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高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料:关于导数的几何意义的几类考题

关于导数的几何意义的几类考题 导数的几何意义是考查导数知识的主要内容之一,是深刻理解导数概念的重要形式。本文 从求切线方程问题入手,介绍与此相关的几类题型,供参考。b5E2RGbCAP 一、求切线的方程 例 1 已知曲线 y= x3 上一点 P(1, ),求过点 P 的切线的方程。 分析: 点 P 虽然在曲线上,根据题意知,并不能保证点 P 为切点,只有求曲线 y=f(x) 在点 M(x ,y )处的切线时,M 才是切点。p1EanqFDPw 解: 设切点为 N(x ,y ),则切线斜率 k=f’(x )=x ,切线方程为 y- =x (x-1), 由点 N 既在切线上又在已知曲线上,得 y - =x (x -1),y = x ,解得 x =1 或 x =- , 回代得:切线方程为 3x-3y-2=0 或 3x-12y+1=0。DXDiTa9E3d 评析:已知曲线 y=f(x)和点 M(x ,y ),求过点 M 和曲线 y=f(x)相切的切线方程时,要先 判断点 M 是否为切点, 若不知切点, 则需先设切点, 再利用切点既在已经曲线上, 又在切线上, 列方程组求出切点;若知是切点,则只需求出切点处的斜率即可。RTCrpUDGiT 二、求两切线的夹角 例 2.求双曲线 y= 与抛物线 y= 与 y= 交点处两切线的夹角 ,解得两曲线的交点为(1,1),由曲线 y= ,得 y’= 解析:联立两曲线方程 y= - , ∴k1=y| x =-1, 即双曲线 y= = 在交点(1,1)处的切线的斜率为 k1=-1, 由抛物线 y= 在交点(1,1)处切线的斜率为 k2= ,设两线交点 得 y’= ,∴k2=y| ,即抛物线 y= 处切线的夹角为 α ,两直线夹角公式得 tanα =| arctan3.5PCzVD7HxA |=3,所以两切线的夹角为 点评: 求两切线的夹角, 关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率, 根据导数的几何意义, 只需先求出两曲线在交点的导数,再应用两直线的夹角公式求出夹角即可。jLBHrnAILg 1 / 5 三、求参数 例 3 已知直线 x―y―1=0 与抛物线 y=ax2 相切,求参数 a 的值。 解析:由于已知直线是抛物线的切线,故而抛物线的切线斜率是已知的,又由导数的几何 意义知,抛物线在切点处的导数就是切线的斜率,故而可解题。事实上,可设切点为(x0,y0), 则 k=f’(x0)=2ax0,又 k=1,则有 2ax0=1,即 x0= y0=x0-1,即 ax =x0-1,将 x0= ,又切点在切线上、抛物线上,故而 y0=ax , 。xHAQX74J0X 代入,可解得 a= 点评:本题也可以利用直线与抛物线的位置关系联立方程,利用根的判别式求解。 四、求相关三角形的面积 例 4 求曲线 y= 和 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积 及 y=x2,解得 x=1,y=1,即二曲线交点为(1,1),由于 y= 的 解析:联立两曲线方程 y= 导数 y’=- , ∴y =-1, 所以在交点(1,1)处的一条切线方程 y-1=-1(x-1), 即 y=-x+2, ,0), 同理可得 y=x2 在(1,1)处的切线方程为 y=2x-1.二曲线与 x 轴的交点分别为(2,0),( 故所围成的三角形面积为 S= ×1×(2- )= 。LDAYtRyKfE 点评:求与切线相关的几何问题,首先要解决切线问题,即先求出切线的方程,然后再由 其他条件来配合解题。 2 / 5 3 / 5 4 / 5 5 / 5