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2013年高考数学试题分类汇编-解析几何


2013 年高考数学试题分类汇编——解析几何
班级______________ 姓名________________ 座号_______

x2 y 2 ? ?1 5 A. 4

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 5 C. 2

x2 y 2 ? ?1 5 D. 2

一、选择题 1 .(新课标Ⅱ卷数学(理)))已知点

x2 y 2 5 8 .(新课标 1(理))已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线 a b 2
方程为 A. y ? ?
9

A(?1, 0), B (1, 0), C (0,1) , 直 线 y ? ax ? b( a ? 0) 将






△ ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( A. (0,1) B. (1 ?

1 1 2 1 2 1 ( C) (1 ? D. [ , ) , ] , ) 2 3 3 2 2 2 2 2 ( x ? 1) ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则直 2 .(山东数学(理)试题) 过点 (3,1) 作圆 线 AB 的方程为( ) A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0
3 . ( 辽 宁 数 学 ( 理 ) ) 已 知 点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

. ( 湖 北 卷 ( 理 ) ) 已 知 0?? ?

?
4

, 则 双 曲 线 C1 :

x2 y2 ? 2 ?1 与 cos2 ? sin ?
( )

C2 :

y x ? 2 ? 1的 2 sin ? sin ? tan 2 ?
B.虚轴长相等
2

2

2

?

3

? .若? ABC 为直角三角形, 则必有

A.实轴长相等

C.焦距相等
2 2

D.离心率相等




3

10 .(四川卷(理))抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?

y ? 1 的渐近线的距离是 3
D. 3





A. b ? a

B. b ? a ?
3

1 a
3

A.

1 ?0 a 4 .(湖南卷(理))在等腰三角形 ABC 中, AB=AC ? 4, P 是边 AB 上 点 异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发,经 BC , CA 发射后又回到原点 P (如图 1).若光线 QR 经过 ?ABC 的中心,则 AP 的长等于( ) 8 4 A. 2 B. 1 C. D. 3 3
C. b ? a
3 3

?

??b ? a ? ?

1? ? ??0 a?

1 2

B.

3 2

C. 1

D. b ? a ? b ? a ?
3

11 .(浙江数学(理))如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C 2 的公共焦点, 4 y
A F1 O B ( 第 11 题 F2 x

A, B 分别是 C1 , C 2 在第二、四象限的公共点. 若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C 2 的离心率是( )
A. 2 B. 3

5 .(2013 年高考江西卷(理))过点 ( 2,0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 相交于 A,B 两点,O 为坐
2

3 C. 2

6 D. 2

标原点,当 ? AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A.



3 3 C. ? D. ? 3 3 3 x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于 6 .(福建数学(理))双曲线 4 2 5 4 5 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 5
B. ?
7 .(广东省数学(理))已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为

3 3

x2 y 2 12 . ( 天 津 数 学 ( 理 ) ) 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 图)两 条 渐 近 线 与 抛 物 线 的 a b y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的
面积为 3 , 则 p =( ) B.
3 2





A.1

C.2

D.3

13 .(大纲版数学(理)) 椭圆 C :

F ? 3, 0 ?

3 ,离心率等于 2 ,在双曲
程 ( 是

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 上且直线 4 3 PA2 的斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( )
?1 3? ? ?
B. ? , ? 8 4

线 )

C





?1 ? ?3 ? 1 D. ? , ?2 ? ?4 ? ? 2 14.(大纲版数学(理)) 已知抛物线 C : y ? 8 x 与点 M ? ?2, 2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线
A. ? , ? 2 4

?3 3? ? ?

1? C. ? ,

2013 高考汇编—解析几何(1)

与 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? ( A.

???? ????
2 2

) D. 2

22.(江西卷(理)) 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线
2

1 2

B.

C. 2

A, B 两点,若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________
23.(湖南卷(理))设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 相交于 3 3

x2 y2 15 . ( 北 京 卷 ( 理 ) ) 若 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 离 心 率 为 a b


3 ,则其渐近线方程为


x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为____________.

2 x 2 1 2 x2 y? x ? y2 ? 1 C1 ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 2p 16.(山东数学(理)) 已知抛物线 : 的右 C2 C C 焦点的连线交 1 于第一象限的点 M .若 1 在点 M 处的切线平行于 的一条渐近线, 则 p ?( )
A.y=±2x B.y= ? 2x C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

24.(上海卷(理))设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ?

?

? 的两个焦点之间的距离为________ 2 25.(安徽数学(理)) 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使 得 ?ABC 为直角,则 a 的取值范围为_____________. 2 26.(江苏卷(数学)) 抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三 角形内部与边界).若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.
27.(江苏卷(数学))在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

4

,若 AB=4, BC ?

2 ,则

3 A. 16

3 B. 8

2 3 C. 3

4 3 D. 3

17.(新课标 1(理))已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线交 a 2 b2 椭圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为( ) x2 y 2 ? ?1 A. 45 36

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2 右焦点为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离
为 d 2 ,若 d 2 ?

6d1 ,则椭圆 C 的离心率为________________.

28.(福建数学(理))椭圆 ? :

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 36 27 27 18 18 9 2 18.(新课标Ⅱ卷数学(理))设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,
若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为( A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x
19.(上海市) 已知

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直 a 2 b2 线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于
___________________



29.(陕西卷(理))双曲线

B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于_________________. 16 m 4

A、 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若 B ???? 2 ? ???? ??? ? MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是( )
B.椭圆
2

A.圆

C.抛物线
2

D.双曲线
2 2

20.(重庆数学(理)) 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N

分别是圆 C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4
二、填空题



B. 17 ? 1

C. 6 ? 2 2

D. 17

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交 a 2 b2 4 于 A, B 两点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? ,则 C 的离心率 e= ______. 5 1 31.(江苏卷(数学))在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) , P 是函数 y ? ( x ? 0 )图象 x 上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为________________. 2 32.(浙江数学(理))设 F 为抛物线 C : y ? 4 x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两 点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于_________________.
30.(辽宁数学(理))已知椭圆 C : 三、解答题 33.(上海市春季高考数学)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 21.(江苏卷(数学))双曲线 16 9

, 0) B 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 0) 、 F2 (1, ,短轴的两个端点分别为 B1、 2
(1)若 ?F1 B1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程;
2013 高考汇编—解析几何(2)

(2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F1 P ? F1Q ,求直 Q 线 l 的方程.

????

????

34.(四川卷(理)) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) , a 2 b2

36.(福建数学(理))如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐

4 1 且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且
2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

标为 (0,10) .分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结

OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) .
(1)求证:点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; i (2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 4 :1 , 求直线的方程.

35.(山东数学(理))椭圆 C : x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F , F ,离心率为 1 2 2 2

2

2

b 过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直 1 1 ? 线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 ,试证明 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

a

3 , 2

37.(湖南卷(理))过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条不同的直
2

线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ;
2

???? ???? ?

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

2013 高考汇编—解析几何(3)

38.(浙江数学(理))如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴 a 2 b2 2 2 是圆 C2 : x ? y ? 4 的直径. l1 , l 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C 2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
y l1 D O P A l2 ( 第 38 题 图) B x

40.(安徽数学(理))设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2 (Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与 点 Q ,并且 F1 P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上.

41.(新课标 1(理))已知圆 M : ( x ? 1) 39.(重庆数学(理)) 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并

2 ,过左焦 2

点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 . (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的 其余点均在圆 Q 外.若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求 |AB|.

2013 高考汇编—解析几何(4)

42.(天津数学(理))设椭圆

x2 y 2 3 , 过点 F 且与 x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 ???? ??? ???? ??? ? ? AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

44 . ( 广 东 省 数 学 ( 理 ) ) 已 知 抛 物 线

C 的 顶 点 为 原 点 , 其 焦 点 F ? 0 , c?? c? 0 到 直 线 ?

l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
其中 A, B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 2

(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

43.(江西卷(理))如图,椭圆 C: 2 +

x2 a

y2 3 1 =1(a >b>0) 经过点 P (1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程 2 b 2 2
45.(新课标Ⅱ卷数学(理)) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

为 x =4 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) AB 是 经 过 右 焦 点 F 的 任 一 弦 ( 不 经 过 点 P ), 设 直 线 AB 与 直 线 l 相 交 于 点 M , 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求 ? 的值; 若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 a 2 b2

1 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积的最大 值.

2013 高考汇编—解析几何(5)

46.(湖北卷(理))如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短

轴长分别为 2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标

49.(辽宁数学(理))如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0 ? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线
2 2

m 从大到小依次为 A , B , C , D .记 ? ? , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n (I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值;
(II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ),当 x0 ? 1 ? 2 时, 1 切线 MA. 的斜率为 - . 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方. ? A, B重合于O时,中点为O ? .

y
A B

M
C

O

N x

D
第 46 题图

47.(北京卷(理))已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4
50 .(江苏卷(数学))如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

48.(陕西卷(理))已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8.

(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.
2013 高考汇编—解析几何(6)

y A l

( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

O

x

7k 2 ? 1 ? (k ? 1) x1 x2 ? (k ? 1)( x1 ? x2 ) ? k ? 1 ? 2 ?0, 2k ? 1 7 1 2 解得 k ? ,即 k ? ? . 故直线 l 的方程为 x ? 7 y ? 1 ? 0 或 x ? 7 y ? 1 ? 0 . 7 7
2 2 2

34、【四川】解: 2a ? PF1 ? PF2 ? ? 所以, a ? 2 . 又由已知, c ? 1 ,

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?
所以椭圆 C 的离心率 e ?

2

2

2

2

c 1 2 ? ? a 2 2

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为
2013 年高考数学试题分类汇编——解析几何参考答案
1-5:BACDB 6-10:CBCBD 11-15:DCBDB 16-20:DDCCA

x2 ? y2 ? 1. 2

设点 Q 的坐标为(x,y).

(1)当直线 l 与 x 轴垂直时, l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? , ? 0, ?1? 两点,此时 Q 点坐标为 ? 0, 2 ?

? ? ?

3 5? ? 5 ? ?

3 21、 y ? ? x 4
3 27、 3

22、6

23、 3

4 6 24、 3

25、 [1,??)

1? ? 26、 ? ? 2, ? 2? ?

(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 因为 M , N 在直线 l 上,可设点 M , N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ? 2),( x2 , kx2 ? 2) ,则

5 28、 3 ? 1 29、9 30、 31、 ?1 或 10 32、 ?1 7 x2 y 2 33【上海春季高考】[解](1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b ? a ? 2b x2 y 2 4 2 1 2 根据题意知 ? 2 , 解得 a ? , b ? 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 2 4 1 3 3 ?a ? b ? 1 3 3 2 x ? y 2 ? 1. (2)容易求得椭圆 C 的方程为 2 当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2 y Q y 设 P( x1,1 ), ( x2,2 ) ,则 ???? 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? x1 ? x2 ? 2 ,1 x2 ? x , 1P ? ( x1 ? 1,1 ), 1Q ? ( x2 ? 1, 2 ) F y F y 2k ? 1 2????? 1 k2 ???? ???? ???? 因为 F1 P ? F1Q ,所以 F1 P ? F1Q ? 0 ,即

AM ? (1 ? k 2 ) x12 , AN ? (1 ? k 2 ) x2 2 .
2 2

又 AQ ? x ? ? y ? 2 ? ? (1 ? k ) x .
2 2 2 2 2



2 AQ
2

?

1 AM
2

?

1 AN
2

,得
2

2 1 1 ? ? ,即 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x22


2 1 1 ? x ? x ? ? 2x x ? 2 ? 2 ? 1 22 2 1 2 2 x x1 x2 x1 x2
将 y ? kx ? 2 代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 ② 2 3 2 2 2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? ? 2k ? 1? ? 6 ? 0, 得 k ? . 2 8k 6 18 由②可知 x1 ? x2 ? ? 2 ③ , x1 x2 ? 2 , 代入①中并化简,得 x 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 10k 2 ? 3 y?2 2 2 因为点 Q 在直线 y ? kx ? 2 上,所以 k ? ,代入③中并化简,得 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 . x ? 6 ? ? 6? 3 3 2 2 由③及 k ? ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? . ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 3 5? 6 6? 2 2 又 ? 0, 2 ? ? 满足10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,故 x ? ? ? ? 2 , 2 ?. ? ? ? 5 ? ? ? ? 由题意, Q ? x, y ? 在椭圆 C 内部,所以 ?1 ? y ? 1 ,

2013 高考汇编—解析几何(7)

又由 10 ? y ? 2 ? ? 18 ? 3 x 有
2 2 2

? y ? 2?
2

2

?1 3 5? ?9 9 ? ? ? , ? 且 ?1 ? y ? 1 ,则 y ? ? , 2 ? ?. ?2 5 ? ?5 4 ? ?

又? x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2 直线的方程为 y ? ?

分别代入 ?

? y ? kx ? 10 3 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y

?1 6 6? 3 5? , ? , y ?? ,2 ? ? ?2 2 2 ? 5 ? ? ? x2 y 2 b2 35、【山东】解:(Ⅰ)由于 c 2 ? a 2 ? b2 ,将 x ? ?c 代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1得 y ? ? a a b 2 2b 3 c ?1 e? ? 2 2 a 由题意知 a ,即 a ? 2b 又
所以点 Q 的轨迹方程是 10 ? y ? 2 ? ? 3 x ? 18 ,其中, x ? ? ?

? ? ?

3 x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x +2 y ? 20 ? 0 2

p 37、【湖南】解: (Ⅰ) F (0, ).设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2

x2 ? y2 ? 1 所以 a ? 2 , b ? 1 所以椭圆方程为 4 ???? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM ? ? ? ???? ???? ? (Ⅱ) 由 题 意 可 知 : ???? ???? = ???? ???? , = , 设 P( x0 , y0 ) 其 中 | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
x ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4 x ? 16) ? 3x ? 12 x0 ,因为 x ? 4 , 3 3 3 所以 m ? x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2
2 0 2 0 3 0 2 0

p , 与抛物线E方程联立,化简整理得: x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 ? 2 x ?x p 2 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 1 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2 x ?x p 2 2 同理, ? x34 ? 1 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p) . 2 2 2 2 2 2 2 ? FM ? FN ? k1k2 p ? k1 k 2 p ? p k1k 2 (k1k2 ? 1) 直线l1方程:y ? k1 x ?
? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕)

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

1 p p 1 p (Ⅱ) 设圆M、N的半径分别为r1, r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k12 p ? )] ? k12 p ? p, 2 2 2 2 2

x y0 y0 x0 x 1 1 ? ,代入 中得 , k2 ? ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? 4 y0 kk1 kk2 4 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
36【福建】解:(Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N ,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
*

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,
2 2

设圆M、N的半径分别为r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为( x ? x12 )2 ? ( y ? y12 )2 ? r1 ,
2

( x ? x34 ) 2 ? ( y ? y34 ) 2 ? r2 ,直线l的方程为:
2

2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
2 2 2 2 2 2

? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1 )( r2 ? r1 ) ? 0
2 2

i ? Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ? x 10 ? x?i 1 2 ? x ,即 x 2 ? 10 y , 设 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? i 得: y ? 10 ? y ? 10 x ? ? Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程为 x 2 ? 10 y (Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? kx ? 10 ? y ? kx ? 10 2 由? 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 ? x ? 10 y
此时 ? ? 100k +400 ? 0 ,直线与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N
2

? 2 p(k2 ? k1 ) x ? 2 p(k2 ? k1 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k2 ) ? p 2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p 2 (k2 ? k1 )(k1 ? k2 ? 2) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? x ? 2 y ? p ? p(k1 ? k2 ? 1) ? p(k1 ? k2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
2 2 2 2

x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5
2

1 1 2(? ) 2 ? (? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 5 8 5 5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为x2 ? 16 y .

设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 10k ? S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2 ? x1 ? x2 ? ?100

x2 ? y 2 ? 1; 4 (Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0,? 1),所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 ,直线 1 l2 : y ? ? x ?1 ? x ? ky ? k ?0 ,所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ?1 ? 0 的 k
38.【浙江】解:(Ⅰ)由已知得到 b

? 1 ,且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以椭圆的方程是

距离为 d ?
2013 高考汇编—解析几何(8)

1 1? k2

2 2 ,所以直线 l1 被圆 x ? y ? 4 所截的弦 AB ? 2 4 ? d

2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

;

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ?| DP |? (1 ? 2 ) 2 ? 2 ,所以 k2 ? 4 k (k ? 4) 2 k ?4

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2 32 32 32 16 ? ? ? ? 13 , 2 13 4k ? 3 13 2 2 13 13 4k ? 3 ? ? 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 S ?ABD ?
当 4k ? 3 ?
2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 10 ?k?? x ?1 时等号成立,此时直线 l1 : y ? ? 2 2 2

39. 【重庆】

5 8x 2 8x 2 ? ? 1. 8 5 3 ( (Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y ), Q(0, m), 则F2 P ? x ? c, y ), QF2 ? (c,?m) .
40. 【安徽】解: (Ⅰ)? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ? ,椭圆方程为:
2 2 2 2 2 2

由 1 ? a ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .
2

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y ), F1Q ? (c, m).由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

? x2 y2 ?1 ? 2 ? a 1? a2 ? ? ? ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ? 2 2 2 ?a ? 1 ? a ? c ? ?
2x 2 2y2 ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y 所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 . 41. 【新课标 1】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),
半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为 R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? (r2 ? R ) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左右焦点,场半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3 (Ⅱ)对于曲线 C 上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2,
除外),其方程为 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2.
2013 高考汇编—解析几何(9)

∴当圆 P 的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

43. 【江西】 解:(1)由 P(1, ) 在椭圆上得, ②

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 .

0

3 2

1 9 ? 2 ? 1 ① 依题设知 a ? 2c ,则 b2 ? 3c 2 2 a 4b

| QP | R 当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R 知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 = ,可求 | QM | r1
0

得 Q(-4,0),∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆 M 相切得
2 2

| 3k | 1? k
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

x2 y2 ? ? 1. 4 3 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k , 则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)
②代入①解得 c 2 ? 1, a 2 ? 4, b2 ? 3 . 故椭圆 C 的方程为 代入椭圆方程 3x ? 4 y ? 12 并整理,得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4(k ? 3) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2



x y 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 时,将 y ? x ? 2 代入 ? 4 3 4 4 18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . x1,2 = 7 7 2 18 当 k =时,由图形的对称性可知|AB|= , 4 7 18 综上,|AB|= 或|AB|= 2 3 . 7
当k = 42. 【天津】

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 在方程③中令 x ? 4 得, M 的坐标为 (4,3k ) . 3 3 3 y1 ? y2 ? 3k ? 2 ,k ? 2 ,k ? 2 ?k?1. 从而 k1 ? 2 3 x1 ? 1 x2 ? 1 4 ?1 2 y y2 注意到 A, F , B 共线,则有 k ? k AF ? kBF ,即有 1 ? ?k. x1 ? 1 x2 ? 1 3 3 y1 ? y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 3 ? 2k ? ? ⑤ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

x1 ? x2 ?



8k 2 ?2 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? 1 , ④代入⑤得 k1 ? k2 ? 2k ? ? 8k 2 2 4(k 2 ? 3) ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 又 k3 ? k ? ,所以 k1 ? k2 ? 2k3 .故存在常数 ? ? 2 符合题意. 2 y0 ( x ? 1) , 方法二:设 B( x0 , y0 )( x0 ? 1) ,则直线 FB 的方程为: y ? x0 ? 1 3 y0 2 y ? x ?1 ) , 从而直线 PM 的斜率为 k3 ? 0 0 令 x ? 4 ,求得 M (4, , 2( x0 ? 1) x0 ? 1
y0 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 5 x ? 8 3 y0 ? 0 , ), 联立 ? ,得 A( 0 2 2 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5 ?x ? y ?1 ?4 3 ? 2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 则直线 PA 的斜率为: k1 ? ,直线 PB 的斜率为: k2 ? , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1)
2013 高考汇编—解析几何(10)

2 y0 ? 2 x0 ? 5 2 y0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 1 ? ? ? 2k3 , 2( x0 ? 1) 2( x0 ? 1) x0 ? 1 故存在常数 ? ? 2 符合题意.
所以 k1 ? k2 ? 44. 【广东】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2 2 2 x x 1 1 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ? 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 4 4 2 2 2 x x x 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? 1 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?
2

因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y ? 2 y0 ? x0
2

?

2

?y? y

2 0

?0

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0
2

2

所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2
2 2 2

2

45. 【新课标Ⅱ】

2013 高考汇编—解析几何(11)

m ?1 ? ?1 S ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ? ? ? n ? 46. 【湖北】解:(I) 1 , m ?1 ? ?1 解得: ? ? 2 ? 1 (舍去小于 1 的根) n

(II)设椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ? a ? m ? , C2 : 2 ? 2 ? 1 ,直线 l : ky ? x a2 m a n

由几何图像知ME ?

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 am a 2 ? m 2k 2 ? a 2 ? m2 ? 1 ? an 同理可得, y B ? 2 a ? n 2k 2 又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等 S BD y B ? y D y B ? y A ? 1 ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

MN 2 2 2 2 2 ( , CA2 ? CM 2 ? ME 2 ? EC 2 ? x ? 4) ? y ? 4 ? x ? y ? 8x 2 2 2 (Ⅱ) 点 B(-1,0), 设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ),由题知y1 ? y 2 ? 0,y1 y 2 ? 0, y1 ? 8 x1 , y 2 ? 8 x2 . y ? y2 y ?y ? 1 ? ? 2 1 ? 2 2 ? 8( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ? 8 ? y1 y 2 ? 0 x1 ? 1 x 2 ? 1 y1 ? 8 y 2 ? 8 y ? y1 1 2 ( x ? x1 ) ? y ? y1 ? (8 x ? y1 ) 直线 PQ 方程为: y ? y1 ? 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1
? y( y 2 ? y1 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 8 x ? y1 ? y( y 2 ? y1 ) ? 8 ? 8 x ? y ? 0, x ? 1
2

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B , 即:

所以,直线 PQ 过定点(1,0) 49. 【辽宁】

2 2 ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 1? ,解得 k 2 ? a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 a 2 ? ? 2n 2k 2 a ? n 2k 2 4n 2? 3 ? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直

线l .

x2 ? y 2 ? 1的右顶点 B 的坐标为(2,0).因为四边形 OABC 为菱形,所 4 3 1 2 以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A(1, m ),代入椭圆方程得 ? m ? 1 ,即 m ? ? . 2 4 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 | OB | ? | AC |? ? 2 ? 2 | m |? 3 . 2 2
47【北京】解:(I)椭圆 W: (II)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的 方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) .

? x2 ? 4 y2 ? 4 2 2 2 由? 消去 y 并整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m x ? x2 x ?x 4km y1 ? y2 m 设 A ( x1, y1 ) ,C ( x2, y2 ) ,则 1 , . ?? ?k? 1 2 ?m? 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 4km m 所以 AC 的中点为 M( ? , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k 1 因为 k ? (? ) ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 4k
所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 48. 【陕西】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心 C ( x, y), MN 线段的中点为E,

2013 高考汇编—解析几何(12)

50. 【江苏】解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2 2

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

又∵ MA ? 2MO ∴设 M 为(x,y)则 设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? ( ?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12 a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?

2013 高考汇编—解析几何(13)


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