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2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-31.2.1


第一章 计数原理 1.2.1 排 列
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探究 在1.1节的例9中我们看到,用分步乘 法计数原理解决这个问题时,因做了 一些重复性工作而显得繁琐,能否对 这一类计数问题给出一种简捷的方 法呢?(1分钟讨论)

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?

上面两个问题有什么共同特征?可以用 怎样的数学模型来刻画

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下 午的活动,有多少种不同的选法?

分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法.
第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6
上午
甲 乙

即共6种方法。
相应的排法
甲乙 甲丙

下午
乙 丙 甲 丙 甲 乙

乙甲 乙丙
丙甲 丙乙
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把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一定 的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出 3个排成一个三位数,共可得到多少个不同 的三位数?
第1步,确定百位上的数字,有4种方法 第2步,确定十位上的数字,有3种方法 第3步,确定个位上的数字,有2种方法 根据分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 种不同 3 4 的排法。如下图所示 1 2
2
3

4
3

1

3

4
3

1 2

2 41 4 1

4 2 2

1
3 1

2
3 1

3

3 4 2 4 2 3

41 41

2

有此可写出所有的三位数: 123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

同样,问题2可以归结为: 从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个, 然后按照一定的顺序排成一列,共有多少 种不同的排列方法?
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

思考?上述两个问题的共同特点是?能否推广到一般?

(1)有顺序的
(2)不论是排列之前,还是之后,所有的元素都不相等,

推广到一般 排列:一般的,从n个不同的元素中取出m (m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列问题实际包含两个过程:
(1)先从n个不同元素中取出m个不同的元素。 (2)再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。

注意:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选2名做正、副组长

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)20位同学互通一次电话 (6)20位同学互通一封信

哪些是全 排列?

(7)以圆上的10个点为端点作弦 (8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 射线

(9)有10个车站,共需要多少种车票?

(10)安排5个学生为班里的5个班干部,每人一个职位?
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2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。
“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“排列”和“排列数”有什么区别和联 系?

m 个元素

“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个 2 元素的排列数,记为 A3 ,

A ? 3? 2 ? 6
2 3

问题2中是求从4个不同元素中取出3个元 素的排列数,记为 A3 ,已经算出
4

A ? 4 ? 3 ? 2 ? 24
3 4

探究:从n个不同元素中取出2个元 m 3 2 素的排列数 An是多少? An ,An ( n ? m) 又各是多少?
第1位 第2位

A
第3位

2 n

? n ( n ? 1)

n 第1位

n-1 第2位

A
n n-1 n-2

3 n

? n (n ? 1)(n ? 2)

第 1位 第 2位 第 3位

第 m位

······
n n-1 n-2 n-(m-1)
n ? ( m ? 1) ? n ? m ? 1

A

m n

? n ( n ? 1) ( n ? 2)?( n ? m ? 1)

排列数公式(1) A ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)
m n

这里,n, m ? N ,并且m ? n.
观察排列数公式有何特征: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它 前面一个因数少1. (2)最后一个因数是n-m+1. (3)共有m个因数.

?

n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个 元素的一个全排列,这时公式中的m=n,即有

A ? n( n ? 1)( n ? 2)?? 3 ? 2 ? 1
n n

就是说,n个不同元素全部取出的排列数, 等于正整数1到n的连乘积,

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,
用n!表示,

所以n个不同元素的全排列数公式可以写成 n n

A ?n !

另外,我们规定 0!=1

排列数公式(2):

A

m n

? n (n ? 1) (n ? 2) ? (n ? m ? 1)

n (n ? 1) ?(n ? m ? 1)(n ? m) ??? 2 ?1 ? (n ? m) ??? 2 ?1 n! ? (n ? m)!
说明:
2、对于

1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

m ? n这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条件。

例2、计算: 6 3 (1)A16 (2)A6 例2、解方程: 例3、求证:
3 2x

( 3)
2 x m ?1 n

A

4 8

A ? 100 A
m n

A

m n ?1

? A ? mA

m 例4.若 An ? 17 ?16 ?15 ??? 5 ? 4 ,则 m ? 14 , n ? 17 .

例5、求 A

n ?3 2n

?A

n ?1 4 的值.

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4 ? 348
3 2 5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 2 3 4 A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?
3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?
3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3 种 C.6种 D.27种

A ? 3 ? 2 ?1 ? 6
3 3

小结
排列问题,是取出m个元素后,还要按一 定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只 要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种 不同的方法(两个不同的排列). 由排列的定义可知,排列与元素的顺序有 关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题.当元素较少时,可以根据排列的意义 写出所有的排列.

例3、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的 一个排列,因此,比赛的总场次是
2 A14 ? 14 ?13 ? 182

例 4(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法?

“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”

A = 5×4×3= 60
5

3

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法?

5×5×5= 125
被选元素可重复选取,不是排列问题!

【例5】用0到9这10个数字可以组成多少个没有 重复数字的三位数?

特殊位置“百位”,特殊元素“0” 百

法1: 法2:

A ?A
9
3 9

1

2

9

? 9 ? 9 ? 8 ? 648
2 9



十 位

个 位

A ?2A

? 648
百位 十位 个位 百位 十位 个位

百位 十位 个位

0
A
3
3 9

0
A
2 9

A
2

2 9

法3:A10 ? A9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648

对于有限制条件的排列问题,必须遵循 “特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排”, 并注意“合理分类,准确分步”,做到“不重 不漏,步骤完整” ,适当考虑“正难则反” 。

有约束条件的排列问题
变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位
1 A3

千位

百位

十位

个位

A A 解法一:(正向思考法 )个位上的数字排列数
3 3

1 2

1 有A2 种(从2、 4中选);万位上的数字 排列数有 1 A3 种(5不能选),十位、百位 、千位上的排列数

有A 种,故符合题意的偶数 有A A A 个。

3 3

1 2

1 3

3 3

有约束条件的排列问题
变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

解法二:(逆向思维法 )由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个,减去其中奇数的个 数A3 A4 个,再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个,符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有:A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? 36个


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