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2013届高考数学知识点复习测试题5


第6讲

数列的综合问题

★ 知 识 梳理 ★
1.等差数列的补充性质

⑴若 a1

?a n ? 0 ? 0, d ? 0, S n 有最大值,可由不等式组 ? 来确定 n ; ?a n ?1 ? 0 ?a n ? 0 ? 0, d ? 0, Sn 有最小值,可由不等式组 ? 来确定 n . ?a n ?1 ? 0

⑵若 a1

2.若干个数成等差、等比数列的设法 ⑴三个数成等差的设法:x ? d , x, x ? d ; 四个数成等差的设法:x ? 3d , x ? d , x ? d , x ? 3d . ⑵三个数成等比的设法: x

q , x, x ? q ;四个数成等比的设法: x, xq, xq 2 , xq 3 .

3.用函数的观点理解等差、等比数列 ⑴等差数列 当d 当d 当d

?a n ?中, an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d ,

? 0 时, ?a n ?是递增数列, a n 是 n 的一次函数; ? 0 时, ?a n ?是常数列, a n 是 n 的常数函数; ? 0 时, ?a n ?是递减数列, a n 是 n 的一次函数.

⑵等比数列 当 a1 当 a1 当q

?a n ?中, an

? a1q n ?1 ,

? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时, ?a n ?是递增数列; ? 0,0 ? q ? 1 或 a1 ? 0, q ? 1 时, ?a n ?是递减数列;
? 1 时, ?a n ?是一个常数列;当 q ? 0 时, ?a n ?是一个摆动数列.

4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系; ⑵ 将实际应用问题转化为数学问题; ⑶ 将数列与其它知识(如函数、方程、不等式、解几、三角等)联系起来.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:掌握常见数列应用问题的解法;掌握数列与其它知识的综合应用. 2.难点:如何将实际应用问题转化为数学问题,综合运用所学知识解决数列问题.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 数列的综合应用

题型 1 等差、等比数列的综合应用
【例 1】已知等差数列

?a n ?与等比数列 ?bn ?中, b1 ? a2 ? 1, b2 ? a3 , b3 ? a6 ,求 ?bn ?的通项.
?bn ?知: b1 , b2 , b3 成等比,从而找出 a1 , d 的关系.

【解题思路】由等比数列 【解析】设等差数列

?a n ?的公差为 d ,等比数列 ?bn ?的公比为 q ,

? ?bn ?是等比数列,? b1 , b2 , b3 成等比,则
2 a3 ? a2 ? a6 ? (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d )( a1 ? 5d ) ,解得 d ? 0 或 d ? ?2a1 ? ?2 .

当d

? 0 时, q ? 1 , b1 ? 1 , ? bn ? 1 ;

当d

? ?2 时, b1 ? 1 , q ?

a3 a1 ? 2d ? ? 3 , ? bn ? 3n ?1 . a2 a1 ? d

【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例 2】已知 S n 为数列 ⑴设数列 ⑵设数列

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? 4an ? 2 .
? an ?1 ? 2an ,求证: ?bn ?是等比数列;
? an 2n
,求证:

?bn ?中, bn ?cn ?中, cn

?cn ?是等差数列;

⑶求数列

?a n ?的通项公式及前 n 项和.
?bn ?和 ?cn ?中的项与 ?a n ?中的项有关,且 Sn?1 ? 4an ? 2 ,可利用 a n 、 S n 的

【解题思路】由于 关系作为切入点.

【解析】⑴? S n ?1

? 4an ? 2 ,? S n ?2 ? 4an ?1 ? 2 ,两式相减,得

S n?2 ? S n?1 ? 4an ?1 ? 4an ? an?2 ? 4an?1 ? 4an ,? an ?2 ? 2an ?1 ? 2(an ?1 ? 2an )
又? bn

? an ?1 ? 2an ,? bn ?1 ? 2bn ,由 a1 ? 1 , S n ? 4an ? 2 ,得 a2 ? 5

? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 ,? ?bn ?是等比数列, bn ? 3 ? 2 n ?1 .
⑵由⑴知, a n ? 2

? 4an ?1 ? 4an ,且 cn ?

an 2n

? cn ?1 ? cn ?

an ?1 an a n ?1 ? 2an b 3 ? 2 n ?1 3 ? n ? ? nn 1 ? ? . 2 n ?1 2 2 n ?1 2? 2 n ?1 4

? ?cn ?是等差数列, cn ?

3 1 n? . 4 4 an a 3 1 3 1 n ?2 ⑶? cn ? n ,且 cn ? n ? ,? n ? n ? ? a n ? (3n ? 1) ? 2 . n 2 2 4 4 4 4

当n

? 1 时, (3 ? 1) ? 21?2 ? 1 ? a1 ,

? an ? (3n ? 1) ? 2 n ?2 , S n ? (3n ? 4) ? 2 n ?1 ? 2.
【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法;⑵将“ S n

? 4an ? 2 ”化归为

an ?1 ? f (an ) 是解题的关键.

题型 2 数列与函数、方程、不等式的综合应用
【例 3】 (2008 韶关模拟)设函数

f (x ) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 1 ,且对任意的实数

x, y ? R ,有 f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) .
⑴求

f (0) ,判断并证明函数 f (x ) 的单调性;

⑵数列

?a n ?满足 a1 ?

f (0) ,且 f (a n ?1 ) ?

1 (n ? N * ) f (?2 ? a n )

①求

?a n ?通项公式;
? 1 时,不等式
1 a n ?1 ? 1 an? 2 ? ... ? 1 12 ? (log a ?1 x ? log a x ? 1) 对不小于 2 的正整 a 2 n 35

②当 a

数恒成立,求 x 的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式,再由等差数列的定义入手;恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴

f (0) ? 1 , f (x ) 在 R 上减函数(解法略)

⑵ ① a1

? f (0) ? 1, f (a n ?1 ) ?

1 ? f (2 ? a n ) f (?2 ? a n )



f (x ) 单调性

an?1 ? an ? 2 ? an?1 ? an ? 2 ,故 ?a n ?等差数列 ? an ? 2n ? 1 ② bn ?
1 a 2 n ?1

1 a n ?1
1

?

1 an?2
1

? ... ?

1 1 1 1 , 则bn ?1 ? ? ? ... ? a2n a n ? 2 a n ?3 a2n? 2

bn ?1 ? bn ?

?

a2n?2

?

a n ?1

?

1 1 1 ? ? 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1

?

1 ? 0,{bn } 是递增数列 (4n ? 1)( 4n ? 3)( 2n ? 1)
1 1 1 1 12 ? ? ? ? a3 a 4 5 7 35
即 log a ?1

当n

? 2 时, (bn ) min ? b2 ?

?

12 12 ? (log a ?1 x ? log a x ? 1) , 35 35

x ? log a x ? 1 ? 1 ? log a ?1 x ? log a x

而a

? 1 ,∴ x ? 1 ,故 x 的取值范围是 ?1,???

【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题,要注意将其分解为数学分支中的问题来解决.

题型 3 数列的应用问题
【例 4】在一直线上共插有 13 面小旗,相邻两面之距离为 10 m ,在第一面小旗处有某人把小旗全部集 中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路 程是多少? 【解题思路】 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从 第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 【解析】设将旗集中到第 x 面小旗处,则从第一面旗到第 x 面旗处,共走路程为 10( x 二面处再到第

? 1) ,然后回到第

x 面处是 20( x ? 2), ? , 从第 x 面处到第 ( x ? 1) 面处路程为

20 ,从第

x 面处到第

( x ? 2) 面取旗再到第 x 面处,路程为 20 ? 2 ?,总的路程: S ? 10( x ? 1) ? 20( x ? 2) ? 20( x ? 3) ? ? ? 20 ? 2 ? 20 ? 1 ? 20 ? 20 ? 2 ? ? ? 20 ? (13 ? x)

? 10( x ? 1) ? 20 ?

( x ? 1)( x ? 2) (13 ? x )(14 ? x ) ? 20 ? 2 2

? 10?( x ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1) ? (13 ? x )(14 ? x )?
? 10(2 x 2 ? 29 x ? 183) ? 20( x ? 29 2 315 . ) ? 4 4

由于 x ? N ? ,当 x

? 7 时, S 有最小值 S ? 780 (m) .

答: 将旗集中以第 7 面小旗处,所走路程最短. 【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前 n 项和的公式,求和后,利用二次函数求最 短距离时,要特别注意自变量 n 的取值范围. 【例 5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,? 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数 a n 与 S n 的关系式是关键,应分清它是等差,还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为 a1 , a 2 , ? , a n ,则 an 易得 a1

?

1 Sn ? 1 , 2

? 2, an ? an ?1 ?

1 an ,即 an ? 2an?1 2

因此,每层砖块数构成首项为 2,公比为 2 的等比数列,则 答:共用 2046 块.

S10 ?

2(1 ? 210 ) ? 2046 (块) 1? 2

【名师指引】建立 a n 与 S n 的关系式后,转化为求数列通项的问题. 【例 6】2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2003 年开始,计划每年将非绿化面积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1

?

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 an ?1 ,试用 a n 表示 10

an ?1 ;
⑵求数列

?a n ?的第 n ? 1 项 an?1 ;
? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771 )

⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: lg 2

【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为 b1 ,经过 n 年后非绿化面积为 bn ?1 . 于是 a1 化部分

? b1 ? 1, an ? bn ? 1 .依题意, an ?1 是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积 a n 减去被非绿

2 98 8 an 后剩余的面积 an ,另一部分是新绿化的面积 bn , 100 100 100 98 8 98 8 9 2 于是 an ?1 ? an ? bn ? an ? (1 ? an ) ? an ? 10 25 100 100 100 100 9 2 4 9 4 ⑵ an ?1 ? an ? , an ?1 ? ? (an ? ) . 10 25 5 10 5
数列 ?a n

? ?

4? 9 ? ? 是公比为 5? 10

,首项 a1

?

4 4 4 2 ? ? ? ? 的等比数列. 5 10 5 5

∴ a n ?1

?

4 2 9 ? ( ? )( ) n . 5 5 10

⑶ a n ?1

4 2 9 3 9 1 ? 60%, ? ( ? )( ) n ? , ( ) n ? , 5 5 10 5 10 2

n(lg 9 ? 1) ? ? lg 2, n ?

lg 2 ? 6.5720 . 1 ? 2 lg 3

答:至少需要 7 年的努力,才能使绿化率超过 60%. 【名师指引】解答数列应用性问题,关键是如何建立数学模型,将它转化为数学问题. 【新题导练】 1.四个实数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数成等差数列,其和为 12,求原来的四个数. 【解析】设后三个数分别为 x ? d , x, x ? d ,则 ( x ? d ) ?

x ? ( x ? d ) ? 12 ? x ? 4

(4 ? d ) 2 (4 ? d ) 2 ? (4 ? d ) ? 4 ? 19 , ,? ?前三个数成等比数列,?第一个数为 4 4 (4 ? d ) 2 (4 ? d ) 2 ? 25 ;当 d ? ?2 时, ?9. 解得 d1 ? 14, d 2 ? ?2 ,当 d ? 14 时, 4 4 ?原来的四个数分别为 25,?10,4,18 或 9,6,4,2 .
2.已知 S n 为数列 ⑴若数列 ⑵求数列 ⑶数列

?a n ?的前 n 项和,点 ?a n , S n ? 在直线 y ? 2 x ? 3n 上.

?a n ? c?成等比,求常数的值;

?a n ?的通项公式;

?a n ?中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;
? 2a n ? 3n , S n?1 ? 2an ?1 ? 3(n ? 1) ,得 a n ?1 ? 2a n ? 3 ,

若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由题意知 S n

?

a n ?1 ? 3 ? 2 ,? c ? 3 ; an ? 3
⑵? a1

? S1 ? 2a1 ? 3 ,? a1 ? 3 ,由⑴知: an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1 ? an ? 3 ? 2 n ? 3

an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1 ? an ? 3 ? 2 n ? 3 ;
⑶设存在 s, 即

p, r ? N ? ( s ? p ? r ) ,使 a s , a p , a r 成等差数列,? 2a p ? a s ? a r
(※) ,

2(3 ? 2 p ? 3) ? (3 ? 2 s ? 3) ? (3 ? 2 r ? 3) ,? 2 p?1 ? 2 s ? 2 r , 2 p?s?1 ? 1 ? 2 r ?s

因为 s,

p, r ? N ? ( s ? p ? r ) ,? 2 p?s?1 ,2 r ?s 为偶数, 1 ? 2r?s 为奇数,这与(※)式产生矛盾.

所以这样的三项不存在.

2Sn 2 ( n ? 2) 3.(2009 金山中学)数列 ? an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 S n 与 an 之间满足 an ? 2Sn ? 1
(1)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列 ? Sn ?

(2)求数列

?an ? 的通项公式
2n ? 1 对于一切 n ? N ? 都成立,求 k 的

(3)设存在正数 k ,使 最大值。

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ? ? k
? Sn ? Sn ?1

【解析】 (1) 因为 n ? 2 时,an

2Sn 2 ? S n ? S n ?1 ? 得 Sn ?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn ?1 2Sn ? 1

由题意

Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1

又 S1

?1? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?
1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? Sn ? ?n ? N? ? Sn 2n ? 1

(2)由(1)有

?n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 . ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1

? S1 ? 1

( n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) ( n ? 2) ?

(3)设 F ( n)

?

?1 ? S1 ??1 ? S2 ?? ?1 ? Sn ?
2n ? 1

F (n ? 1) (1 ? S n ?1 ) 2n ? 1 2n ? 2 4 n 2 ? 8n ? 4 ? ? ? ?1 则 F ( n) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3
? F (n) 在 n ? N ? 上递增
故使 F (n) ? k 恒成立只需 k

? F (n) min

又 F (n) min

? F (1) ?

2 3 3

又k

?0

? 0?k ?

2 3 2 3 ,所以, k 的最大值是 . 3 3

4.夏季高山上的温度从脚起,每升高 100 m ,降低 0.7 ℃,已知山顶处的温度是 14 .8 ℃,山脚处的温度 为 26 ℃,问此山相对于山脚处的高度是多少米. 【解析】?每升高 100 m 米温度降低 0.7 ℃,∴该处温度的变化是一个等差数列问题. 山底温度为首项 a1 解之可得 n

? 26 ,山顶温度为末项 an ? 14.8 ,所以 26 ? (n ? 1)( ?0.7) ? 14.8 ,

? 17 ,此山的高度为 (17 ? 1) ? 100 ? 1600 (m) .

5.由原点 O 向三次曲线

y ? x 3 ? 3ax2 ? bx(a ? 0) 引切线,切于不同于点 O 的点 P1 ( x1 , y1 ) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2 ( x2 , y 2 ) ,如此继续地作下去,??,得到 点列 ?Pn ( xn , y n )?,试回答下列问题: ⑴求 x1 ; (2)求 x n 与 xn ?1 的关系式;

(3)若 a

? 0 ,求证:当 n 为正偶数时, xn ? a ;当 n 为正奇数时, xn ? a .
y ? x 3 ? 3ax2 ? bx(a ? 0)
① 得 y′=3x -6ax+b.
2

【解析】⑴由

过曲线①上点 P ( x1 , 1

y1 ) 的切线 l1 的方程是:

y ? ( x13 ? 3ax12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6ax1 ? b)( x ? x1 ), ( x1 ? 0). 由它过原点,有 ? x13 ? 3ax12 ? bx1 ? ? x1 (3x12 ? 6ax1 ? b), ? 2 x13 ? 3ax12 ( x1 ? 0),? x1 ?
⑵ 过曲线①上点 Pn ?1 ( x n ?1 ,

3a . 2

y n ? ) 的切线 ln+ 的方程是:
1

3 2 2 y ? ( xn ?1 ? 3axn ?1 ? bxn ?1 ) ? (3xn ?1 ? 6axn ?1 ? b)( x ? xn ?1 ). ,由 ln ?1 过曲线①上点 Pn ( x n , y n ) , 有

3 xn ? 3x n ? a 2 b x

n

? (n3 ?x3 x a ?1

2 n

b? x1 ?

n

?1

)x ( n 2 a1 6 nb x1 )x n ? ? 3 ? x ? ( ? ?

n

) ?1 ,

∵ xn

? xn ?1 ? 0 ,以 xn ? xn ?1 除上式,得

2 2 2 xn ? xn xn ?1 ? xn ?1 ? 3a( xn ? xn ?1 ) ? b ? 3xn ?1 ? 6axn ?1 ? b, 2 2 xn ? xn xn ?1 ? 2 xn ?1 ? 3a( xn ? xn ?1 ) ? 0, 以 xn ? xn ?1 除之,得 xn ? 2 xn?1 ? 3a ? 0.

(3)方法 1 由(2)得 xn ?1

1 3 1 ? ? xn ? a,? xn?1 ? a ? ? ( xn ? a). 2 2 2

a 1 故数列{x n-a}是以 x 1-a= 为首项,公比为- 的等比数列, 2 2

? xn ? a ?

a 1 n?1 1 (? ) ,? xn ? [1 ? (? )n ]a. 2 2 2 1 n 1 n ∵ a ? 0 ,∴当 n 为正偶数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a; 2 2 1 n 1 n 当 n 为正奇数时, xn ? [1 ? (? ) ]a ? [1 ? ( ) ]a ? a. 2 2 1 3 1 3 1 1 3 3 方法 2 ? xn ?1 ? ? xn ? a,? xn ? ? xn ?1 ? a ? ? (? xn ? 2 ? a) ? a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 n ?1 3 1 1 2 1 n ?2 = (? ) xn ? 2 ? a(1 ? ) ? (? ) x1 ? a[1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( ? ) n ?1 1 n ?1 3 3 1 ? ? 2 ? (? ) ? a ? a ? ? ?1 ? ( ? ) n ?a. 以下同解法 1. 1 2 2 2 2 ? ? 1? 2

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练
1.首项为 a 的数列 A. a
n ?1

?a n ?既是等差数列,又是等比数列,则这个的前 n 项和 S n 为(
B.



an

C. ( n

? 1)a

D. na

【解析】D.由题意,得数列 2.等差数列 A. a n

?a n ?是非零常数列,? S n ? na.

?a n ?及等比数列 ?bn ?中, a1 ? b1 ? 0, a2 ? b2 ? 0, 则当 n ? 3 时有
B.

? bn

a n ? bn

C.

a n ? bn

D.

a n ? bn

【解析】 D.特殊法,

?a n ?及 ?bn ?为非零常数列时,a n

? bn ;取 an : 1,2,3 ,bn : 1,2,4 时,a n ? bn .
a c ? ? m n
.

3. 已知 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项,则 【解析】2. 特殊法,取 a 4.⑴ S n 为等差数列

? 1, b ? 2, c ? 4 ,

a c ? ? 2. m n

?a n ?的前 n 项和, a1 ? 0 , S3 ? S11 ,问数列的前几项和最大? ?a n ?中, a3 ? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n .
? An 2 ? Bn( A ? 0) ,由 S 3 ? S11 ,得 9 A ? 3B ? 121 A ? 11B ,

⑵公差不为零的等差数列

【解析】⑴方法 1:设 S n 即

B ? ?14 A ,? S n ? An 2 ? Bn ? An 2 ? 14 An ? A(n ? 7) 2 49 A ,

?当 n ? 7 时, S n 有最大值为 S 7 .
方法 2:由 S 3

? S11 ,得 a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a11 ? 0 ,? ?a n ?是等差数列,

? 4(a7 ? a8 ) ? 0 ? a7 ? a8 ? 0 .由 a1 ? 0 , ?a n ?是等差数列,? a7 ? ?a8 ? 0, a8 ? 0 ,

?当 n ? 7 时, S n 有最大值为 S 7 .
⑵设 an

? An ? B ,? a 3 ? 15 , a2 , a5 , a14 成等比数列,

?3 A ? B ? 15 ?A ? 6 ?? ,? a n ? 6n ? 3. ?? 2 ?(5 A ? B ) ? ( 2 A ? B )(14 A ? B ) ? B ? ?3

? S n ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 3n ? 3n 2 .
5.已知 a

? 0, a ? 1 ,数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ?

a lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n (n ? N ? ) ,若数列 2 (1 ? a )

?

?

?bn ?的每一项总小于它后面的项,求 a 的取值范围.
【解析】当 n

? 1 时, b1 ? a lg a. 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1

?

a lg a a lg a ?a ? n(1 ? a )?a n?1 ? nan lg a ,? bn ? nan lg a 1 ? (1 ? n ? na)a n ? 2 (1 ? a ) (1 ? a ) 2
? bn ? 0 ,即 bn lg a ? ?(n ? 1) ? n? ? 0.

?

?

由题意,得 bn ?1 ⑴当 a

n 1 ,? a ? 1 ; ?1? n ?1 n ?1 n 1 n ⑵当 0 ? a ? 1 时, a lg a ? 0 ,? a ? ,? 0 ? a ? 1 ? 1? n ?1 n ?1

? 1 时, a n lg a ? 0 ,? a ?

综上, a 的取值范围 ? 0,

? ?

1? ? ? ?1,?? ?. 2?

6.等差数列 ⑴若 a1 ⑵若 a1

?a n ?中, an ? 0 ,其公差 d ? 0 ;数列 ?bn ?是等比数列, bn ? 0 ,其公比 q ? 1.

? b1 , a2 n?1 ? b2 n?1 ,试比较 an ?1 与 bn ?1 的大小,说明理由;

? b1 , a2 ? b2 ,试比较 an?1 与 bn ?1 的大小,说明理由.

【解析】方法 1: a n , bn 的图象大致如下图所示:

y

an

y

an

O

1

n+1 2n+1 x
图⑴

O

1

图⑵

2

x

⑴ 由图⑴可知, an ?1

? bn ?1 ;

⑵ 由图⑵可知, an ?1

? bn?1 .

方法 2: (用作差比较法,略).

综合拔高训练
7.某养渔场,据统计测量,第一年鱼的重量增长率为 200﹪,以后每年的增长率为前一年的一半.

⑴饲养 5 年后,鱼重量预计是原来的多少倍? ⑵如因死亡等原因,每年约损失预计重量的 10﹪,那么,经过几年后,鱼的总质量开始下降? 【解析】⑴设鱼原来的产量为 a , q

? 200﹪ ? 2

q q a1 ? a (1 ? q), a2 ? a1 (1 ? ) ? a(1 ? q)(1 ? ) , 2 2 1 1 1 405 ? 12.7a ? a5 ? a(1 ? 2)(1 ? 1)(1 ? )(1 ? 2 )(1 ? 3 ) ? 2 2 2 32 q 9 ⑵由⑴可知,a n ? a n ?1 (1 ? n ?1 ) , 而鱼每年都损失预计产量的 10﹪, 即实际产量只有原来的 . 2 10 q 9 ? an ? an?1 (1 ? n?1 ) ? 2 10
设底年鱼的总量开始减少,则
q 9 ?a 1 1 1 ?a n ? a n ?1 ? n ? 1 (1 ? 2 n ? 1 ) ? 10 ? a n ? 1 ? ? n ? ,即 ? ? q 9 36 2 18 ?a n ? a n ?1 ?a n ? a n (1 ? 2 n ) ? 10 ?

? 18 ? 2n ? 32 ,解得, n ? 5 ?经过 5 年后,鱼的总量开始减少.
8.数列

?a n ?的前 n 项和为 Sn (n ? N ? ) ,点 (an , S n ) 在直线 y ? 2 x ? 3n .
? c} 成等比数列,求常数 C 的值;

⑴若数列 {a n

⑵求数列 {a n } 的通项公式; ⑶数列 {a n } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项; 若不存在,请说明理由. 【解析】⑴由题意知 S n

? 2an ? 3n, S n ?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) ,

得 an ?1

? 2an ? 3 ,∴

a n ?1 ? 3 ?2 an ? 3

?c ? 3

⑵? a1

? S1 ? 2a1 ? 3 ,? a1 ? 3 ,由⑴知: an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 2 n ?1

? an ? 3 ? 2 n ? 3(n ? N ? )
⑶设存在 S,P,r ? N
*

, 且S ? P ? r使as , a p , ar 成等差数列 ,

? 2a p ? a s ? a r



2(3 ? 2 p ? 3) ? (3 ? 2 s ? 3) ? (3 ? 2 r ? 3) ? 2 p ? s ?1 ? 1 ? 2 r ? s
(*)

? 2 p ?1 ? 2 s ? 2 r

因为 s、p、r ? N 1+2
r ?s

*

且s ? p ? r

? 2 p ?2?1、r ? s 为偶数 2

为奇数 , (*)式产生矛盾.所以这样的三项不存在.

9.(2001 ? 全国)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根

1 ,本年度当地旅游业收入估计 400 万元, 5 1 由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ⑴设 n 年内(本年度为第一年)总收入为 a n 万元,旅游业总收入为 bn 万元,写出表达式 ⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 【解析】 3.⑴第一年投入为 800 万元, 第二年投入为 800 (1 ? 万元.所以,年内的总投入为:

1 1 第 ) 万元, n 年的投入为 800 (1 ? ) n ?1 5 5

1 1 4 an ? 800 ? 800 (1 ? ) ? ? ? 800 (1 ? ) n ?1 ? 4000 ? 4000 ( ) n ; 5 5 5 1 第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为 400 (1 ? ) 万元, 4 1 n?1 第 n 年旅游业收入为 400 (1 ? ) 万元.所以, n 年内的旅游业总收入为 4 1 1 5 bn ? 400 ? 400 (1 ? ) ? ? ? 400 (1 ? ) n ?1 ? 1600 ( ) n ? 1600 . 4 4 4
⑵设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn 即 1600 (

? an ? 0 ,

4 5 n ) ?1600 ? 4000 ? 4000 ( ) n ? 0 4 5 5 n 4 n 4 n 2 化简得 2( ) ? 5( ) ? 7 ? 0 ,设 ( ) ? x ,代入上式得, 5x ? 7 x ? 2 ? 0 4 5 5 2 4 n 2 解此不等式,得 x ? ,或 x ? 1 (舍去)即 ( ) ? ,由此得 n ? 5. 5 5 5
答:至少经过 5 年旅游业的总收入能超过总投入.

10.(2009 执信中学)设函数

f ?x ? ?

x2 ? a ?b, c ? N ? ? .若方程 f ?x ? ? x 的根为 0 和 2 , bx ? c



f ?? 2? ? ?

1 . 2

(1)求函数

f ? x ? 的解析式;

(2)已知各项均不为零的数列

?a n ? 满足:

4Sn f (

1 ) ? 1 ( S n 为该数列前 n 项和),求该数列的通项 an

an .
【解析】

c ? 2?0 ? ? a?0 ? x ?a 1 ? b ,? ? ⑴设 ? x, 得?1 ? b ?x 2 ? cx ? a ? 0,? ? ?b ? 1 ? c a bx ? c ? ?2 ? 0 ? 2 ? 1? b ?
2

f ( x) ?

x2 ?2 1 , f ( ?2) ? ? ? ? c ? 3, c (1 ? 2 ) x ? c 1? c 2



b, c ? N ? ,? c ? 2, b ? c ,? f ?x ? ?
⑵由已知得 2S n
2

x2 ?x ? 1? 2? x ? 1?
2

? an ? an ,? 2S n?1 ? a n?1 ? an?1 ,

两式相减得 当n

?a n ?an?1 ??an ? an?1 ? 1? ? 0 , ? an ? ?an?1 或 an ? an?1 ? ?1 .

2 ? 1 , 2a1 ? a1 ? a1 ? a1 ? ?1 ,若 a n ? ?an ?1 ,则 a2 ? 1 ,这与 an ? 1 矛盾.

? a n ? a n?1 ? ?1,? a n ? ?n .
⑶由 a n ?1

? f ?a n ? ? a n ?1

2 ? 1 1? an 1 1 1 ? ? ? ?2? ? ? ? ? ?a ? 2a n ? 2 a n ?1 2 2 ? n 2?

2

,

? an?1 ? 0 或 a n ?1 ? 2 .
若 a n ?1

? 0 ,则 a n ?1 ? 3 ;若 a n ?1 ? 2 ,则 an ?1 ? an ?

? a n ?a n ? 2 ? ?0 2?a n ? 1?

? ?a n ?在 n ? 2 时单调递减. ? a2 ?
a1 42 8 8 ? ? ,? an ? a2 ? ? 3 在 n ? 2 时成立. 2a1 ? 2 2 ? 4 ? 2 3 3
2


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