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2007级数学分析第1学期期终考试2008-01-


上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2007 至 20078 学年 第 1 学期 2008 年 2 月 16 日) 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 成绩

A卷

一、填空题(每题 4 分,共 24 分)
π ? arctan x sin
p p

1.极限 lim 2
x ? ??

3 x


p

.

2.极限 lim
π ?π

1 ? 2 ?? ? n n
p ?1

n??

=

(其中 p ? 0 ). . .

3.积分 ? [ x 2008 (e x ? e ? x ) ? 2 sin 2 x ] d x = 4.
dx ? d
x

t e

2

x ?t
3

3

dt =

0

5.设曲线方程为 y ?

?

x

sin t d t , 0 ? x ? π ,则曲线的长度为

.

0

6.常微分方程 y ? ? y ? 1 的通解是 二、单项选择题(每题 3 分,共 12 分)

.

1.设 f ( x ) ? ( x 2 ? a 2 ) g ( x ) ,其中 g ( x ) 在 a 点连续,则 f ?( a ) =( (A) [2 xg ( x ) ? ( x 2 ? a 2 ) g ?( x )] x ? a ; (C) 0 ; 2.设 ? xf ( x ) d x ? arcsin x ? C ,则 ? (A) 1 ? x 2 ? C ; (C) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ;
2 3.设 F '( x ) ? f ( x ), 1
3



(B) 2 ag ( a ) ; (D)不存在.
1 f ( x) d x =(



(B) x 1 ? x 2 ? C ; (D) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C .
3
x ? [ a , b ] .则下列结论正确的是(

1

3

)

(A) ? f ( x )d x ? F ( x ) ? C ; (C) F ( x ) ? I

(B) f ( x ) 在 [ a , b ] 上必 Riemann 可积;
b a

?

x a

f ( t )d x ? C , ? x ? [ a , b ] ; (D) ? f ( x )d x ? F ( b ) ? F ( a ) .

4.考虑下列断语(

)
b a

设 f 、 g ? R[ a , b ] .若 f ( x ) ? g ( x ) (等号仅在有限个点取得) ,则 ? f ( x )d x ?
b a

?

b a

g ( x )d x ;

II 设 f 、 g ? R[ a , b ] .若 f ( x ) ? g ( x ) ,则 ? f ( x )d x ? (A)命题 I、命题 II 都正确; (C)命题 I 不正确,命题 II 正确;
总 6 页 第 1 页(管院用)

?

b a

g ( x )d x .

(B) 命题 I 正确,命题 II 不正确; (D) 命题 I、命题 II 都不正确.

题 得

号 分















总 分

批阅人

三、计算下列各题(每题 6 分,共 24 分). 1. ? arc cot x d x .

2.设 (0, ?? ) 上的连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 ln x ? x 2 ?

e

f ( x) x

d x ,求 f ( x ) .

1

3. ?

? 2 ?2

x
2

2

x ?1

dx .

总 6 页 第 2 页(管院用)

4. 求方程 yy ?? ? y ? 2 ? 0 满足 y (1) ? 1, y ?(1) ? 1 的特解.

四、(10 分)全面讨论函数 y ?

( x ? 2) x ?1

2

的性态(已知 y ? ?

x ? 2x
2

( x ? 1)

2

, y ?? ?

2 ( x ? 1)
3

) ,并列表作

图.(此页用于分析讨论和列表,图形画在下页空白处)

总 6 页 第 3 页(管院用)

五、(12 分)设直线 y ? ax 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积为 S 1 ,他们与直线 x ? 1 所围 成图形面积为 S 2 ,且 0 ? a ? 1 , (1)试确定 a 值,使 S1 ? S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

总 6 页 第 4 页(管院用)

六、(8 分)设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上二阶可导, f ?( a ) ? 0, f ?(b ) ? 0, f ( a ) ? f ( b ) .证明: (1) f ?( x ) 在 ( a , b ) 内至少存在两个零点; (2)在 ( a , b ) 内至少存在一点 ? 满足 f ??(? ) ? f ( t )d t ? f ?(? ) f (? ) ? 0 .
a

?

总 6 页 第 5 页(管院用)

七、 (10 分)设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义,且 ? x ? ? [ a , b ] , lim f ( x ) ? 0 .证明:
x ? x?

(1)对于 ? ? ? 0 , f ( x ) 在 [ a , b ] 上至多有有限个点的函数绝对值大于 (2)证明 f ( x ) ? R[ a , b ] ; (3)计算 ? f ( x )d x 的值.
a b

?
2



总 6 页 第 6 页(管院用)

上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2007 至 2008 学年 第 1 学期 2008 年 1 月 16 日) 班级_______________________ 学号______________________ 姓名 课程名称 《数学分析》 类电、软院用) (C 成绩

B卷

一、填空题(每题 4 分,共 24 分)
π ? arctan x

1.极限 lim 2
x? ? ?
q


sin( x / 2)
q q

. (其中 q ? 0 ). .

2.极限 lim
π ?π

1 ? 2 ?? ? n n
q ?1

n? ?

=

3.积分 ? [ x 2008 (e x ? e ? x ) ? 2 cos 2 x ] d x = 4.
dx ? d
x

te

x ?t
2

2

dt =

.

0

5.设曲线方程为 y ?

?

x ? π 2

cos t d t , ?

π 2

? x?

π 2

,则曲线的长度为 .

.

6.常微分方程 y ? ? y ? 1 的通解是 二、单项选择题(每题 3 分,共 12 分)

1.设 f ( x ) ? ( x 2 ? a 2 ) g ( x ) ,其中 g ( x ) 在 a 点连续,则 f ?( a ) =( (A) [2 xg ( x ) ? ( x ? a ) g ?( x )] x ? a ;
2 2



(B) 0 ; (D)不存在.
1 f ( x) d x =(

(C) 2 ag ( a ) ; 2.设 ? xf ( x ) d x ? arccos x ? C ,则 ? (A) (1 ? x 2 ) 2 ? C ;
3 1
3



(B) x 1 ? x 2 ? C ; (D) 1 ? x 2 ? C . )

(C) ? (1 ? x 2 ) 2 ? C ;
2 3.设 F '( x ) ? f ( x ),
b a

1

3

x ? [ a , b ] .则下列结论正确的是(

(A) ? f ( x )d x ? F ( b ) ? F ( a ) ; (C) F ( x ) ? I

(B) f ( x ) 在 [ a , b ] 上必 Riemann 可积; (D) ? f ( x )d x ? F ( x ) ? C .
b

?

x a

f ( t )d x ? C , ? x ? [ a , b ] ;

4.考虑下列断语(

)
a

设 f 、 g ? R[ a , b ] .若 f ( x ) ? g ( x ) (等号仅在有限个点取得) ,则 ? f ( x )d x ?
b a

?

b a

g ( x )d x ;

II 设 f 、 g ? R[ a , b ] .若 f ( x ) ? g ( x ) ,则 ? f ( x )d x ? (A)命题 I,命题 II 都正确; (C)命题 I 不正确,命题 II 正确;
总 6 页 第 7 页(管院用)

?

b a

g ( x )d x .

(B) 命题 I 正确,命题 II 不正确; (D) 命题 I,命题 II 都不正确.

题 得

号 分















总 分

批阅人 三、计算下列各题(每题 6 分,共 24 分). 1. ? arctan x d x .

2.设 (0, ?? ) 上的连续函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ln x ? x 2 ?

e

f ( x) x

d x ,求 f ( x ) .

1

3. ?

? 2 ?2

x
2

2

x ?1

dx .

总 6 页 第 8 页(管院用)

4. 求方程 yy ?? ? y ? 2 ? 0 满足 y (1) ? 1, y ?(1) ? 2 的特解.

四、(10 分)全面讨论函数 y ?

( x ? 2) x ?1

2

+1 的性态(已知 y ? ?

x ? 2x
2

( x ? 1)

2

, y ?? ?

2 ( x ? 1)
3

) ,并列表

作图.(此页用于分析讨论和列表,图形画在下页空白处)

总 6 页 第 9 页(管院用)

五、(12 分)设直线 y ? kx 与抛物线 y ? x 2 所围成的图形面积为 S 1 ,他们与直线 x ? 1 所围 成图形面积为 S 2 ,且 0 ? k ? 2 , (1)试确定 k 值,使 S1 ? S 2 达到最小,并求出最小值; (2)求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

总 6 页 第 10 页(管院用)

六、(8 分)设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上二阶可导, f ?( a ) ? 0, f ?(b ) ? 0, f ( a ) ? f ( b ) .证明: (1) f ?( x ) 在 ( a , b ) 内至少存在两个零点; (2)在 ( a , b ) 内至少存在一点 ? 满足 f ??(? ) ? f ( t )d t ? f ?(? ) f (? ) ? 0 .
a

?

总 6 页 第 11 页(管院用)

七、 (10 分)设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义,且 ? x ? ? [ a , b ] , lim f ( x ) ? 0 .证明:
x ? x?

(1)对于 ? ? ? 0 , f ( x ) 在 [ a , b ] 上至多有有限个点的函数绝对值大于 (2)证明 f ( x ) ? R[ a , b ] ; (3)计算 ? f ( x )d x 的值.
a b

?
2



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