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高二数学必修五第三章《不等式》3.2一元二次不等式及其解法


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3.2 一元二次不等式及其解法

1

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练习1.求方程 2 x ? 7 ? 0 的根?
练习 2画出一次函数 y ? 2 x ? 7的图像

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练习 3解不等式 2 x ? 7 ? 0 ?

如一次不等式 2 x ? 7 ? 0 解集与一次函数 y ? 2 x ? 7 的图象观察:
由左边的图象填空:

当 x=3.5 时,y = 0,即 2x-7 = 0;
当 x<3.5 时,y < 当 x>3.5 时,y 0, 即 2x-7 < 0; 0, 即 2x-7 > 0;

>

∴可知 2 x ? 7 ? 0 的解集为 ? x x ? 3 .5?

一元一次不等式可用图象法求解

2

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一元二次不等式

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定义:只含有一个未知数,未知数的最高次 数 是 2的 不 等 式 , 叫 一 元 二 次 不 等 式 。

即 : ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? ( a ? 0) 0
2 2

3

如何求解不等式 x ? 5x ? 0 ? x ? 5 ? 0 ? 二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
2 2

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函数
f (x) ? x ? 5x
2

方程
x ? 5x ? 0
2

不等式
x ? 5x ? 0
2

y

方程的解
x 1 ? 0, x 2 ? 5

不等式的解集

?x
2

x ? 0 或 x ? 5?

y>0

y>0
O

x ? 5x ? 0 不等式的解集

?x
y<0 几何画板
5 x

0 ? x ? 5?

一元二次不等式可用图象法求解
4

关键在于快速准确捕捉图像的特征

利用二次函数图象能解一元二次不等式! 品质来自专业 金太阳教育网 www.jtyjy.com 信赖源于诚信 问:y= ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点情况 有哪几种?
一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0
2
2

( a ? 0)

一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
y

一元二次函数
??0
? ?0

f(x)=ax ? bx ? c(a ? 0)

2

? ?0

a x ? b x ? c ? 0的 解
2

x R| xx1 或 x 1 } x {? ? x ? x x? x ? x ? 1

2

O

x1 ?

?

?

x1=x2

x2

x

a x ? b x ? c ? 0的 解
2

?

2

5

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判别式 △=b2- 4ac

品质来自专业 www.jtyjy.com 函数 、方程、不等式之间的关系 信赖源于诚信

△>0 y x1 O
y>0

△=0

△<0
y>0

y=ax2+bx+c 的图象

y

y

y>0

(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

x2 x
y<0

O x1

x

O
没有实根

x

ax2+bx+c>0 (y>0)的解集

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ?
2a

{x|x<x1,或 x>x2}
ax2+bx+c<0 (y<0)的解集

{x|x≠ ?

b

2a

}

R Φ
6

{x|x1< x <x2 }

Φ

www.jtyjy.com 求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图: 金太阳教育网

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△≥0

x ? ?

b 2a

x< x1或x> x2
7

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例1.解不等式
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2-3x-2 2x

>0 .

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解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,

先求方程的根 然后想像图象形状

方程的解2x

2-3

x-2 =0的解是

x1 ? ?

1 2

, x2 ? 2.

所以,原不等式的解集是
1 ? ? ? x | x ? ? , 或 x ? 2 ?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0

解集是大于大根,小 于小根
点评
8

若改为:不等式
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2x2-3x-2
1 2

<0 .

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则 不 等 式 的 解 集 为 :?

? x ? 2 注:开口向上,小于0

图象为:
-2

解集是大于小根且 小于大根

3

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。 若a<0时,先变形!
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练习1.解不等式 4x2-4x+1 > 0

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解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是
x1 ? x 2 ? 1 2,
1 ? ? 2 ?

所以,原不等式的解集是
? ? x | x ? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解
再看一例
10

例2.解不等式
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2+6x -3x

>2

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解:

∵-3x2+6x

>2

3x2-6x+2 < 0

∵方程的解3x2-6x+2 =0的解是
x1 ? 1 ? 3 3 , x2 ? 1 ?
? ?x |1 ? ?

3 3
3 3

.
3 ? ? 3 ?

所以,原不等式的解集是

? x ? 1?

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例4.解不等式 -x2 +2x-3 > 0

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略解: -x2 +2x-3 > 0

x2 -2x+3 < 0
无 解

注:x2 -2x+3 >0

x? R
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练习2:不等式

x ? bx ? c ? 0的解集为
2

{ x x ? 3或 x ? ? 1},

求b与c.

b ? ? 2, c ? ? 3

练习3:解不等式 2 ? x ? 2 x ? 8 .
2

{x ? 2 ? x ? 1 ?

3或 1 ?

3 ? x ? 4}
13

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小结:
一化:化二次项前的系数为正数.

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二判:判断对应方程的根.
三求:求对应方程的根.

四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集.
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3.2一元二次不等式及其解法2

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一 复习回顾:

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1.“三个两次”之间的联系
练习(1)已知函数 y ? x ? bx ? c 的图像与X轴两个交点横坐
2

标为-1,2,则当x满足__时 y ? 0 , 当x__时 y ? 0 .

(2)若方程 x ? mx ? n ? 0
2

无实数根,则不等式

x ? mx ? n ? 0
2

的解集为__.

2.一元二次不等式的求 解流程: 一化,二判,三求,四画,五解集

16

金太阳教育网 www.jtyjy.com 二、典型题选讲 (

含参不等式的解法)

例1.

x2 + 5ax + 6 > 0
6或a ? ? 2 5

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解:由题意,得:⊿=25a2-24 2-24>0 , 即a ? 2 1.当⊿=25a
5

6时

2 ? ? 5a ? 25a ? 24 ? 5a ? ? 解集为: ? x x ? 或x ? 2 ? ? 2-24=0 , 即 a ? ? 2 6 时 2.当⊿=25a

2 25a ? 24 ? ? ? 2 ? ?;

解集为:

? 5 ? ? x x ? R且x ? ? a ? 2 ?; ?

5

3.当⊿=25a2-24<0,
解集为:R.

即?

2 5

6 ?a?

2 5

6时

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变式1.

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x2 + 5ax + 6a2 > 0

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解:因式分解,得:(x+3a)(x+2a) > 0, 方程(x+3a)(x+2a) =0的两根为-3a、-2a.
①当-3a >-2a 即a <0时, 解集为:{x︱x>-3a 或 x<-2a}; ②当-3a =-2a 即a =0时, 原不等式为 x2>0 解集为:{x︱x∈R且x≠0};

③当-3a <-2a 即a >0时, 解集为:{x︱x> -2a 或 x< -3a}.
综上: 当a <0时,解集为:{x︱x> -3a或x< -2a}; 当a =0时,解集为: {x︱x∈R且x≠0}; 当a >0时,解集为:{x︱x> -2a或x< -3a}.

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变式2. ax2www.jtyjy.com + 6 > 0 + (6a+1)x 金太阳教育网
一、当a=0时,
二、当a≠0时,
因式分解,得 :?ax ? 1??x ? 6? ? 0
方程?ax ? 1?? x ? 6 ? ? 0的两根为? 1 a ,?6
1

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解集 为 ?x | x ? ? 6 ?



当?

1 a

? ?6, 即a ?

1 6



? ? 1 解集为 : ? x x ? ? 或x ? ?6? a ? ?

⑵ 当? ⑶

1

? ?6, 即a ?

1



①当a<0时,? a
? ②当a>0时, a

? 0,

? 1? 解集为? x ? 6 ? x ? ? ? a? ? 1
? 0

解集为 : x x ? R或x ? ?6 1 1 当? ? ?6, 即0 ? a ? 时 a 6
? 1? 解集为 : ? x x ? ?6或x ? ? ? a? ?

a

?

6

?

∴综上,得
2 .当 a ? 0时 , 解集 为 ?x x ? ? 1?
4 .当 a ? 1 6
;

1 .当 a ? 0时,解集为
3 .当 0 ? a ? 1

? 1? 时 , 解集 为 ? x x ? ? 6或 x ? ? ? 6 a ?; ?

? 1? x?6 ? x ? ? ? ? a ?; ?

时 , 解集 为 ?x x ? R 且 x ? ? 6 ?

;

5 .当 a ?

1 6

时,解集为

? ? 1 x x ? ? 或 x ? ?6? ? a ? ?.

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注:

解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨
论的标准有:

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1、讨论a 与0的大小;

2、讨论⊿与0的大小;
3、讨论两根的大小;

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(二)含参不等式恒成立的问题 金太阳教育网 www.jtyjy.com
知识概要
例题:已知关于x的不等式:

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(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0

(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于
?a ? 2 ? 0 ? 2 (a ? 2) ? 4(a ? 2) ? 0 ?
?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6 ?a ? 2 即? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

所以2 ? a ? 6

(4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
?a ? 0 ?? 2 ? ? b ? 4ac ? 0 ?

综上: 2 ? a ? 6

21

金太阳教育网 www.jtyjy.com 三、课堂小结

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一、内容分析
1 、解含参数的不等式 2、已知不等式的解集,求参数的值或范围
、 ?1 函数 ? 、 ?2 分离参数后用最值 ? 、 ?3 用图象

不等式中的恒成立问题

二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想
3、等与不等的化归思想

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练习1:求函数的定义域.
(1 )、 y ? log 6 ( 2 x ? x ? 1 )
2

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( 2 )、 y ?

? 2x ? 3x ? 7
2

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s 例1:某种汽车在水泥路面上的刹车距离 m和 x 汽车车速 km/h有如下关系:
s ? 1 20 x? 1 180 x .
2

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少? (精确到0.01km/h)

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例2:一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配 流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与 创造的价值y(元)之间有如下的关系:
y ? ? 2 x ? 220 x
2

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产 多少辆摩托车?

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练习1:国家原计划以2400元/吨的价格收

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购某种产品m吨,按规定,农户向国家纳 税为:每收入100元纳税8元(称作税率为 8个百分点,即8%),为了减轻农民负担, 制定积极的收购政策,根据市场规律,税 率降低x个百分点,收购量能增加2x个百 分点.试确定x的范围,使税率调低后,国 家此项税收总收入不低于原计划的78%.

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练习:已知不等式

( m ? 4 m ? 5 ) x ? 4 ( m ? 1) x ? 对? 0 3
2 2

一切实数x恒成立,求m.

1 ? m ? 19

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