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广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编15:抛物线


广东省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 15:抛物线
一、选择题 错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) 设抛物线的顶点在 )

原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是 A. y ? 8 x
2


2



B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x

D. y ? 4 x
2

[来源:学*科*网]

【答案】 解析】抛物线的准线方程为 【

x ? -2, ,∴ 抛 物 线 的 开 口 向 右 . 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为

y 2 ? 2 px( p ? 0)? 则其准线方程为 x ? ?
选 A .中
学 学 科 网 ZX X K

p p ? ∴ ? ? ?2? 解得 p ? 4, ∴抛物线的标准方程为 y 2 ? 8x .故 2 2
2

错误! 未指定书签。 . (广东省潮州市 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学 (理) 试题) 若抛物线 y

? 2 px


x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 的焦点与双曲线 2 2
A. ?2
【答案】D

( D. 4

B. 2 双曲线

C. ?4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 ( 2 , 0) ,所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 ( 2 , 0) ,则 p ? 4 . 2 2

错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2013 届高三 10 月第二次调研考试数学(理)试题 )若抛物线 y

2

? 2 px


x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 B.2 C.-4
【答案】 【解析】椭圆的右焦点为 F (2, 0) ,?

) D.4
学 学 科 网



p ? 2 ,即 p ? 4 ,故选 D 中 2

ZX X K

错误!未指定书签。 . (广东省揭阳一中 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)抛物线 y

2

? 4x 的焦


点为 F,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A(?1, 0), 则

| PF | 的最小值是 | PA |



A.

1 2

B. B.

2 2

C.

3 2

D.

2 3 3

【答案】 二、填空题

错误!未指定书签。 . (广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) 已知圆 C )

经 过直 线 2 x ? y ? 2 ? 0 与 坐标 轴的 两个 交点 , 且经 过抛 物线 y ? 8 x 的 焦 点 ,则圆 C 的 方程 为
2

______________.
1

【答案】 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

5 [或 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 ]; 2

易得圆心坐标为 ( , ) ,半径为 r ?

1 1 2 2

5 1 1 5 , 故 所 求 圆 的 方 程 为 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 【 或 2 2 2 2

x2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 . 】
错误!未指定书签。 . (2013 年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数学(理)试题)已知抛物线

x2 ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.
【答案】 ?4
[来源:学_科_网]

错误!未指定书签。 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)已知动点 P 在抛物线

y =4x 上,那么使得点 P 到定点 Q(2,,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和最小的点 P 的坐标为 ___
【答案】 ( ,?1)

2

1 4

错误!未指定书签。 . (广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)下图是抛物

线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.

【答案】 4 三、解答题

2





学 科



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错误! 未指定书签。 . 广东省广州市 2013 届高三调研测试数学 ( (理) 试题) 如图 5, 已知抛物线 P

: y2 ? x ,

直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点, OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M . (1) 求点 M 的轨迹方程;求四边形 AOBC 的面积的最小值.
y

uur

uur u

uuu r

A

M O

C x

B

2

【答案】(本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方

程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设 M x, y , A y1 , y1 , B y2 , y2 ,
2 2

?

?

?

? ?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点
2 y 2 ? y2 ∴x ? 1 ? 2

??? ?

??? ?

??? ?

?y

1

? y2 ? ? 2 y1 y2
2

,①

2


y ?

y1 ? y2 . 2

∵ OA ? OB , ∴ OA ? OB ? 0 .
2 2 ∴ y1 y2 ? y1 y2 ? 0

??? ??? ? ?

依题意知 y1 y2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1. 把②、③代入①得: x ? ③

1 4 y2 ? 2 2 ,即 y ? ? x ? 1? 2 2 ? 1 ? x ? 1? 2

∴点 M 的轨迹方程为 y

2

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?

?y ?
2 1

2

? y12 ?
2 1 2

?y ?
2 2

2

2 ? y2

?
? ?

?y

2 1

?1

? ?y

2 2

?1

? ?y y ?

2 2 y12 y2 ? y12 ? y2 ? 1 2 2 ? y12 ? y2

2 2 ∵ y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ,当且仅当 y1 ? y2 时,等号成立,

3

∴S ?

2?2 ? 2

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 解 法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k , 由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ?

1 k

故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ?

1 x. k

由?

? y ? kx, ? y ? x.
2

消去 y ,得 k x ? x ? 0 .
2 2

解得 x ? 0 或 x ?

1 k2

∴点 A 的坐标为 ?

? 1 1? , ? 2 ?k k?

同理得点 B 的坐标为 k ,? k
2

?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点 设点 M 的坐标为 x, y ,

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

? 1 ? k2 ? 2 , ?x ? k ? 2 则? 1 ? ?k ? k . ?y ? ? 2
消去 k ,得 y
2

?

1 ? x ? 1? 2
2

∴点 M 的轨迹方程为 y

?

1 ? x ? 1? 2

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

??? ??? ? ? S ? OA OB ?

? 1 ? ?1? ? 2? ?? ? ? ?k ? ?k?

2

2

?k ?
2

2

? ? ?k ?

2
[来源:Zxxk.Com]

4

?

2 ? k2 ?

1 k2
1 k2

?
? 2

2 ? 2 k2 ?

当且仅当 k

2

?

1 2 ,即 k ? 1 时,等号成立 2 k

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2

错误!未指定书签。(广东省海珠区 2013 届高三上学期综合测试(一)数学(理)试题)(本小题满分 14 分) .

设抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0? 的焦点为 F , A ? x0 , y0 ?? x0 ? 0? 是抛物线 C 上的一定点.
2

(1)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 Q, R 两点, S 为 C 的准线上 一点,若 ?QRS 的面积为 4 ,求 p 的值; (2)过点 A 作倾斜角互补的两条直线 AM , AN ,与抛物线 C 的交点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? .若 直线 AM , AN 的斜率都存在,证明:直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A 处 1 的切线的斜率.

[来源:学科网 ZXXK]

【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,

考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设 F ? 0,

? ?

p? p? p? ? ? ? ,设 Q ? x1 , ? , 则 R ? ? x1 , ? 2? 2? ? 2? ?
2

QR ?

? x ? ? ? x ??
1 1

? p p? ?? ? ? ?2 2?

2

? 2 x12 ? 2 2 p ?

p ? 2p . 2

1 ? 由 ?QRS 的面积为 4 ,得: ? 2 p ? p ? 4 ,得 : p ? 2. 2
(2)由题意 A ? ?x0 , y0 ? 1 首先求抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A 处的切线的斜率. 1 解法一:设抛物线在 A1 处的切线的斜率为 k ,则其方程为 y ? k ? x ? x0 ? ? y0
5

联立 ?

? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 ? 2 ? x ? 2 py ?

得 x2 ? 2 pkx ? 2 px0k ? 2 py0 ? 0 将 2 py0 ? x02 代入上式得: x2 ? 2 pkx ? 2 px0k ? x02 ? 0

? ? ? ?2 pk ? ? 4 ? 2 px0 k ? x0 2 ? ? 0
2

即 p2 k 2 ? 2 px0k ? x02 ? 0 即 ? pk ? x0 ? ? 0
2

得k ? ?

x0 . p x0 . p

即抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A 处的切线的斜率为 ? 1

解法二:由 x2 ? 2 py 得 y ?

1 2 x , 2p

? y' ?

x p x0 . p

? 抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 ? ?x0 , y0 ? 处的切线的斜率为 ?
再求直线 MN 的斜率. 解法一:设直线 AM 的斜率为 k1 ,则由题意直线 AN 的斜率为 ? k1

直线 AM 的的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? ,则直线 AN 的的方程为 y ? y0 ? ?k1 ? x ? x0 ? . 联立 ?

? x 2 ? 2 py ? ? y ? k1 ? x ? x0 ? ? y0 ?

得 x2 ? 2 pk1 x ? 2 pk1x0 ? x02 ? 0 (1)

? 方程(1)有两个根 x0 , x1 ,? ? ? ? ?2 pk1 ? ? 4 ? 2 px0 k1 ? x0 2 ? ? 0
2

? x0,1 ?

2 pk1 ? ? 2

x0 ? x1 ? 2 pk1 ,即 x1 ? 2 pk1 ? x0 ,同理可得 x2 ? ?2 pk1 ? x0
直线 MN 的
6

斜率 kMN

x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ?? 0 ? ? ? 2p p x2 ? x1 x2 ? x1 2p

? 直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率
解法二:? k AM ? ?k AN

?

y0 ? y1 y ? y2 ?? 0 x0 ? x1 x0 ? x2

x0 2 x12 x0 2 x2 2 ? ? x02 x12 x22 2p 2p 2p 2p 将 y0 ? 分别代入上式得: , , y1 ? , y2 ? ?? x0 ? x1 x0 ? x2 2p 2p 2p
整理得 2x0 ? x1 ? x2

? 直线 MN 的

斜率 kMN

x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ?? 0 ? ? ? 2p p x2 ? x1 x2 ? x1 2p

? 直 线 MN 的 斜 率 等 于 抛 物 线 C 在 点 A 关 于 对 称 轴 的 对 称 点 A1 处 的 切 线 的 斜 率 .

错误!未指定书签。(广东省广州市 2013 届高三 4 月综合测试(二)数学理试题(WORD 版) 经过点 F . )

? 0,1? 且

与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD (两 端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线与轨迹 M 交于点 B 、

C.
(1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

【答案】(本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考

查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分 14 分) 解:(1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1
2 2

整理,得 x ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2 2

方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等,
7

根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线. 所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x ? 4 y
2

(2)由(1)得 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线的斜率为 k BC ? x0 2 4 ?
y C

1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 由题意知点 A ? ? x0 , x0 2 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ?

则 k BC

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 4 ? ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 x1 ? x2 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x ?x x ?x 4 4 ?4 ? 1 0 , k AB ? 4 ? 2 0 x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

E A BO l D x

因为 k AC

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图),即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , 由? 4 ? x 2 ? 4 y. ?
解得点 B 的坐标为 ? x0 ? 4, 所以 AB ?

? ?

1 2 ? x0 ? 4 ? ? ? 4 ?

2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 所以△ ABC 的面积 S ? 解得 x0 ? ?3

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

8

当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 1? ? , k BC ? , 2 4?

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? , 2 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ?BAD ? 45? 2

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45? ,所以 ?CAB ? 90? ,即 AC ? AB . 由(2)知 k AC ? 所以 k AC k AB

x1 ? x0 x ? x0 , k AB ? 2 . 4 4 x ?x x ?x ? 1 0 ? 2 0 ? ?1 . 4 4
① ②

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图),即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ?
2

? x1 ? x0 ? 4, ? x2 ? x0 ? 4.

因为 AB ?

? x2 ? x0 ?

2

1 ?1 ? ? ? x2 2 ? x0 2 ? ? 2 2 x0 ? 2 , 4 ?4 ?

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 以下同方法 1.

错误!未指定书签。(2013 广 东高考数学(理) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F . )

?0, c??c ? 0? 到直

线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 2

A, B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

9

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x

2

? 4cy ,由

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 4 2

1 1 x12 x2 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 2 2 4 4

所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 x x2 ? x ? x1 ? ,即 y ? 1 x ? 1 ? y1 ,即 x1x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2

同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0 因为 切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

2 2 2 ,消去 x 整理 得 y ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0

?

?

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x02 ? 2 y0 , y1 y2 ? y02 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1
2 2

又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? 2? 2 ?
2 2 2

2

所以当 y0 ? ?

1 9 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2

错误!未指定书签。(广东省珠海一中等六校 2013 届高三 5 月高考模拟考试数学(理)试题)如图所示:已知 .

过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点.
2

(1)求证:以 AF 为 直径的圆与 x 轴相切; (2)设抛物线 x ? 4 y 在 A,B 两点处的切线的交点为 M,若点 M 的横坐标为 2,求△ABM 的外接圆方程;
2

10

(3)设过抛物线 x 2 ? 4 y 焦点 F 的直线 l 与椭圆

3 y 2 3x 2 ? ? 1 的交点为 C、D,是否存在直线 l 使得 4 2

AF ? CF ? BF ? DF ,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
中 学 学 科 网 ZX X K

【答案】 【解析】(1)解法一(几何法)设线段 AF 中点为 O1 ,过 O1 作 O1O2 垂直于 x 轴,垂足为 O2 ,则

r?

| AF | ? 2

| AA1 | ? 2

P 2 ? | AA1 | ?1 ? | AA1 | ? | OF | , 2 2

又∵ | O1O2 |?

| AA1 | ? | OF | , 2

∴ r ?| O1O2 | ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切 解法二(代数法)设 A( x1 , y1 ) ,线段 AF 中点为 O1 ,过 O1 作 O1O2 垂直于 x 轴, 垂足为 O2 ,则 | AF |? ∴r ?

x1 ? ( y1 ? 1) 2 ? 4 y1 ? ( y1 ? 1) 2 ? y1 ? 1 ,
2

y1 ? 1 2

又∵点 O1 为线段 AF 的中点,∴ | O1O2 |? ∴ r ?| O1O2 | , ∴以线段 AF 为直径的圆与 x 轴相切

y A ? yF y ?1 ? 1 , 2 2

(2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

? x2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,

∴?

? x1 ? x2 ? 4k ? x1 x2 ? ?4
2

由 x ? 4y ? y ?

x2 x ? y? ? , 4 2

? K MA ? K MB ?

x1 x 2 x1 x 2 ? 4 ? ? ? ? ?1, ? MA ? MB 2 2 4 4

? ?MAB为Rt? ,故 ?MAB 的外接圆圆心为线段 AB 的中点.
设线段 AB 中点为点 P,易证⊙P 与抛物线的准线相切,切点为点 M ,

11

? xP ? xM ? 2, ?

x1 ? x2 ? 2 ? 2k ? 2, k ? 1 ? 2

? yP ?

y1 ? y2 (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) x1 ? x2 ? 2 4k ? 2 ? ? ? ? 3 ? 圆心P(2,3) 2 2 2 2

又? r ?| MP |?| 3 ? (?1) |? 4 ,

?所求?MAB的外接圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 16 :

| ? (3)? AF | ? | CF |?| BF | ? | DF | ,
则 AF ? ? FB  且DF ? ? FC

| AF | | DF | | AF | | DF | ? ? ? ,10 分 ? ,设 | BF | | CF | | BF | | CF |

,设 C ( x3 , y3 ),D ( x4 , y4 ) ,则

?(? x1 ,1 ? y1 ) ? ? ( x2 , y 2 ? 1) ? ?(? x4 ,1 ? y 4 ) ? ? ( x3 , y3 ? 1)
将 x1 ? ??x2 代入 ?

?? x1 ? ?x2 ?x1 ? ??x2 ?? 即? ? x4 ? ?x3 ?x4 ? ??x3 ?

? x1 ? x2 ? 4k ? 1 可得: ? 2 . ① 2 (? ? 1) 4k ? x1 x2 ? ?4

2k ? ? y ? kx ? 1 ? x3 ? x4 ? ? k 2 ? 2 ? ? ? (3k 2 ? 6) x 2 ? 6kx ? 1 ? 0 ? ? 由 ? 4 y 2 2x2 , ? ?1 ? ? x x ? ?1 3 ? 3 ? 3 4 3k 2 ? 6 ?
联立 x4 ? ??x3 可得

?
(? ? 1) 2

?

3k 2 ? 6 ,② 36k 2

联立①②可得

1 3k 2 ? 6 2 ? ? ,解得 k ? 1   k ? ?1. 2 2 4k 36k
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? 存在符合题意的直线且 所求直线方程为: y ? ? x ? 1

错误!未指定书签。(广东省揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题)如图(6)已知抛物 .

线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作
2

12

倾斜角为

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
???? ????

(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且 OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积的最小值; (3)在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称?若存在,求出直线 m 的 方程,若不存在,说明理由.
y l t
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

B X
O F

M

A

【答案】

解:(1)∵

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2

∴所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 2 cos 60 (2) 设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,

???? ????

∵ S?GOH ? =

1 ???? 2 ???? 2 1 1 ???? ???? 1 2 2 2 2 OG OH ,∴ S?GOH ? OG OH ? ? x12 ? y12 ?? x2 ? y2 ? = ? x12 ? 4 x1 ?? x2 ? 4 x2 ? 4 4 2 4

1? 1 2 2 x x ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? ?? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? =256 ?? 1 2 ? ? 4? ? 4

∴ S?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 (3) 设 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D?x0 , y0 ? ∵
2 2 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上,∴ y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ?

13

∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 kPQ

∵ D?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上 ∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称

错误!未指定书签。(广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 )已知抛物线 C : x ? .
2

1 y ,过 2

焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)求证: OA ? OB 为定值; (2)设 M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N ,证明:抛物线 C 在点 N 处的切线 与 AB 平行.

??? ??? ? ?

【答案】(1)设直线 l 的方程 为: y ? kx ?

1 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? . ------------------------8

? 2 1 ?x ? 2 y 1 1 1 ? 2 ? 0 ,∴ x1 x2 ? ? 由? 得: x ? kx ? 2 64 16 ? y ? kx ? 1 ? 8 ?
∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 4 ? x1 x2 ? ? ?
2

------------------------

3 为定值---------------------------64 k k (2)由(1)得:点 M 的横坐标为 ,∴点 N 的横坐标为 ---------------------------4 4 ∵ y ' ? 4x ∴ y'| k ? k ---------------------------x? 4

??? ??? ? ?

∴平行 另解:设 N ? x0 , y0 ? ,则 x0 ?

k2 x1 ? x2 k 2 ? , y0 ? 2 x0 ? 2 4 8

----------------------------

设抛物线 C 在点 N 处的切线为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? 8 4? ?

14

? k2 k? ? 2 ?y ? 8 ? m? x ? 4 ? ? ? ? 得: x 2 ? m x ? mk ? k ? 0 ------------------------------由? 2 8 16 ? x2 ? 1 y ? ? 2
∴? ? ∴平行
错误!未指定书签。(2013 届广东省高考压轴卷数学理试题)动圆 P 在 x 轴上方与圆 F: x ? ? y ? 1? ? 1 外 .
2 2

? mk k 2 ? m2 ? 4? ? ? ? 0 ,解得: m ? k 4 ? 8 16 ?

-------------------------------

切,又与 x 轴相切. (1)求圆心 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知 A.B 是轨迹 C 上两点,过 A.B 两点分别作轨迹 C 的切线,两条切线的交点为 M, 设线段 AB 的中 点为 N,是否存在 ? ? R 使得 MN ? ? OF (F 为圆 F 的圆心); (3)在(2)的条件下,若轨迹 C 的切线 BM 与 y 轴交于点 R,A.B 两点的连线过点 F,试求△ABR 面积的最小 值. 【答案】解:(1)设 P(x,y)由题意知
y

???? ?

????

F N A
O

B x

M

x 2 ? ? y ? 1? ? y ? 1 ? x 2 ? ? y ? 1? ? ( y ? 1) 2
2 2

? y?

1 2 x 4

( x ? 0) .

即圆心 P 的轨迹 C 的方程为 y ? (2)设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )

1 2 x ( x ? 0) 4

1 1 x 得直线 AM 的斜率 k AM ? x1 2 2 1 直线 BM 的斜率 k BM ? x2 2 1 ∴直线 AM 的方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) --------------① 2 1 直线 BM 的方程为 y ? y2 ? x2 ( x ? x2 ) -------------② 2 1 1 1 1 1 2 1 由①②消去 y 得 y2 ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ? x2 ( x ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x ? x2 ? x12 2 2 2 2 2 2
由 y' ?
15

1 2 x ( x ? 0) 上 4 1 2 1 1 1 1 2 1 ∴ x2 ? x12 ? ( x1 ? x2 ) x ? x2 ? x12 4 4 2 2 2 2 1 ∴ x ? ( x1 ? x2 ) 2 x ? x2 1 即点 M 的横坐标 x ? ( x1 ? x2 ) ,又∵点 N 的横坐标为也为 1 2 2 ???? ???? ? ∴MN//y 轴,即 MN 与 OF 共线
∵ A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 在抛物线 y ? ∴存在 ? ? R 使得 MN ? ? OF (3)设点 B 的坐标为 (t ,

???? ?

????

t2 t2 t )(t ? 0) ,则轨迹 C 的切线 BM 的方程为 y ? ? ( x ? t ) 4 4 2

t2 可得 R 的坐标为 (0, ? ) , 4
?4 y ? x 2 t2 ? 4 4 4 ? 直线 BA 的方程为 y ? 可得点 A 的坐标为 ( ? , 2 ) x ? 1 ,由 ? t2 ? 4 4t t t x ?1 ?y ? 4t ?
∴ S ?ABR ? ∵

1 t2 4 1 1 1 4 | FR | ? | xB ? x A | = |1 ? | ? | t ? | ? | t 3 ? 2t ? | 2 4 t 2 2 4 t

1 1 3 4 | t ? 2t ? | 是关于 t 的偶函数,∴只须考虑 t ? 0 的情况, 2 4 t

令 f (t ) ?

2 3 1 1 3 4 1 3 4 ( t ? 2t ? ) ( t ? 0 )则 f '(t ) ? ( t 2 ? 2 ? 2 ) ,令 f '(t ) ? 0 解得 t ? 3 2 4 t 2 4 t
2 3 2 3 ) 时, f '(t ) ? 0 ,当 t ? ( , ??) 时, f '(t ) ? 0 3 3 2 3 2 3 16 3 时, f (t ) 取得最小值 f (t ) min ? f ( )? 3 3 9

∵当 t ? (0,

∴当且仅当 t ?

错误! 未指定书签。 . (2009 高考(广东理)) 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和
2

B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边
界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;w.w.w.zxxk.c.o.m

16

(2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 y
xB xA D

o

x

1 5 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? 2 ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, ,y ? 2 2 2 2 2 5 1 2 11 2 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 B 重合, 2 2 8 1 1 5 11 1 5 2 则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 2 4 4 8 4 4 51 2 2 2 y ?0, (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 7 49 2 2 xB ( 即圆 E : x ? a ) ? ( y ? 2) ? , 其圆心坐标为 E (a,2) , 半径 r ? 5 25 51 2 2 2 ?0 由图可知, 0 ? a ? 2 时, 当 曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? xA D 25 o x 与点 D 有公共点;
【答案】解: (1)联立
2 2 2 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?

51 ? 0 与点 D 有公 25

共点,只需圆心 E 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 5 5

a 的最小值为 ?

7 2 . 5

17


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