 1,故 m≥1.
2

答案

[1,+∞)

π? 7.若 f(x)=xsin x+cos x,则 f(-3),f? ?2?,f(2)的大小关系为________. 解析 函数 f(x)为偶函数,因此 f(-3)=f(3).又 f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当 π ? ?π ? ?π? x∈? ?2,π?时,f′(x)<0.∴f(x)在区间?2,π?上是减函数,∴f?2?>f(2)>f(3)= f(-3). 答案 π? f(-3)<f(2)<f? ?2?

8.设函数 f(x)=6ln x,g(x)=x2-4x+4,则方程 f(x)-g(x)=0 有________个实根. 2x2-4x-6 2?x+1??x-3? 解析 设 φ(x)=g(x)-f(x)=x2-4x+4-6ln x,则 φ′(x)= = , x x 且 x>0.由 φ′(x)=0,得 x=3.当 0<x<3 时,φ′(x)<0;当 x>3 时,φ′(x)>0.∴φ(x)在(0, +∞)上有极小值 φ(3)=1-6ln 3<0.故 y=φ(x)的图象与 x 轴有两个交点, 则方程 f(x)-g(x) =0 有两个实根. 答案 2 三、解答题 9.某种产品每件成本为 6 元,每件售价为 x 元(6<x<11),年销售为 u 万件,若 21?2 585 已知 -u 与? ?x- 4 ? 成正比,且售价为 10 元时,年销量为 28 万件. 8 (1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 解 21 585 x- ?2, (1)设 -u=k? ? 4? 8

∵售价为 10 元时,年销量为 28 万件, ∴ 21?2 585 -28=k? ?10- 4 ? ,解得 k=2. 8

21?2 585 2 ∴u=-2? ?x- 4 ? + 8 =-2x +21x+18. ∴y=(-2x 2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6<x<11). (2)y′=-6x2+66x -108=-6(x2-11x+18) =-6(x-2)(x-9 ). 令 y′=0,得 x=2(舍去)或 x=9, 显然,当 x∈(6,9)时,y′>0;当 x∈(9,11)时,y′<0. ∴函数 y=-2x3+33x2-108x-108 在(6,9)上是单调递增,在(9,11)上是单调递减. ∴当 x=9 时,y 取最大值,且 ymax=135, ∴售价为 9 元时,年利润最大,最大年利润为 135 万元. 10.(2014· 南京调研)已知函数 f(x)=ex m-x,其中 m 为常数.


3

(1)若对任意 x∈R 有 f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)当 m>1 时,判断 f(x)在[0,2m]上零点的个数,并说明理由. 解 (1)依题意,可知 f(x)在 R 上连续,


且 f′(x)=ex m-1, 令 f′(x)=0,得 x=m. 故当 x∈(-∞,m)时,ex m<1,f′(x)<0,f(x)单调递减;


当 x∈(m,+∞)时,ex

-m

>1,f′(x)>0,f(x)单调递增.

故当 x=m 时,f(m)为极小值也是最小值. 令 f(m)=1-m≥0,得 m≤1, 即对任意 x∈R ,f(x)≥0 恒成立时,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)当 m>1 时,f(m)=1-m<0. ∵f(0)=e m>0,f(0)· f(m)<0,且 f(x)在(0,m)上单调递减.


∴f(x)在(0,m)上有一个零点. 又 f(2m)=em-2m,令 g(m)=em-2m, ∵当 m>1 时,g′(m)=em-2>0, ∴g(m)在(1,+∞)上单调递增. ∴g(m)>g(1)=e-2>0,即 f(2m)>0. ∴f(m)· f(2m)<0,∴f(x)在(m,2m)上有一个零点. 故 f(x)在[0,2m]上有两个零点. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 潍坊模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时,不等 1? ? 1? 式 f(x)+xf′(x)<0 成 立,若 a=30.3f(30.3),b=(logπ3)f(logπ3),c=? ?log39?f?log39?,则 a, b,c 间的大小关系是 A.a>b>c C.c>a>b B.c>b>a D.a>c>b ( ).

解析 设 g(x)=xf(x),则 g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0),∴当 x<0 时,g(x)=xf(x)为减函 数. 又 g (x)为偶函数,∴当 x>0 时,g(x)为增函数. 1 ∵1<30.3<2,0<logπ3<1,log3 =-2, 9 ∴g(-2)>g(30.3)>g(logπ3),即 c>a>b.
4

答案 C
2 2 ? ?-x +6x+e -5e-2,x≤e, 2.已知函数 f(x)=? (其中 e 为自然对数的底数, ?x-2ln x,x>e ?

且 e≈2.718).若 f(6-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 A.(2,3) C.(-3,2) B.(2,e) D.(-2,e)

(

).

2 解析 当 x≤e 时,f′(x)=2(3-x)>0;当 x>e 时,f′(x)=1- >0,∴f(x)在 R 上单调递 x 增.因此 6-a2>a,解之得-3<a<2. 答案 C 二、填空题 3.将边长为 1 m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中 ?梯形的周长?2 一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 解析 如图所示,设 AD=x m(0<x<1),则 DE=AD=x m,

∴梯形的周长为 x+2(1-x)+1=3-x (m),又 S△ADE= ∴梯形的面积为 3 3 - x2(m2), 4 4

3 2 2 x (m ), 4

2 4 3 x -6x+9 ∴S= × (0<x<1), 3 1-x2

-8 3 ?3x-1??x-3? 1? 1 ∴S′= × ,令 S′=0,得 x= 或 3(舍去),当 x∈? ?0,3?时,S′< 3 3 ?1-x2?2 1 ? 1 32 3 0,S 递减;当 x∈? ?3,1?时,S′>0,S 递增.故当 x=3时,S 的最小值是 3 . 答案 32 3 3

三、解答题 4.(2014· 湛江质检)已知函数 f(x)=sin x(x≥0),g(x)=ax(x≥0). (1)若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a 取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤ x3. 6
5



(1)令 h(x)=sin x-ax(x≥0),则 h′(x)=cos x-a.

①若 a≥1,h ′(x)=cos x-a≤0, h(x)=sin x-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0, 则 sin x≤ax(x≥0)成立. π? ②若 0<a<1,存在 x0∈? ?0,2?,使得 cos x0=a, 当 x∈(0,x0),h′(x)=cos x-a>0,h(x)=sin x-ax(x∈(0,x0))单调递增,h(x)>h(0)=0, 不合题意. ③若 a≤0,结合 f(x)与 g(x)的图象可知显然不合题意. 综上可知,a 的取值范围是[1,+∞). (2)当 a 取(1)中的最小值为 1 时, g(x)-f(x)=x-sin x. 1 设 H(x)=x-sin x- x3(x≥0), 6 1 则 H′(x)=1-cos x- x2. 2 1 令 G(x)=1-cos x- x2, 2 则 G′(x)=sin x-x≤0(x≥0), 1 1 所以 G(x)=1-cos x- x2 在[0,+∞)上单调递减,此时 G(x)=1-cos x- x2≤G(0)=0, 2 2 1 即 H′(x)=1-cos x- x2≤0, 2 1 1 所以 H(x)=x-sin x- x3 在 x∈[0,+∞)上单调 递减.所以 H(x)=x-sin x- x3≤H(0) 6 6 =0, 1 则 x-sin x≤ x3(x≥0). 6 1 所以,当 a 取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤ x3. 6

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