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均值不等式应用致错例谈


难 点剖析 

均 值 不 等 式 应 用 致 错 例 谈 
■李 殿请 
不 等 式 是 历 年 高 考 中 必 不 可 少 的 内 容 , 均 值  而 不等式也是不等式 中的重要 内容之一 。均值 不等式  常常用来求 函数 的最值 。在 应用 均值不 等式 时 , 需  注 意 同 时 满 足 以下 三 个 条 件 : 1各 项 均 为 正 数 ;2  () () 和或积为定值 ;3 具 有等 号成立 的条件 。( 正二  () 一
定 三 等 ) 视 以 上 条 件 必 然 导 致 解 题 的 错 误 。现 举   忽 例加 以 说 明 , 参 考 。 供   忽 视 了均 值 不 等 式 成 立 的前 提 条 件 。 致 解   导 题 错 误 


[ 解]为 了利用 均值 不等 式 , 要 出现定值 , 就 所 

以 进行 的 凑, ”j  兰一 吾+ 要先 适当 “ 配 :, + 号+   一

≥ 专 专 7 3, 3 ? ?—   √ 8 
当 当吾一 即   2   :  。 且仅 兰, 当 一 时, 3  
三 、 视 了等 号 成 立 的条 件 , 致 解 题 错 误  忽 导 例 3 求 函数  一   
V . t  I  



例 1 求 函数  一 O " 的最 值 。   1  

的最小值 。  

[ 错解] 当 x =0时 ,  —O  ;

当z 时,一 — ≤—  ≠o Y — 
z_  _ _


一 当 号, 

[解 一,j   错 ]Y寿 一 、广   
 ̄ /  +4  杀 +
[ 析] 分  
、 l ,T  十 4 

+芏  、十  — ,  
≥2中的等号要 成 


±2时 等 号 成 立 。  



≥2 . ≥2 ,. 。 ‘    



Y 一÷ , … Y没有最小 值。  
≠0时, 可 能大 于零 , 可能小 于    也

故 此 函数 的最 小 值 为 2  。

[ 析] 分  

。 +  +4

 ̄  一 — 4 / 上   矗

零, 则  , 可 能 同 正 , 可 能 同 负 , 此 解 法 只 考    也 而

立, 必须 满 足 v  + 一  1 /  
V 』 

即 

+ 一 即   ,

虑 了 大 于零的情 况 ,   即忽视 了均值 不等式成 立的  前提条件一 各项均为正数 , 而导致解题错误 。 从   [ ] 解   一0时 ,  一0  ,

T ±    

一 一 3 没 有 实 数 解 , 不 能 取 得 最 小 值 2  , 故 。

时。   2一 ll ’ 一 - 两      l l     ≤  
—  

[ 一一 一   解 ]篇 厢 法 
一  

+  4 3, 志 + +  v   4 /     0
v  +4+ — /。   ≥ 4( j— o时 等 号 成 
√  一一 一4 十  

l +   

兰  

一 , 且仅当Jj   当 - 一寺 ,  一±2 , . 即  
川 

。 .  

立 ),  

时等号成立。  
.  

3  
  … 一

3  

4,… 一百 。     二 、 视 了 均 值 不 等 式 定 值 的 选 取 。 成 解 题  忽 造
错 误  用 均值 不 等 式 求 函 数 的 最 值 时 要 注 意 构 造 出定 



义一  


≥ 专   时 号 立 , 一  ‘ 一0 等 成 ’ 
。  



. 

≥4 昔 一昔  (  一0 时等号成立),  
5  

ymn一   i

值 关系, 首先应分清楚 是求 和式 的最值 还是求 积式  的最 值 , 后 构 造  相 应 积 ( ) 定 值 。若 未 构 造  然 和 的 出 定值 来 , 容 易 造 成 解 题 的错 误 。 同 时还 应 记 住 . 则   若 和为定值 , 则积有 最大值 , 积为 定值 , 和有最  若 则
小值 。  

[ 二    + 解 ] 一而 志 一 法设  击 
(> 1 。 “ )  

由均 值 不 等式 及 函 数 的 单 调 性 得 :  
≥  一  一  当 

例 2 求函数 — +号 ( o的最小值。     )  

[ ]     ? — 导  错 ‘+ ≥ ≯ 2 , 解. ‘ 8√
当且 仅 当  一  , 当  一2时 上 式 巾 的 等 号 成  即
立,  
?

j   一 —  _ 二

=且 、 :   

≥ 2时 等 号 成 立 ,   由

 ̄  ‘十 4 /  

于 当  一 0 “一 4时 上 面 不 等 式 放 缩 后 的 等 号 都  , 成立 。  
? . . 

≥ 2 一   

一  。  5

一  5
。 



. 

+ ≥ /_ 4     _— , 8 I  
当  一 2时 , 一4   … 。

。 . .

E Y ?  不 定 , 以 能 接    ̄ i 芎一 是 值 所 不 直 应 ]

南此 可 见 , 应 用 均 值 不 等 式 时  个 条 件 “ 正  在 一 二 定  ” 等 缺 一 不 可 。 相   ( 者 单 位 : 南 省 鄢 陵 县教 研 室 ) 作 河  


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