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第18章(理)-18.1-4.空间向量及其应用复习题的研究与解析_图文

(二期课改)

一.知识整理

(1)课本P60-P61:填充练习.

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二.问题解析
问题一.用空间向量解决空间线-面的位置关系问题. 复习题A4 利用向量法证明:空间四边形的对角线互 相垂直的充要条件是对边的平方和相等.

策略 (1)建立适当空间坐 z 标系,确定出相关点 的坐标是解决问题的 基础. (0,0,0)A (2)利用向量法分析 x 条件与结论之间的数 量关系是解题的关键.

D(e,f,g) y C(0,c,0)

B(a,b,0)
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二.问题解析
问题一.用空间向量解决空间线-面位置的证明问题. 复习题B4 设A,B,C是空间的任意三点,求证:点G是三 ? 角形ABC的重心的充要条件是: GA ? GB ? GC ? 0. 策略 (1)可设定三角形顶点及 其重心的空间坐标.
B(x2,y2,z2)

G(x,y,z) (2)求出相关向量的 坐标,并利用空间向 C(x3,y3,z3) 量的坐标证明点G为 A(x1,y1,z1) 三角形重心的充要 条件.
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三.总结说明
(*)感悟利用空间向量解决空间线-面的位置关系问题 的主要方法与步骤. (1)建立适当空间坐标系,确定出相关点的坐标是解 决空间线-面位置关系问题的基础. (2)求出相关空间向量的坐标,并利用空间向量的坐 标作为载体,是判断或证明空间线-面位置关系的重 要手段.
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二.问题解析
问题二.探求直线的方向向量和平面的法向量是研究 空间线-面位置关系的关键. 复习题B3 已知空间三点的坐标A(1,0,0),B(3,1,1), C(2,0,1),求△ABC中∠ABC的内角平分线的方向向量. 策略 (1)通过计算三角形的边长, 然后利用平几的三角形内 角平分线性质得出点D分向 量AC的定比λ的值.
B(3,1,1)

C(2,0,1) (2)利用空间向量的定比分 A(1,0,0) D(x,y,z) 点公式即求出点D的坐标.
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二.问题解析
问题二.探求直线的方向向量和平面的法向量是研究 空间线-面位置关系的关键. 复习题A2 已知平面α经过点A(3,-5,1)和B(4,1,2), ? 且垂直于法向量为 n =(1,-8,3)的另一个平面,求平 面α的一个法向量. ? A(3,-5,1) (1)正确理解题意,明确 策略 ? n1 ? ( x, y, z ) 所求平面的法向量与已 知平面及其法向 B(4,1,2) ? n ? (1,?8,3) 量的位置关系. (2)利用空间向量的数量积求得所求的法向量.
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二.问题解析

(同上题)

问题二.探求直线的方向向量和平面的法向量是研究 空间线-面位置关系的关键. ? 已知平面α的一个法向量为 n =(5,1,-2), 复习题A3 平面β垂直于平面α,且通过一条坐标轴,求平面β 的一个法向量. 策略 (1)正确理解题意,明确 所求平面的法向量与已 知平面及其法向 ? ? ? 量的位置关系. n ? (5,1,?2) x (2)利用向量的数量积求得所求的法向量.
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? n1 ? ( x, y, z )

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二.问题解析
问题二.探求直线的方向向量和平面的法向量是研究 空间线-面位置关系的关键.

? 面成 60?的二面角,n ? (2,1,? 5 ),求平面α的一个法 向量. z ? 策略 (1)正确理解题意,明确所求平面 n 的法向量与已知平面及其法向量 的位置关系. ? (2)利用向量数量积求得所求法向量. O ?
注意 (*)本题中两个法向量的夹角可以有两种情形.
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? 的平 复习题B1 已知平面α通过z轴,且与法向量为 n

n1

三.总结说明
(*)感悟探求直线的方向向量和平面的法向量是研究 空间线-线,线-面,面-面位置关系的基础和关键. (1)探求直线的方向向量的具体方法与步骤. (*)找出与直线平行的向量或是直线上的两点.

(2)探求平面法向量的具体方法与步骤.
(*)找出平面上的两个相交的非零向量,然后利 用垂直的充要条件(数量积为零)列解方程组.
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二.问题解析
问题三.利用空间向量探求空间线-线角,线-面角和 面-面角. 复习题A6 在三棱锥P-ABC中,已知底面ABC是以C为直 角的直角三角形,PC⊥平面ABC,AC=18,PC=6,BC=9,G是 △PAB的重心,M是棱AC的中点,求直线CG与BM所成的角 θ的大小. z
P

策略 (1)建立适当空间坐标系,确定出 相关点的坐标. (2)计算两直线的方向向量及其夹 角,然后得出两直线的所成角. A
x M

C

G

B

y

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二.问题解析
问题三.利用空间向量探求空间线-线角,线-面角和 面-面角. 复习题B2 直三棱柱 ABC ? A?B?C ?中,?BAC ? 90?.

AB ? AC ? 3, AA? ? 2, M,N分别是棱 AC 和 A?B ?上 1 的点,且 AM ? 2 MC , A?N ? NB? ,求直线MN与平 2 z
面ABC所成的角的大小.

A

M

策略 (1)建立适当空间坐标系, 确定出相关点的坐标. B N (2)计算直线的方向向量 并确定出平面的法向量. B?
x

C
y

A?

C?
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二.问题解析
问题三.利用空间向量探求空间线-线角,线-面角和 面-面角. 复习题A5 已知正三棱锥P-ABC的底面边长和高都是a, 试求:(1)侧棱与底面所成的角的大小;(2)底面的棱 与侧面所成的角的大小;(3)侧面与底面所成的二面 角的大小;(4)侧面与侧面所成的角的大小. z 策略 (1)建立适当空间坐标系,确定出 相关点的坐标. (2)计算相关直线的方向向量,并 确定出相关平面的法向量. A (3)注意不同类型所成角的区别.
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P

C y O x
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B
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三.总结说明
(*)感悟探求空间线-线,线-面,面-面所成角的具体方 法与步骤. (1)比较探求三种不同的所成角的具体方法.

(2)关注三种不同所成角的不同定义范围. (3)注意向量夹角与三种不同所成角的区别与联系.
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二.问题解析
问题四.利用空间两点间的距离公式和空间的线-面 角的意义证明恒等式. 复习题B5 设直线L与三个坐标平面所成的角分别分 别α,β,γ,求证: cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2.

策略 (1)以直线上一点O为坐 z 标原点,建立适当空间坐 P3(a,0,c) 标系. O (2)在直线上任取另一点 P(x,y,z),并向三个坐标平 x 面作射影,构造出三个线面 所成角.
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P2(0,b,c) P

(a,b,c)
y

P1(a,b,0)
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二.问题解析
问题五.利用空间量的数量积证明相关的不等式.

复习题B6 已知: ai , bi ? R(i ? 1,2,3) ,求证:

(a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ) ? (a ? a ? a )(b ? b ? b ).
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

策略 (1)合理利用空间向量的数量积以及向量模的 计算公式,使所求证的不等式与空间向量的运 算之间联系起来,达到证明的目的. (2)本题为利用向量法进行代数证明的典型范 例,其关键在于问题的合理转化.
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三.课堂小结
请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会.

六.课后家作
课本P62(复习习题 A-B ) 同步阶段测试卷(P141)
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